120 likes | 292 Vues
Stærðfræði – stærðfræðinemandinn 1. misseri – haustönn 2004 - VII. Óendanleiki talnamengja Gagnkvæm samsvörun (one-to-one correspondence) Fjöldatala (cardinality) endanlegra og óendanlegra mengja Rauntölur og tilgáta Cantors Eru til ólíkir (misstórir) “óendanleikar” ? Þéttleiki talnalínunnar
E N D
Stærðfræði – stærðfræðinemandinn1. misseri – haustönn 2004 - VII • Óendanleiki talnamengja • Gagnkvæm samsvörun (one-to-one correspondence) • Fjöldatala (cardinality) endanlegra og óendanlegra mengja • Rauntölur og tilgáta Cantors • Eru til ólíkir (misstórir) “óendanleikar” ? • Þéttleiki talnalínunnar Meyvant Þórólfsson Október 2004
Óendanleiki talnamengja Skoðum mengið N: {1, 2, 3, 4, 5, ...} Skoðum mengið Z: {...,-3, -2, -1, 0, 2, 3, ...} Skoðum líka mengið S sem mengi sléttra jákvæðra heilla talna: {2, 4, 6, 8, ...} • Ef gefin eru tvö mengi og þau hafa gagnvæma samsvörun (one-to-one correspondence), þá segjum við að þau hafi sömu fjöldatölu (cardinality), enda má para stök þeirra saman.
Gagnkvæm samsvörun(One-to-one Correspondence) Mengi A og B hafa gagnkvæma samsvörun; • A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} Af hverju? • Dæmi þar sem hugmyndin um gagnkvæma samsvörun gæti komið fyrir: Gestir og sæti í bíósal, jólakort og umslög, pörun í danskennslu, hlutir í tveimur ílátum...sbr. bls. 149 í bókinni. • Meginhugmyndin er að bera saman fjöldatölur tveggja mengja án þess að telja í hvoru fyrir sig. Þess í stað eru stökin pöruð saman.
Borðtenniskúluþrautin Sjá mynd bls. 151 Við höfum 60 sekúndur til að framkvæma tilraunina: • Fyrstu 30 sek. setjum við 10 fyrstu kúlurnar í tunnuna og tökum kúlu nr. 1 upp úr. • Höfum nú 15 sek. til að setja næstu 10 kúlurnar í tunnuna og tökum kúlu nr. 2 í burtu. • Næst höfum 7,5 sek. til að sturta næstu 10 kúlum í tunnuna og taka kúlu nr. 3 í burtu. • Þannig höldum við áfram, en tímabilið styttist alltaf um helming. • Hve mikill tími er eftir þegar við tökum kúlu nr. 6 upp? • En kúlu nr. 45.671.803? • Hver verður staðan að 60 sekúndum loknum?
Gagnkvæm svörun milli N og Z • Skoðum nánar pörun staka úr mengi náttúrulegra talna annars vegar og heilla talna hins vegar: • Gagnkvæm svörun er milli þessara tveggja mengja. • Fjöldatala (cardinality) er sú sama.
Gagnkvæm svörun milli N og Q • Skoðum nánar pörun staka úr mengi náttúrulegra talna annars vegar og ræðra talna hins vegar: • Gagnkvæm svörun er milli þessara tveggja mengja. • Fjöldatala (cardinality) er nú sama.
Mengi rauntalna táknum við með R • Allar ræðar og óræðar tölur tilheyra menginu R. • Með öðrum orðum þá tilheyra til dæmis tölurnar -1, -√2, , 3/5 menginu R. • Allar rauntölur rR má skrifa sem tugabrot með óendanlegan fjölda aukastafa!! • Dæmi: 243, 47666687544680088... • Annað dæmi: 0,750000000... • Enn annað dæmi: 1,00000000... • Og enn eitt: √2 = 1,414213562...
Kenning Georgs Cantors • Milli náttúrulegra talna og rauntalna er ekki gagnkvæmsamsvörun. • Þegar við reynum að sýna fram á samsvörun byggða á fjöldatölu (cardinality) þessara tveggja talnamengja, þá lendum við alltaf í ógöngum sem felast í því að fyrirfinnast rauntölur sem ekki er búið að para saman við náttúrulegar tölu. Aðferð Cantors: • Við búum svokallaða “missing” tölu og köllum hana M. Talan M liggur á milli 0 og 1 og hefur því formið 0,????...
Kenning Georgs Cantors • Ákveðum að M sé samsett úr stöfunum 2 og 4. • Skoðum allar tölurnar og búum til M út frá ákveðnum viðmiðum. Ef fyrsti aukastafur er 2, þá skrifum við 4, annars 2. • Þannig höldum við áfram og fáum rauntöluna M = 0,24442... • Þannig má halda áfram endalaust... • Við getum alltaf búið til tölu sem fyrirfinnst ekki í R-dálkinum.
Fjöldatala punkta á línum og innan fernings • Sýna má fram á að fjöldatala punkta á milli tveggja punkta á talnalínu sé sú sama og allra punkta á rauntölulínunni. • Sömu sögu er að segja um fjölda punkta á línustriki og innan fernings. Sýna má fram á að fjöldatala (cardinality) punkta gefins línustriks L sé sama og fjöldatala punkta innan fernings sem hefur sömu hliðarlengd og línustrikið. S 0 1 R -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -10/7 √2
Nokkur dæmi úr köflum 3.1, 3.2, 3.3 og (3.5) • Ræðið um óendanleikann. Hvaða fyrirbæri eru óendanleg og hver eru endanleg? Ath. bæði “physis” og “thesis”. • Ræðið um gagnkvæma samsvörun. Skilgreinið hana og gefið raunveruleg dæmi. Búið til dæmi. • Ræðið um hugtakið fjöldatölu (cardinality of a set) og hver munurinn er á henni og því að telja raunverulegan fjölda. • Leysið dæmi I.3 og 9 og II.1 bls. 143-144. • Leysið dæmi I.9 og 11; II 5 og III.1 bls. 158-162. • Leysið dæmi I.1, 4, 6, 8 og II. 1 og 2 bls. 170-172. • Ritið þessar rauntölur sem óendanleg tugabrot: 1, √2, 10/7, -1/11, og φ.