Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

1. Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS (MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS)

2. Introducción • Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden:primeramente se debe escribir la ecuación en la forma estándar • Esta última ecuación es la análoga de segundo orden de la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden

3. Suposiciones • Al resolver una EDLNH de primer orden, se supuso que yp=u(x)y1(x). • Supondremos ahora que la forma de la solución para la ecuación de orden 2 es yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x). Al utilizar la regla del producto para diferenciar dos veces yp se obtiene:yp´= u1y1´+y1u1´+u2y2´+y2u2´ yp´´= u1y1´´+y1´u1´+y1u1´´+u1´y1´+u2y2´´+y2´u2´+y2u2´´+ u2´y2´

4. Suposiciones… Al sustituir yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) y sus derivadas en la ecuación tenemos: De donde:

5. Suposiciones… Como se busca determinar dos funciones desconocidas u1 y u2, es necesario tener dos ecuaciones. • Estas dos ecuaciones se obtienen con la suposición adicional de que u1 y u2 satisfacen: Con ello la ecuaciónSe reduce a:

6. Suposiciones… • Ahora se cuenta con las dos ecuaciones deseadasPor la regla de Cramer la solución del sistema de ecuaciones puede expresarse en términos de determinantes:

7. Suposiciones… • Finalmente se encuentran u1 y u2 integrando los resultados anteriores. • Con ello:

8. Resumen del método • Para resolver la EDLNH en forma estándar: y´´ + P(X)y´ + Q(x)y = f(x) • Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH original, para determinar la solución homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x). • Se supone que la solución particular de la EDLNH se puede obtener a partir de la solución de la EDLH variando los parámetros, esto es: suponiendo que yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x).

9. Resumen del método… • Sustituyendo esta última ecuación en la EDLNH original, con el propósito de obtener las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), obtenemos después de arreglar términos, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas • Resolviendo este sistema de ecuaciones simultaneas por la Regla de Cramer

10. Resumen del método… • Integramos estas dos ecuaciones para obtener u1(x) y u2(x). • Sustituimos estas dos funciones en la solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x). • Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

11. Ejemplo • Resuelva 4y´´+36y=Csc(3x) • La forma estándar de la EDLNH es:y´´-9y=(1/4)Csc(3x) • La ecuación auxiliar m2+9 tiene raíces conjunadas m1=3i y m2=-3i, por ello:yh=c1Cos(3x)+c2Sen(3x). • Con y1=Cos(3x), y2=Sen(3x) y f(x)=(1/4) Csc(3x) se obtiene:

12. Ejemplo… • A partir de esto:

13. Ejemplo… • Integrando: • Con esto: • Y finalmente, como:

14. Generalización del método • Para resolver la EDLNH en forma estándar: y(n)+Pn-1(X)y(n-1)+ P1(x)y´+P0(x)y= f(x) • Se resuelve la EDLH asociada de la EDLNH original, para determinar la solución homogénea yh=c1y1(x)+c2y2(x)+ …+ cnyn(x) • Se supone que la solución particular de la EDLNH se puede obtener a partir de la solución de la EDLH variando los parámetros, esto es: suponiendo que yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+… +un(x)yn(x)

15. Generalización del método… • Sustituyendo esta última ecuación en la EDLNH original, con el propósito de obtener las funciones desconocidas u1(x) y u2(x), ... un(x),, obtenemos después de arreglar términos, el sistema de n ecuaciones con n incógnitas

16. Generalización del método… • Resolviendo este sistema de ecuaciones simultaneas por la Regla de Cramer

17. Generalización del método… • Integramos estas las ecuaciones para obtener u1(x) y u2(x), …, un(x). • Sustituimos estas n funciones en la solución propuesta yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)+ un(x)yn(x). • Sumamos las dos soluciones, así: y=yh+yp.

18. Problemas • Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: