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Cia da Matemática

Cia da Matemática. Logarítmos Decimais. A criação. A necessidade faz a descoberta. Durante os estudos de equações exponenciais precisávamos colocar ambos os membros na mesma base ou não conseguíamos resolver o problema. Relembrar também é viver. Lembre: 2 x = 8

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Presentation Transcript

  1. Cia da Matemática Logarítmos Decimais

  2. A criação

  3. A necessidade faz a descoberta • Durante os estudos de equações exponenciais precisávamos colocar ambos os membros na mesma base ou não conseguíamos resolver o problema.

  4. Relembrar também é viver... • Lembre: • 2x = 8 • 2x = 23 • x = 3 • Assim, S={3}

  5. Imagine calcular: • 2x = 5 • Desta vez não conseguimos colocar na mesma base e portanto o problema ficaria sem solução • ??? ??? ???

  6. Histórico

  7. A invenção dos logarítmos • Quando surgiu? • Final da idade Média • Séculos XIV a XVI • Onde Surgiu? • Europa Ocidental

  8. O mundo da época • Está saindo da Idade Média • O feudalismo está acabando

  9. Transformações mundiais • Políticas • Sociais • Econômicas • Culturais • Artísticas • Científicas

  10. Esta série de transformações culturais ocorridas no mundo, ficou conhecida como... Renascimento

  11. Renascimento • Época das grandes navegações • Mitos colocados abaixo • Desenvolvimento da navegação • Desenvolvimento da Astronomia • Os cálculos matemáticos começaram a ficar longos e trabalhosos...

  12. Renascimento • O verdadeiro renascentista humanista tem o dever do conhecer múltiplo • Música • Geometria • Astronomia • Artes • Arítmética • Collegium Poetarum et Mathematicorum

  13. Literatura

  14. Os Lusíadas • As armas e os barões assinalados, • Que da ocidental praia Lusitana, • Por mares nunca dantes navegados • Passaram além da Taprobana, • Em perigos e guerras esforçados, • Mais do que prometia a força humana, • E entre gente remota edificaram, • Novo reino, que tanto sublimaram.

  15. Renascimento e Navegação • O cálculo do posicionamento das “naves” do século XVI através dos estudos de trigonometria, auxiliou as grandes navegações. • Um dos grandes avanços foi a utilização de velas triangulares nas caravelas.

  16. Artes, ciências, engenharia... • Nomes famosos como: • Leonardo Da Vinci • Michelângelo • Maquiavel • Giotto • Shakespeare

  17. Leonardo Da Vinci O ideal renascentista do polímata

  18. Leonardo Da Vinci • Artista • Contador de anedotas • Músico • Cientista • Matemático • Engenheiro

  19. Leonardo Da Vinci • Um homem de muitos talentos, com uma insaciável curiosidade e sede de conhecimento. • Nasceu em Anchiano, vilarejo da cidade de Vinci em 15 de abril de 1452 • Viveu principalmente em Florença, Milão

  20. Leonardo Da Vinci • Não se dizia pintor, mas sim engenheiro: • Sistemas de aquecimento • Dreno de pântanos • Confecção de mapas • Sistema de canais • etc

  21. Leonardo Da Vinci • A Virgem e o Menino com Sant’Ana • 1508-10

  22. A Mona Lisa • Obra mais famosa • Foi pintada na época de maior produção • Concluída em 1508 • Obedece rigorosamente a padrões matemáticos.

  23. Leonardo Da Vinci • Trabalhou ainda com o Rei da França • Foi para Roma a convite do Papa Leão X. • Instalou-se no Belvedere do Vaticano, mas não gostava da agitação dos artistas do país, inclusive da incontestável posição de Michelângelo em Roma, resultante do seu trabalho na Capela Sistina • Morreu em 2 de maio de 1519, em Cloux

  24. Michelângelo Renascentista humanista

  25. Michelângelo • Outro grande renascentista • Como todo renascentista também atuava em outras áreas.

  26. Capela Sistina

  27. A Criação

  28. Forçando a descoberta • A esta altura dos acontecimentos, os matemáticos necessitavam criar operações que simplificassem os cálculos. • Lembre-se que: • Não haviam computadores ou calculadoras

  29. Os inventores • Primeiros a solucionarem os problemas • Joost Bürgi • John Neper • Criaram uma tabela que facilitava os cálculos • Tal tabela ficou conhecida como: • TÁBUA DE LOGARÍTMOS DECIMAIS

  30. Comparação de Sucessões de Bürgi • Aritmética 0 1 2 3 ... • Geométrica a0 a1 a2 a3 ... • Na base 10 • Aritmética 0 1 2 3 ... • Geométrica 100 101 102 103 ... • Resultado 1 10 100 1000 ...

  31. Utilização dos logarítmos

  32. log x música

  33. Escala musical • A escala musical possui intervalos de semitons em escala logarítmica. • Isto é fácil de ser observado pela própria curvatura existente nos instrumentos de corda • Verifica-se também quando mede-se as distâncias dos trastes de um violão.

  34. Teoria

  35. log 1 log 10 log 100 log 1000 = 0 = 1 = 2 = 3 Característica • É esperado que log de 5 seja um número compreendido entre 0 e 1 • É esperado que log de 50 seja um número compreendido entre 1 e 2

  36. Característica • Se log 10 = 1 • Se log 100 = 2 • Então log 50 = 1,????

  37. Característica • A este número, facilmente encontrado, chamamos de característica. • Assim, a característicca do log 5000 • é 3.

  38. Aplicação 01 • Qual a característica dos seguintes logarítmos: • log 3 • log 20 • log 785 • log 1234567

  39. log 100 log 10 log 1 log 0,1 log 0,01 = 2 = 1 = 0 = -1 = -2 Característica • É esperado que a característica do log 0,3 seja -1 • Espera-se também que seja um número compreendido no intervalo [ -1 , 0 ]

  40. Característica • Quando a base de um logarítmo está compreendida entre 0 e 1 • 0 < x < 1 • A característica é igual ao número de zeros que o número apresenta antes do primeiro algarismo não nulo

  41. Aplicação 02 • Calcule a característica de cada um dos logarítmos abaixo • log 0,8 • log 0,0045 • log 0,0103

  42. Característica e mantissa • Observemos o que uma calculadora fornece sobre: • log 50 = 1,6989... • CARACTERÍSTICA MANTISSA

  43. Mantissa • A mantissa de um logarítmo pode ser fornecido por calculadoras ou tábuas.

  44. Tábua de logarítmos • n 0 1 2 3 4 ... 9 • 10 0000 0043 0086 0128 0170 ... 0374 • 11 0414 0453 0492 0531 0569 ... 0755 • 12 0792 0828 0864 0899 0934 ... 1106 • 13 ... ... ... ... ... ... ... • ... ... ... ... ... ... ... ... • 20 3010 3032 3054 3075 3096 ... 3201 • 21 3222 3243 3263 3284 3304 ... 3404 • ... ... ... ... ... ... ... ... • 99 9956 9961 9965 9969 9974 ... 9996

  45. Mantissa • Alguns detalhes não podem passar despercebidos: • log 5 = 0,6989 • log 50 = 1,6989 • log 500 = 2,6989 • log 5000 = 3,6989 • Note que a mantissa permaneceu a mesma enquanto a característica foi modificada

  46. Característica e Mantissa • Log 300 pode ser escrito como: • log 100 . 3 = • = log 100 + log 3 = • = 2 + 0,4771 = • = 2,4771 • Característica 2 e mantissa 0,4771

  47. Característica e mantissa • Chega-se à conclusão que: • O log de um número pode ser dado por • Característica + Mantissa • C + M

  48. Observe o que acontece • Log 0,005 • C = -3 M = 0,6989 • C + M = -3+0,6989 = -2,3011

  49. Forma preparada ou mista • Quando calculamos log 0,005 = -2,3011, • perde-se a mantissa. • Esta forma é chamada de forma negativa. • Utilizando a forma mista, pode-se escrever: • log 0,005 = 3,6989

  50. Aplicação 03 • Se log 21=1.3222, calcule log 0,021 • Resolução: • M = 3222 • C = -2 • Forma mista: 2,3222 • Forma negativa -2 + 0,3222 = -1,6778

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