Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados

1. Prácticas de Física I Departamento de Física Aplicada I Escuela Politécnica Superior Teoría de Incertidumbres y presentación de resultados

2. MEDIDA E INCERTIDUMBRE • Toda ciencia experimental se basa en observacionescuantitativasquellamamosmedidas. • A suveztodoproceso de medidaestásujeto a limitacionesque se traduceninevitablemente en la existencia de ciertaincertidumbreasociada al resultado y queconstituyeunaindicacióncuantitativa de la calidad del mismo . ¡Esesencialespecificarla incertidumbre de unamedidayaquenosindica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma! Medida= (Valornumérico± incertidumbre) unidades

3. Errores de calibración. Condiciones experimentales no apropiadas. Lectura sesgada de los instrumentos. Resolución finita del instrumento de medida. Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en el procedimiento de medida. Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidas Etc. Fuentes de incertidumbre

4. Evaluación de la incertidumbre típica de una medida directa Conlleva dos valoraciones diferentes: • Evaluación tipo A: tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las mismas condiciones. Requiere de un análisis estadístico del conjunto de observaciones: x1,x2,x3,….xN. Se toma: • uA(x)= desviación típica • Evaluación tipo B: tiene en cuenta toda la información disponible acerca de la resolución del instrumento de medida, especificaciones del fabricante, certificados de calibración… • En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de la práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará: • uB(x)=resolución del instrumento (δx) Finalmente:

5. Análisis estadístico A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xNse toma: • El valor mediocomo resultado de la medida: • La desviación típica del valor medio como incertidumbre típica tipo A: • Cuando el número de medidas es pequeño (inferior a 10):

6. Aparatos analógicos: se toma como resolución del instrumento la menor • unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones). • Aparatos digitales: se toma como resolución una unidad del último dígito de lectura. Resolución x del aparato de medida V=1V T=0,1 ºC

7. Es el cociente entre la incertidumbre típica y el resultado de la medida • Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por ejemplo si x=12 cm y u(x)=4 cm, entonces ur= 4/12=0,33=33%. • No tiene unidades. • Da información sobre la bondad de la medida. Incertidumbre relativa

8. CASO 1: Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con un termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos: T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC Valor medio: T =64,6ºC Incertidumbre: uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC uB(T)=1ºC u(T)= = 1,5620499 ºC Resultado: T = (64,6 1,6) ºC; ur=2,5% Ejemplos

9. CASO 2: Supongamos que medimos una longitud tres veces con una regla graduada en milímetros y obtenemos: x1= 6.5 cm, x2 = 6.5 cm, x3 = 6.5 cm uB(x)=0,1 cºm Resultado:x = (6.5 0.1) cm, ur=1,5% ¡LA INCERTIDUMBRE u(x) NO PUEDE SER INFERIOR A LA RESOLUCIÓN DEL INSTRUMENTO!

10. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS • ¿Qué tienen de extraño estas frases?: • La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente 65 millones de años y 3 días. • Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27 segundos. • El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12 días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas.

11. Presentación de resultados. El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar como resultado: x=(1,2732345678534 ± 0,035) m Y tampoco tiene sentido: L=(2,1389639 ± 0,18653617) m • Norma: • Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas • Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden • inferior a la incertidumbre Resultados correctos: x=(1,273 ± 0,035) m L=(2,14 ± 0,19) m

12. Presentación de resultados: Redondeo • La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma: • Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada es mayor que 5. • Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5 • Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las siguientes es mayor que 0, la última cifra conservada se aumenta en una unidad. • Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la última cifra conservada no cambia si es par o se aumenta en una unidad si es impar (redondeo al par).

13. En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden suprimir: 2  0,21 cm INCORRECTO 2,00 0,21 cm CORRECTO Algunas observaciones... • Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la notación científica, esto es, en potencias de 10: (18000  3000) Pa = (18,0  3,0)  103Pa (0,00256  0,00017) N = (2,56  0,17)  10-3 N

14.  0,047  230 ; ur= 0,98 % ; ur= 4,5 % 4,813 5130 4,81343  0,04661  2,9 ; ur= 2,2 % 132,3 132,2894  2,8754 5127  234  0.0100 ; ur= 1.8 % 0.5378 0,53781  0,00996  2600 ; ur= 5,2 % 50400 50353  2550  0,34 ; ur= 0,14 % 2,35 2,3487  0,345 ; ur= 7,8 % 1091  85 1091,32  84,55 Ejemplos

15. Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A que se calculan a partir de los valores x,y,z de otras magnitudes mediante una fórmula: A=f (x,y,z) En este caso, la incertidumbre típica combinada deAviene dada por: Incertidumbre típica combinada de medidas indirectas

16. a c b Ejemplo: cálculo de incertidumbre combinada Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden con unas reglas obteniéndose los siguientes valores: a = 10,00  0,10 cm b = 25,0  2,0 cm c = 15,0  1,5 cm V = a·b·c= 3750 cm3 Incertidumbrecombinada: uc(V)=481,6962217 cm3 Resultado: V = (3750  480)cm3

17. Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador, conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan, procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final, NUNCA redondeando resultados intermedios. Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar, en el momento de operar, el máximo número significativo de cifras, de forma que el error considerado sea despreciable frente a la incertidumbre de las magnitudes que intervienen en la fórmula. Algunas observaciones...

18. m D Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero D: Diámetro m: masa El diámetro Dse mide con un calibre cuya resolución es: 0,01 cm La masamse mide con una balanza cuya resolución es: 0,1 g La expresión a utilizar será:

19. Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero Cálculo de D:

20. Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero Cálculo de incertidumbre típica de D:

21. Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero Resultado de D: Resultado truncado y redondeado

22. Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero Se realiza una única medida de m, obteniéndose: Cálculo de incertidumbre típica de m: En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de haber sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por tanto, la incertidumbre será igual a la resolución del instrumento: Resultado de m: Resultado truncado y redondeado

23. Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero Cálculo de ρ:

24. Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero Cálculo de incertidumbre típica combinada de ρ:

25. Ejemplo Medición de la densidad de una bola de acero Resultado final: Resultado truncado y redondeado

26. Línea de ajuste Puntos distribuidos por toda la gráfica Escala sencilla V (102mV) 17 Eje de ordenadas (v. dependiente) 16 Errores 15 14 ¡Nunca! 13 12 6 8 2 4 5 7 1 3 I (mA) El origen no tiene porqué ser el (0,0) Eje de abcisas (v. independiente) Representaciones Gráficas Identificación de los ejes

27. Ajuste por mínimos cuadrados Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para un resorte y para ello colgamos del muelle masas de distinto valor del muelle y medimos la elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0, luego y=g/k M por lo que esperamos que si se representa x frente a M los datos se alineen en una recta Los puntos no están perfectamente alineados como cabría esperar debido a los errores accidentales e instrumentales del experimento. El método de Ajuste por Mínimos Cuadrados permite encontrar la recta que ajusta mejor a todos los puntos experimentales

28. Ajuste por mínimos cuadrados La recta que buscamos es: y = m·x + b. m  Pendiente b  Ordenada en el origen Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x1, y1), (x2, y2) …(xn,yn)

29. Coeficiente de correlación • Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados. • Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor). ¡ Un ajuste por mínimos cuadrados es aceptable solo si |r| > 0,9 ! • Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9, redondeándola en su caso:r = 0.9996714  r = 0.9997

30. m = 0,0049 ± 0,0005 cm/g b = 0,09 ± 0,80 cm r = 0,997 Resultado final: Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud de interés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle. En efecto, según la teoría Lo que implica que g/k es la pendiente y la ordenada en el origen es cero En nuestro ejemplo: m = 0,0048726027 cm/g; uc(m)=0,0005401 cm/g b = 0,0908219 cm; uc(b)=0,8029164 cm r = 0,99728

31. Por lo tanto k = (20,0  2,0)  104 g/s2; ur= 10 %