Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Królowej Jadwigi w Zagórowie • ID grupy: 98/74_mf_g1 • Opiekun: Aneta Borowska • Kompetencja: • matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: • 2-2010/11

3. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) Nazwa szkoły: Gimnazjum 41 (Zespół Szkoł z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu) ID grupy: 98_14_mf_g1 Opiekun: Jolanta Kurzawa-Zeidler Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: II/ 2010-2011

4. Historia Liczb Liczba Ludolfina Leonardo Fibonacci Liczby pierwsze Złota Liczba Sito Eratostenesa Złoty Podział Liczby Bliźniacze Zagadki Kryptografia Z Kluczem Publicznym Liczby Olbrzymy Zakończ

5. MENU Historia liczb

6. MENU Historia liczb

7. MENU Historia liczb

8. MENU Historia liczb

9. MENU Historia liczb

10. MENU Historia liczb

11. MENU Historia liczb

12. MENU Historia liczb

13. MENU Historia liczb

14. MENU Przykładowe liczby: Ateńczycy początkowo do pisania liczb używali liter słów - liczebników : Г - oznaczało 5 Δ - oznaczała 10  H - oznaczało 100 X - oznaczało 1000 M - oznaczało 10 000. I, II, III, IIII - oznaczało 1, 2, 3, 4. Za pomocą takich cyfr mógł starożytny Grek mógł wyrazić każdą potrzebną mu liczbę.

15. MENU PRZYKŁADOWE LICZBY: Znaki rzymskie są pochodzenia etruskiego i znane już były około 2500 lat temu. Początkowo Rzymianie zapisywali liczby za pomocą pionowych kresek. Później używano także liter. Cyfry, który w systemie rzymskim jest tylko siedem oznacza się dużymi literami alfabetu. System ten funkcjonuje do dziś. Cyfry rzymskie można spotkać na tarczy zegara, przy numeracji rzędów, używa się ich czasami do zapisu dat, oznaczania wielkich postaci na przykład Jan Paweł II, Jan III Sobieski itd.

16. MENU PRZYKŁADOWE LICZBY: Cyfry, którymi obecnie posługujemy się powszechnie, pochodzą od Hindusów.  Narody europejskie poznały je dzięki Arabom. Słynny matematyk Leonardo Fibonacci z Pizy pierwszy podaje je w swoim wielkim dziele Liber Abaci (Księga abaku), wydanym w 1202 r. Polska była jednym z pierwszych krajów, który wprowadził u siebie cyfry hinduskie, a było to w XIV stuleciu. Arytmetyka oparta na użyciu cyfr hinduskich była u nas wykładana w Akademii Krakowskiej.

17. MENU PRZYKŁADOWE LICZBY: Majowie to naród, który zamieszkiwał tereny obecnego Meksyku, Hondurasu i Gwatemali, wytępiony przez zdobywców Ameryki. Naród ten stworzył wysoko rozwiniętą cywilizację. Do zapisu liczb Majowie używali między innymi takich znaków:

18. MENU PRZYKŁADOWE LICZBY: Egipcjanie do wyrażania swoich myśli i słów na piśmie używali znaków zwanych hieroglifami. Uproszczone pismo hieroglificzne nazywam hieratycznym Tak Egipcjanie zapisywali ułamki

19. MENU PRZYKŁADOWE LICZBY: Takimi cyframi posługiwali się - Tales - Euklides - Archimedes

20. MENU Leonardo pisano fibonacci • Fibonacci (Leonardo z Pizy) (ur. ok. 1175r. - zm. 1250r.) włoski matematyk. • W czasie swych podróży po Europie wraz z ojcem a potem samodzielnie po krajach Wschodu miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich między innymi system dziesiętny. Po powrocie do kraju publikuje w 1202 Liber Abaci gdzie opisuje system pozycyjny liczb i wykłada podstawy arytmetyki. W 1220 wydaje Practica geometriae będące połączeniem algebry i geometrii.

21. MENU Liczby fibonacciego • Liczby Fibonacciego to matematyczny ciąg liczbowy, którego wartości i stosunki odpowiadają zadziwiająco licznym i różnorodnym zjawiskom przyrodniczym i artystycznym.

22. MENU Ciąg Fibonacciego • 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … • Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, • pierwszy i drugi wyraz to 1,każdy następny to suma dwóch poprzednich, • postać rekurencyjna ciągu (fn – n-tywyraz ciągu):

23. MENU Jeden z problemów fibonacciego • Jeden z problemów którymi zajmował się Fibonacci w swojej książce Liber Abaci dotyczącym rozmnażania się stada królików. • Zasady tego eksperymentu mentalnego są proste: zaczynamy od jednej pary, każda samica królika wydaje na świat potomstwo w miesiąc po kopulacji; konkretnie jednego samca i jedną samicę. • W miesiąc po urodzeniu królik może przystąpić do reprodukcji. • Jak w takiej sytuacji będzie wyglądał rozwój naszej farmy, ile królików będzie liczyła po jednym roku?

24. MENU Przy końcu ostatniego miesiąca możemy się spodziewać krótkiego sparingu w pierwszej parze królików. Pod koniec drugiego miesiąca samica urodzi parę młodych tak więc na farmie będą już dwie pary. W trzecim miesiącu będziemy mieli już trzy pary, gdyż pierwsza samica wyda na świat kolejne potomstwo, a urodzone wcześniej przystąpi do kopulacji itd. W łatwy sposób można obliczyć, że liczebności w kolejnych miesiącach będą wynosić 1,1,2,3,5,8,13,21,34...Kolejne jego elementy stanowią sumę dwóch wcześniejszych Np. 21=13+8. Szereg liczb obrazujący m.in. rozród królików nosi nazwę Ciągu Fibonacciego. Stosunek ma ścisły związek z ciągiem Fibonacciego. Stosunek dwóch kolejnych liczb wyrazów w ciągu w miarę wzrastania jest coraz bliższy wartości

25. MENU Zadanie Fibonacciego W SKRÓCIE: • Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli: • -każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, • -para staje się płodna po miesiącu, • -króliki nie zdychają?

26. MENU naSZ Opis wizualny problemu

27. MENU Poziomy fibonacciego • Poziomy Fibonacciego (poziomy zniesienia Fibonacciego, potocznie: "poziomy Fibo") - jedna z metod analizy technicznej opierająca się na zasadzie złotej proporcji (złotego podziału) Metoda opiera się na założeniu, że występujące w licznych przypadkach w przyrodzie "złote proporcje" pojawiają się również na wykresach cen instrumentów finansowych lub indeksów takich jak Np. akcje, kontrakty terminowe i inne.

28. MENU zastosowanie POZIOMÓW FIBONACCIEGO • Podstawowe i najprostsze zastosowanie metody to wyznaczenie na wykresie cen analizowanego waloru znaczącego maksimum i znaczącego minimum w ostatnim okresie . Jest to w dużym zakresie decyzja uznaniowa jaki czas jest brany pod uwagę i zależy również od tego czy analizujemy dany walor w krótkim czy długim terminie. • Bezwzględna różnica tych poziomów (czyli odległość) uznana jest za odcinek jednostkowy. Odcinek ten można następnie podzielić w proporcjach będących współczynnikami Fibonacciego, a także przedłużać go, również zachowując "złote proporcje".

29. Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. MENU Liczby Fibonacciego w przyrodzie

30. MENU ZŁOTA LICZBA • Liczba Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Jest to liczba niewymierna, równa ułamkowi dziesiętnemu 0,61804... albo też bardzo niezwykłemu ułamkowi łańcuchowemu: 

31. złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: dokładna wartość: przybliżona wartość: kwadrat złotej liczby: odwrotność złotej liczby: dokładna wartość: przybliżona wartość: MENU WZORY I ZALEZNOŚCI ZŁOTEJ LICZBY

32. MENU Własności złotej liczby • Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. • Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. • Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. • (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego).

33. MENU Ciąg Fibonacciego a złota liczba • Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… • Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

34. MENU ZŁOTY PODZIAŁ • Złoty podział(podział harmoniczny), dla liczby a, a1, 0 jest to przedstawienie tej liczby w postaci dwu składników b, c takich, że Dla odcinka jest to podział wewnętrzny tego odcinka w stosunku  • W wyniku złotego podziału odcinka otrzymuje się dwa odcinki o tej własności, że stosunek długości krótszego z nich do długości dłuższego jest równy stosunkowi długości dłuższego odcinka do długości dzielonego odcinka. Na przykład punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. Również bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego z odcinków wyznaczonych przez złoty podział promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie. W starożytności przypisywano złotemu podziałowi odcinka wyjątkowe walory estetyczne i używano go jako miary proporcji w architekturze.Do czasów współczesnych złoty podział był jedną z podstawowych reguł sztuk plastycznych.

35. MENU ZŁOTY PODZIAŁ • Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych • Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

36. MENU a + b a a b a b a + b Złoty podział odcinka • Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. • liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)).

37. MENU Złote cięcie w przyrodzie • Na wspólnej gałązce • między każdymi • dwiema parami listków • trzecia para leży • w miejscu złotego cięcia.

38. MENU Zagadki : • Kombinacja cyfrowa • Co można zrobić, by liczba będąca kombinacją złożoną z cyfr 3, 1 oraz 6, zapisanych jedna za drugą, była podzielna przez 7? • Odpowiedź : • Wystarczy obrócić 6 tak, by utworzyła 9 i zapisać 931.

39. MENU Zagadki : • Nowe świece • Jeśli z trzech ogarków świec można wykonać jedną nową świecę, to ile świec możemy zapalić, mając początkowo do dyspozycji 9 świec? • Odpowiedź : • Po 9 świecach pozostaje 9 ogarków. Powstają z nich 3 nowe świece, a więc 9 + 3 = 12. Z ogarków 3 nowych świec można wykonać jeszcze 1, a zatem 12 + 1 = 13.

40. MENU Zagadki : • Płot ogrodowy • Kwadratowy ogród otoczony jest 16 słupkami ogrodzenia ustawionymi w jednakowych odstępach. Ile słupków znajdzie się wzdłuż każdego z boków ogrodu? • Odpowiedź : • 5, ponieważ każdy ze słupków narożnikowych należy do dwóch boków ogrodzenia.

41. MENU Zagadki : • Ciężka praca • Jeśli 10 mężczyzn potrzebuje 10 dni na wykopanie 10 dołów, to ile czasu musi poświęcić 1 mężczyzna, by wykopać pół dołu? • Odpowiedź : • Nie ma czegoś takiego jak pół dołu!

42. MENU Zagadki : • Ciąg liczbowy • W tym ciągu liczbowym nie chodzi o liczenie, ponieważ liczby uporządkowano w nim według określonego schematu. Jaka powinna być następna liczba? • 1 2 3 5 8 13 21 34 ?? • Odpowiedź : • Następna liczba to 55, gdyż każda kolejna liczba ciągu stanowi sumę 2-óch poprzednich.

43. MENU Zagadki : • Szybkie starzenie się • Pan Kowalski stwierdza: ,,Przedwczoraj miałem 40 lat, a w przyszłym roku będę miał 43”. Czy to możliwe? • Odpowiedź : • Pan Kowalski urodził się 31 grudnia, a wypowiada się 1 stycznia. Tak więc 30 grudnia miał jeszcze 40 lat, 31 grudnia skończył 41, w tym roku będzie miał 42, a w przyszłym 43 lata.

44. MENU Liczba π -ludolfina • Stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1. Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

45. MENU Niewymierność i przestępność liczby π • Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

46. MENU Przybliżone wartościπ • W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami3,14 lub 22/7rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo w postaci ułamka zwykłego355/113 lub 52163/16604(dwa ostatnie ułamki są równe π z dokładnością do 6 miejsc po przecinku).

47. MENU Ciekawostki o liczbie π • Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7=~3.1428). • Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. • Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem: • Nie,Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)

48. MENU Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'. Kuć i orać w dzień zawzięcie, Bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu!

49. MENU Inne przykłady: Jaś o kole z werwą dyskutujebo dobrze temat ten czujezastąpił ludolfinę słowami wierszykaczy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika ? Oto i wiem i pomnę doskonale... Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła. Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta: Raz w maju, w drugą niedzielę Pi liczył cyfry pan Felek. Pomnożył, wysumował, Cyferki zanotował, Ale ma ich niewiele...

50. MENU Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero): Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza − to zastąpić liczbami. Popularny jest również polski wierszyk: Był i jest i wieki chwalonymów będzie którykół obwód średnicą wymierzył