BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

1. BAB VII RUANG VEKTOR UMUM

2. 7.1 Ruang Vektor Real Misal V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek- objek sembarang dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Jika aksioma berikut dipenuhi oleh u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor dan objek-objek pada V disebut vektor. Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka v + u berada pada V. 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w

3. Di dalam V trdapat suatu objek 0, yang disebut vektor 0 untuk V, sedemikian rupa, sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V. Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u, sedemikian rupa sehingga u + (–u ) = –u + u = 0 Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah objek sembarang pada V, maka ku terdapat pada V. 7. k(u + v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)(u) 10. 1u = u

4. Contoh 7.1 Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matriks 2 x 2 dengan entri-entri real adalah suatu ruang vektor jika penjumlahan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks. Penyelesaian Aksioma 1 u + v adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 1).

5. Aksioma 2 u + v = v + u adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 2). Aksioma 3 u + (v + w) = (u + v) + w adalah matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 3).

6. Aksioma 4 u + 0 = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 4). Aksioma 5

7. u + (–u) = (–u ) + u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 5). Aksioma 6 ku merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 6).

8. Aksioma 7 k(u+v) = ku + kv dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 7).

9. Aksioma 8 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 8). Aksioma 9 (k+l) u = ku + lu dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 9).

10. Aksioma 10 1u = u dan merupakan matriks 2 x 2 dengan entri-entri real (memenuhi aksioma 10).

11. 7.2 Sub-ruang vektor Jika W adalah semua himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V , maka W adalah suatu sub-ruang dari V, jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W , maka u + v berada pada W. 2. Jika k adalah skalar sembarang dan u adalah vektor sembarang pada W, maka ku berada pada W.

12. Contoh 7.2 Diketahui W adalah himpunan titik–titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar R2, tunjukkan bahwa W merupakan sub–ruang dari R2! Penyelesaian Akan ditunjukkan bahwa W memenuhi dua syarat sub–ruang vektor , yaitu : 1. W = {x,0} untuk sembarang nilai x, x ∈ R Misalkan a = (x1, 0) dan b = (x2, 0) dengan x1, x2 ∈ R, maka a, b ∈ W a + b = (x1 + x2, 0 ) dengan x1 + x2 ∈ R. Jadi a + b ∈ R Syarat ke–1 terpenuhi.

13. Untuk skalar k , maka k a = ( kx1, 0 ) dengan kx1 ∈ R, jadi k a ∈ R Jadi syarat ke–2 terpenuhi Karena kedua syarat terpenuhi, maka W merupakan sub–ruang R2

14. Merentang (Spanning) Jika v1, v2, …, vr, adalah vektor-vektor pada suatu ruang vektor V, maka: Himpunan W yang terdiri dari semua kombinsi linier v1, v2, …, vr , adalah suatu subruang dari V. (b) W adalah suatu subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, …, vr dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2, …, vr pasti mengandung W. Contoh 7.3 Diketahui W adalah himpunan titik–titik di bidang dengan ordinat 0 dengan operasi standar R2, tunjukkan bahwa W merupakan sub–ruang dari R2!

16. 7.3 Kebebasan Linier Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka persamaan vektor, k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0 memiliki paling tidak satu solusi, yaitu k1 = 0, k2 = 0, …, kr = 0 Jika solusi tersebut merupakan satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linier (linearly independent) Jika terdapat solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan tidak bebeas linier (linearly dependent)

17. Contoh 7.3 Tentukan apakah vektor-vektor: v1 = (2, –1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, –1), v3 = (7, –1, 5, 8), membentuk suatu himpunan bebas linier atau tak-bebas linier Penyelesaian k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1 (2, –1, 0, 3) + k2 (1, 2, 5, –1) + k3 (7, –1, 5, 8) = (0, 0, 0) 2k1 + k2 + 7k3 = 0 – k1 + 2k2 – k3 = 0 0k1 + 5k2 + 5k3 = 0 3k1 – k2 + 8k3 = 0

18. ½ R1 R2 + R1 R4 – 3R1 2/5 R2 R3 – 2R2 R4 + R2

19. k1 + 1/2k2 + 7/2 k3 = 0 k2 + k3 = 0 Tentukan k3 = –t Didapat k2 = t , k1 = 3t Jika t = 1, maka k3 = –1, k2 = 1 , k1 = 3 Sehingga memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0 Himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} tidak bebas linier, karena memenuhi 3v1 + v2 – v3 = 0

20. Latihan Tentukan, apakah vektor-vektor pada R3 berikut bebas linier atau tak bebas linier! a) (4, –1, 2), (–4, 10, 2) b) (–3, 0, 4), (5, –1, 2), ( 1, 1, 3) c) (–1, 0, 1), (3, 2, 5), ( 6, –1, 1), (7, 0, –2)

21. Interpretasi Geometrik dari kebebasan Linier Kebebasan linier mempunyai sejumlah interpretasi geometrik yang berguna pada R2 dan R3, yaitu: Pada R2 atau R3, suatu himpuan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tdk terletak pada garis yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z z z v2 v2 v2 v1 v1 y y y v1 Tidak bebas linier Bebas linier Tidak bebas linier x x x

22. 2. Pada R3, suatu himpuan yang terdiri dari tiga vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tsb tidak terletak pada bidang yg sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. z z z v3 v3 v3 v2 v2 v2 y y y v1 v1 v1 x x x Bebas linier Tidak bebas linier Tidak bebas linier

24. Basis dan Dimensi