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8.2 M/M/n 等待制，无限源，无限容量 (M/M/n: //FIFO)

8.2.1 系统稳态概率及 等待概率 令从顾客源来的顾客到达率为  ，每台的服务率为  则有  j =  , j 0;  j = j , j < n ；  j = n , j  n 将  j ,  j 代入生灭方程，得. 8.2 M/M/n 等待制，无限源，无限容量 (M/M/n: //FIFO). D 爱尔兰等待公式 排队等待的概率是等待制系统的重要指标之一 n =1 时， D =  公式 D 的记忆法. 当   n 时，则 p 0 中第二项不收敛，系统中队长将趋于无穷

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8.2 M/M/n 等待制，无限源，无限容量 (M/M/n: //FIFO)

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  1. 8.2.1 系统稳态概率及等待概率 令从顾客源来的顾客到达率为 ，每台的服务率为  则有 j = , j0; j = j, j<n； j = n, jn 将j , j代入生灭方程，得 8.2 M/M/n 等待制，无限源，无限容量(M/M/n: //FIFO)

  2. D爱尔兰等待公式 • 排队等待的概率是等待制系统的重要指标之一 • n=1 时，D=  • 公式D 的记忆法 • 当   n时，则 p0中第二项不收敛，系统中队长将趋于无穷 • 当  < n时，系统有稳态，处于动态平衡；无限容量等待制，每个顾客早晚都会得到服务，因此系统完成的业务量也是  • 顾客进入系统必须排队等待的概率为

  3. 8.2.2 系统的各种指标 • 等待制系统的指标有：平均逗留队长；平均等待队长；平均逗留时长；平均等待时长和服务台利用率等 • n=1 时，D=  ，Ld = /(1)， Lq = 2/(1)，Wq=  /() • 例5书上 273页

  4. 8.2.3 等待时间的概率分布 • 前面只推导了要等待的概率 D=P{W>0}，但在很多情况下我们希望知道等待时长的分布，即 P{W>t} • 系统中有 j个顾客， jn时，新来顾客要排队等待，采用FIFO规则；令新顾客到达时为 0 时刻，显然，只有服务台上离去 jn个顾客时，新顾客才排到队首 • 当 n个服务台连续服务时，顾客离去率为 n，因此服务台空出的过程是波松流，在(0, t)内空出 i次的概率为

  5. 等待时长分布的推导

  6. 例6某储蓄所内，已知忙时顾客到达率 =40人/小时，窗口营业员服务率为 =16人/小时，要求：(1)工时利用率不低于 60%；(2)顾客平均等待时间不超过 5 分钟；问：设几个窗口适当。 解：系统是无限源M/M/n等待制。= / =40/16=2.5Erl (1)  =  /n  0.6，解出 n  4.17，故 n可取值 3， 4 (2) n=3 时，p0=(1++2/2!+ (3/3!)(3/(3-2.5))1=0.045

  7. 例7兴建一座港口码头，只有一个装卸泊位，要求设计泊位的生产能力，能力用日装卸船只数表示。已知单位装卸能力日平均生产费用为 a=2000元；船只到港后若不能及时装卸，逗留一日要损失运输费 b=1500元；预计船只的平均到达率为 =3 只/日。设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布，问港口生产能力设计为多大时，每天总费用最小？ 解：系统是无限源M/M/1 等待制，生产能力用 (只/日)表示 目标函数：min C= a +bLd

  8. 例8M/M/1 等待制系统,无限队长,顾客到达与队长有关 • 该系统仍为无限源，但考虑到顾客对排队的心理，假设顾客到达率与队长成反比关系 即 j = 0/(1+j)， 0 为队长为 0时的顾客到达率 • 从而系统的 j 和 j为 • 将 j 和 j代入生灭方程，得

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