第 4 章光的衍射 (Diffraction)

菲涅耳衍射(近场衍射) 夫琅和费衍射(远场衍射) 第4章光的衍射 (Diffraction) 在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象和应用：

4.1.1 光的衍射现象 (Diffraction phenomena) 定义:光的衍射是指光波相传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。 • 光可统过障碍物; • 在障碍物后呈现出光强的不均匀分布。

圆孔衍射 * 单缝衍射 * 4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)

4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction) 变小模糊同心圆环圆环增大当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带。

4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction) 光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是相干光波叠加引起的光强的更新分布，所不同之处在于: (1)干涉现象是有限个相干光波的叠加; (2)衍射现象则是无限多个相干光波的叠加结果。

4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction) • 衍射现象约特殊性，在数学上遇到了很大的困难，以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，实际的衍射理论都是一些近似解法。 • 下面介绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。

惠更斯次波波源 菲涅耳相干叠加基尔霍夫数学表达式 4.1.1 光的衍射现象 (Phenomena of diffraction)

S 球面波平面波 4.1.2惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 惠更斯原理:

z  R Q r S P  z 4.1.2惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 根据惠更斯—菲涅耳原理:可以看作是 S和 P之间任一波面Σ上各点发出的次波在 P点相干叠加的结果。

4.1.2惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 则 d面元上的次波源对 P点光场的贡献为 C是比例系数，，K() 称为倾斜因子，它是与元波面法线和的夹角(称为衍射角)有关的量

z  Q R r S P  z 4.1.2惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 按照菲涅耳的假设：当＝0时，K 有最大值；随着  的增大，K 迅速减小，当 ≥/2时，K＝0。

4.1.2惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 所以 P点的光场复振幅为这就是惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯—菲涅耳公式。

z  Q R r S P  z 4.1.2惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 当S 是点光源时，Q 点的光场复振幅为

4.1.2惠更斯—菲涅耳原理 (Huygens-Fresnel principle) 由于 K()的具体形式未知，不可能由(1)式确切地确定值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够完善的。

4.1.3 基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula ) 基尔霍夫从微分波动方程出发,利用格林定理,给出了惠更斯—菲涅耳原理较完善的数学表达式。 ＋1构成封闭曲面； ＋1围成空间区域；

4.1.3 基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula ) 他将空间 P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场建立起了联系，得到了倾斜因子K()的具体表达式，建立起了光的衍射理论。

4.1.3 基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula ) 这个理论将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它有关分量也可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，因此称为标量衍射理论。

V n n  P   1. 基尔霍夫积分定理假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ传播，在 t 时刻、空间 P点处的光电场为

V n n  P   1. 基尔霍夫积分定理若P是无源点，该光场应满足如下的标量波动方程：

1. 基尔霍夫积分定理 将(3)式代入，可得式中，k =ω/c，该式即为亥姆霍兹方程。

现在假设有另一个任意复函数 ，它也满足亥姆霍兹方程 1. 基尔霍夫积分定理且在Σ面内和Σ面上有连续的一、二阶偏微商(个别点除外)。

V n n  P   表示在Σ上每一点沿向外法线方向的偏微商。 1. 基尔霍夫积分定理如果作积分

1. 基尔霍夫积分定理 则由格林定理，有式中，V是Σ面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被积函数在 V内处处为零。

根据所满足的条件，可以选取 为球面波的波函数： 1. 基尔霍夫积分定理因而这个函数除了在 r = 0点外，处处解析。

V n n  P   1. 基尔霍夫积分定理 (6)式中的Σ应选取图所示的复合曲面Σ+Σ，其中Σ是包围 P 点、半径为小量ε的球面。该积分为

V n n  P   1. 基尔霍夫积分定理由(7)式，有

1. 基尔霍夫积分定理 对于Σε面上的点，cos(n, r)＝－1，r＝，所以，

1. 基尔霍夫积分定理 因此

的球面积为 时

1.基尔霍夫积分定理 故有这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。

1.基尔霍夫积分定理 它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面Σ上的光场联系了起来：

2. 基尔霍夫衍射公式 现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。

2 (n, r) 1 (n, l) Q n r R l P  S 2. 基尔霍夫衍射公式如图所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔Σ，用点光源 S 照明，并设Σ的线度δ满足

2 (n, r) 1 (n, l) Q n r R l P  S 2. 基尔霍夫衍射公式围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以 P点为中心、R 为半径的大球的部分球而Σ2。

2 (n, r) 1 (n, l) Q n r R 下面确定这三个面上的和。 l P  S 2. 基尔霍夫衍射公式在这种情况下，P点的光场复振幅为

①在上Σ，和 的值由入射波决定，与不存在屏时的值完全相同。因此 2. 基尔霍夫衍射公式 A是离点光源单位距离处的振幅，cos(n, l)表示外向法线 n与从 S到Σ上某点Q的矢量 l 之间夹角的余弦。

2 (n, r) 1 (n, l) Q n r R l P  S 2. 基尔霍夫衍射公式 ②在不透明屏的背照面Σl 上，，。通常称这两个假定为基尔霍夫边界条件。应当指出，这两个假定都是近似的，因为屏的存在必然会干扰 Σ处的场，特别是开孔边缘附近的场。

2 1 n (n, l) Q (n, R) n r R l P  S 2. 基尔霍夫衍射公式 ③对于Σ2面，r＝R，cos(n, R)＝1，且有

2. 基尔霍夫衍射公式 因此，在Σ2上的积分为 Ω是Σ2 对 P点所张的立体角，dω是立体角元。

2 (n, r) 1 R (n, l) Q n r  l  S P 2. 基尔霍夫衍射公式扇形面积的计算公式：

2. 基尔霍夫衍射公式 索末菲指出，在辐射场中 (索末菲辐射条件)，而当 R→∞时，(eikR / R) R是有界的，所以上面的积分在 R→∞时(球面半径 R取得足够大)为零。

2. 基尔霍夫衍射公式 通过上述讨论可知，在(11)式中，只需要考虑对孔径面Σ的积分，即

2. 基尔霍夫衍射公式 将(12)式代入上式，略去法线微商中的 l/r 和 1/l (它们比 k要小得多)项，得到此式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公式。

2. 基尔霍夫衍射公式 与(1)式进行比较，可得

2. 基尔霍夫衍射公式 ① P点的光场是Σ上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，与波长 成反比。

2 (n, r) 1 R (n, l) Q n r  l  S P 2. 基尔霍夫衍射公式 ② 因子(- i) 表明，次波源的振动相位超前于入射波 / 2；

2 (n, r) 1 (n, l) Q n R r l P S  2. 基尔霍夫衍射公式 ③倾斜因子 K() 表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在 0与 1之间。

2 (n, r) 1 (n, l) Q n R r l P S  2. 基尔霍夫衍射公式 ③如果一平行光垂直入射到Σ上，则 cos(n,l) =－1，cos(n,r)= cos，因而

2. 基尔霍夫衍射公式 当＝0 时，K() ＝1，这表明在波面法线方向上的次波贡献最大；当＝ 时，K()＝0。这一结论说明，菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设 K(/2)＝0 是不正确的。

3. 基尔霍夫衍射公式的近似 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式，因被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际条件进一步作近似处理。

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