Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM • ID grupy/opiekun: • 97/27_MF_G2 / Iwona Wendt • Temat projektowy: • PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TRÓJKĄTA • Semestr rok szkolny • III2010/2011

3. Zadanie główne • Głównym zadaniem tego projektu było znalezienie • i zaprezentowanie jak największej liczby zadań • optymalizacyjnych związanych geometrią trójkąta.

4. WYKORZYSTANIE FUNKCJI KWADRATOWEJ DO PROBLEMÓW ZWIĄZANYCHZ OPTYMALIZACJĄ max min

5. Zadanie 1 Jaka jest największa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 42? Opracowała: Ania Mencel, Martyna Maciaszczyk klasa 2a

6. Zadanie 1 Jaka jest największa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 42? x + y = 42 => y = 42 – x xy – max f(x) = x (42 – x) f(x) = 42x – x2 p = 21 Q = f(21) = 882 – 441 = 441 Największa wartość iloczynu to 441.

7. Zadanie 2 Wyraź pole prostokąta przedstawionego na rysunku jako funkcję zmiennej x. Podaj wymiary prostokąta o największym polu. Opracowała: Paulina Trawińska Mateusz MIchalak, klasa 2a

8. P(x)=x(24-3x)= -3x2+24x a=-3 b=24 p=-b/2a=-24/-6=4 x=4 y=24-3x=12 Odp. Boki prostokąta o największym polu mają długość 4 i 12. Szukane: P(x)= ? Pmax= ? P(x)= x*y y=24-2a tgα=8/12=2/3 tgα=x/a x/a=2/3 2a=3x Rozwiązanie

9. Zadanie 3Wyraź pole prostokąta przedstawionego na rysunku jako funkcję zmiennej x. Podaj wymiary prostokąta o największym polu.

10. Szukane: P(x)=? Pmax=? P=x*y tgα=2/4 tgα=x/4-y x/4-y=1/2 x=2-½y y=-2x+4 P(x)=x(-2x+4) P(x)=-2x2+4x p=-b/2a p=-4/-4=1 x=1 y=-2x+4=2 Odp.Boki prostokąta o największym polu mają długość 1 i 2. Rozwiązanie

11. Jakie największe pole może mieć trójkąt prostokątny wpisany w okrąg o promieniu 3? Zadanie 4 Opracowali: Marta Jurkiewicz, Olek Duczmal, klasa 2a

12. Rozwiązanie Odp. Największe pole trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 3 wynosi 9.

13. Zadanie 5 Na jakiej powierzchni zmieści się cała ludzkość? Opracowała: Magdalena Olek, klasa 2a

14. Założenia: • Przyjmując, że wszyscy ludzie są postury nastolatków. • W prostokącie o wymiarach 1m na 2m ilość osób która znajduje się na jego powierzchni wynosi 28. Dzięki czemu wiemy, że na 1m2 przypada 14 osób.

15. Dane: • Liczba ludności świata wynosi: 6800000000 osób • Ilość osób, które są wstanie zmieścić się na 2m2wynosi: 28 • Ilość osób, które są wstanie zmieścić się na 1m2 wynosi: 14

16. Rozwiązanie: • Liczbę ludności świata dzielimy przez ilość osób, które są wstanie zmieścić się na 1m2: 6800000000 : 14 = 485714285,714285..m2 • Zamieniamy jednostkę na km2: 485714285,714285 : 1000000 = 485,714..km2 • W przybliżeniu potrzebne jest nam: 486 km2, aby zmieścić całą ludzkość. Jest to przybliżenie z nadmiarem.

17. Rozwiązanie zadania na podstawie trójkąta równobocznego: Odp. Ramię trójkąta musi wynosić co najmniej 33km. Jest to przybliżenie z niedomiarem.

18. Uwaga !Porównanie: • Powierzchnia Polski wynosi: 322 575 km2 • Trójkąt w którym zmieści się cała ludzkość można zbudować pomiędzy trzema sąsiadującymi miejscowościami, których odległość w przybliżeniu wynosi powyżej 30 km, np.Ostrów Wielkopolski,OpatówekiMarszew.

20. Zadanie 6 Oblicz, w jakiej odległości znajduje się horyzont dla obserwatora stojący na brzegu morza (wysokość wzroku obserwatora wynosi 1,60m). Opracowała: Magdalena Płonka, klasa 1b

21. ROZWIĄZANIE: Promień Ziemi (uśredniony) r = 6400 km h = 1,6 m = 0,0016 km d = ? Twierdzenie Pitagorasa W naszym równaniu wielkość h2jest w stosunku do rh praktycznie zerowa, można ją pominąć przy mniejszych wysokościach. Odp.: Odległość obserwatora od horyzontu wynosi ok. 4,5 km.

22. Zadanie 7NA ULICACH MANHATTANU Miejsce akcji: Sąd apelacyjny Stanu Nowy Jork Data: 20 października 2005 roku Osoby: Sędzia, Oskarżony, Prokurator, Obrońca Sędzia: Przestępstwo należy uznać za ciężkie, gdy zostaje popełnione na terenie szkoły lub w miejscu oddalonym do 1000 stóp od szkoły. Obrońca: Policjant, pokonał na piechotę drogę z miejsca przestępstwa do szkoły i uzyskał wynik 1294 stóp, a idąc skrótem pokonał 1091 stóp. Prokurator: Może warto sobie przypomnieć twierdzenie Pitagorasa…

23. ROZWIĄZANIE Dane: a=490 stóp (odległość od szkoły do zbiegu ulic) b=764 stóp (odległość od miejsca przestępstwa do zbiegu ulic) c= ? (czy przestępstwo można zakwalifikować jako ciężkie) a c b Prokurator: A więc 908 stóp to znacznie mniej niż 1000 stóp. Mamy więc do czynienia ze szczególnie ciężkim przypadkiem!

24. Zadanie 8 Wyznaczyć długości boków trójkąta prostokątnego opisanego na okręgu o danym promieniu r=1 tak aby długość przeciwprostokątnej trójkąta była najmniejsza. Opracowała: Marcelina Sztukowska, Emilia Pacyna klasa 2a

25. Rozwiązanie: Funkcja wyrażająca długość przeciwprostokątnej Twierdzenie Pitagorasa Funkcja wyrażająca długość przeciwprostokątnej zależna od jednej zmiennej x

26. Należy wyznaczyć ekstremum funkcji f(x), a zatem trzeba obliczyć pochodną funkcji f(x).

27. Należy wyznaczyć ekstremum funkcji f(x), a zatem trzeba obliczyć miejsce zerowe pochodnej funkcji f’(x) Tu mogą być ekstrema

28. Tu znajduje się minimum lokalne.

29. Odpowiedź: To jest najkrótsza przeciwprostokątna.

30. GRANICA CIĄGU Opracowała: mgr Iwona Wendt, III LO

31. GRANICA CIĄGU

32. Działania na nieskończonościach

33. SYMBOLE NIEOZNACZONE

34. GRANICA WIELOMIANU 1 0 0 0

35. GRANICA WYRAŻENIA WYMIERNEGO 0 0

36. POCHODNA WIELOMIANU

37. OBLICZNIE POCHODNEJ FUNKCJI

38. POCHODNA FUNKCJI WYMIERNEJ

39. PRZYGOTOWALI: BANASIAK ANNA DUCZMAL ALEKSANDER FRANKA MATEUSZ JAKUBCZYK MAGDALENA KRÓL DANIEL KRÓL PAWEŁ KUBIAK ŁUKASZ KUKUŁKA ARTUR MENCEL ANNA OLEK MAGDALENA PACYNA EMILIA PAWLAK KAROLINA PRZEMYŚLAK ARKADIUSZ SPALENIAK KATARZYNA SZYMCZAK PATRYK TRAWIŃSKA PAULINA