Download
1 / 66
670 likes | 1.04k Vues
Dane informacyjne. Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 im. Prymasa Tysiąclecia w Kaliszu ID grupy: 98/73_mf_g2 Kompetencja: Matematyka, fizyka Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: rok szkolny 2010/2011 semestr I. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia). Nazwa szkoły:
E N D
Dane informacyjne • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 1 im. Prymasa Tysiąclecia w Kaliszu • ID grupy: • 98/73_mf_g2 • Kompetencja: • Matematyka, fizyka • Temat projektowy: • W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: • rok szkolny 2010/2011 semestr I
Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 1 w Żarach • ID grupy: • 98/42 • Kompetencja: • Matematyka, fizyka • Temat projektowy: • „W świecie liczb” • Semestr/rok szkolny: • rok szkolny 2010/2011 semestr I
„Liczba jest istotą wszystkich rzeczy.” • Pitagoras • „Liczba jest zaczątkiem i korzeniem przestrzeni.” • Paul Claudel
Czym jest liczba? • Liczba to jedno z podstawowych i najstarszych pojęć matematyki. • Rozważa się, iż są tworami abstrakcyjnymi
Chwila z historii: historia odkrycia liczb • Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne przedmioty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce. • Taki system zapisu liczb nie nadaje się do zapisu dużych liczb. Pierwszy znany nam system zapisu większych liczb pochodzi ze starożytnej Mezopotamii (ok. 3400 p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. Było to używane najczęściej przez handlarzy, którzy mieli określony sposób pokazywania sobie cen towarów • za pomocą dłoni.
Chwila z historii: historia odkrycia liczb • Pierwszy dziesiętny system liczenia pojawił się w Egipcie około 2000r. p.n.e. Z kolei w Chinach pierwsze cyfry pojawiły się około roku 1300 p.n.e. • Prawdopodobnie idea ułamków pojawiła się już w czasach prehistorycznych. Nawet starożytni Egipcjanie pisali teksty matematyczne z użyciem ułamków. Klasyczni Grecy i matematycy indyjscy opracowali teorię liczb wymiernych. Najbardziej znanym przykładem ich użycia są Elementy Euklidesa (ok. 300 p.n.e.).
Chwila z historii: historia odkrycia liczb • W IVw.p.n.e. Tales z Miletu opracował podstawy geometrii. Od niego pochodzą takie pojęcia jak: punkt, prosta, płaszczyzna, twierdzenie, teoria.W tym samym wieku Pitagoras wynalazł dowód dedukcyjny. Udowodnił podstawowe twierdzenia geometryczne, głównie dotyczące podobieństwa figur. • Istnienie liczb niewymiernych po raz pierwszy udowodnił Hippasus, uczeń Pitagorasa, poprzez przedstawienie, że nie da się zapisać pierwiastka z liczby dwa. Niestety Pitagoras nie zgodził się z tym, i mimo, iż nie mógł podważyć tej teorii, nakazał utopić swego ucznia.
Chwila z historii: historia odkrycia liczb • Pojęcie zera pojawiło się dopiero w IIIw.p.n.e. w Babilonii. Starożytni Grecy nie byli pewni, co do statusu zera jako liczby: pytali „Jak nic może być czymś?”. • Około 130 roku n.e. Klaudiusz Ptolemeusz pod wpływem Babilończyków zaczął używać symbolu zera (małego kółka z długą kreską powyżej) używając alfabetu greckiego jako cyfr. Zero było u niego, po raz pierwszy w historii Zachodu, używane samodzielnie, nie tylko jako cyfra, ale także jako liczba.
Chwila z historii: historia odkrycia liczb • Koncepcja liczb ujemnych powstała w pierwszej połowie I w. p.n.e. w Chinach. W kulturze zachodniej pierwsze użycie liczb ujemnych pochodzi z III wieku, kiedy grek Diofantos rozważał zadanie, sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0 w dziele Arithmetica, twierdząc, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie. • Na początku VII wieku liczby ujemne były używane w Indiach w celu księgowania długów, jednak aż do XVIII wieku powszechnie nie uznawano liczb ujemnych i odrzucano ujemne rozwiązania równań jako nie posiadające interpretacji.
Chwila z historii: historia odkrycia liczb • Liczby pierwsze były badane od czasów starożytnych. Euklides poświęcił im księgę w Elementach. Zaprezentował w nich m.in. algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika oraz udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. • W 1825 odkryto liczby algebraiczne. Doprowadziło do tego poszukiwanie przez Abela równań piątego stopnia, kiedy okazało się, iż ogólna postać rozwiązania nie daje się zapisać w postaci wzoru z użyciem czterech działań arytmetycznych i pierwiastkowania. W ten sposób wydzielono liczby algebraiczne, będące pierwiastkami wielomianów.
Chwila z historii: historia odkrycia liczb • Historia liczb jest niezwykle fascynująca. Odkrywano ją niemal od samego początku istnienia, kawałek po kawałku. W dzisiejszym świecie mamy już ogromne złoża wiedzy matematycznej, a jednak wciąż są w niej niezbadane obszary, które tylko czekają na odkrycie ich przez nadchodzące pokolenia.
Dawne sposoby zapisu liczb • Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej, choć nie znał jeszcze cyfr. Wyniki swoich obliczeń zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski. Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę znaleziono w Czechach w 1937r. W latach 60 ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z wyrytymi na nich karbami liczące ponad 25 000 lat. Na jednej z nich karby układają się w liczby 11, 13, 17, 19. Są to liczby pierwsze. Wymieniona kość stanowi drugie najstarsze na Ziemi znalezisko matematyczne i można ją sobie obejrzeć w muzeum brukselskim. • Jednak to trochę później wykształcono • zapis liczb…
Dawne sposoby zapisu liczb: Sumerowie • Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie około 2000 r. p.n.e., a zapisywali je za pomocą znaków (klin) na glinianych tabliczkach.
Dawne sposoby zapisu liczb: Aztekowie • Hieroglify azteckie wyglądały następująco: • liczby od 1 do 19 oznaczano kropkami lub palcami • liczba 20 – flagą • liczba 400 - znakiem podobnym do pióra • liczba 8 000 - symbolicznym workiem
Dawne sposoby zapisu liczb: Majowie • Bardzo oryginalny system zapisywania liczb stworzyło indiańskie plemię Majów. Jako jedni z pierwszych wynaleźli zero - zaznaczane rysunkiem przypominającym skorupkę ślimaka. Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły (wraz z zerem) podstawowy zestaw ,,cyfr'' od 0 do 19.
Dawne sposoby zapisu liczb: rzymianie • Powszechnie używane system zapisu liczb. Uczony w szkole, spotkać go można na wielu zabytkach (oznaczano nim rok zbudowania danego obiektu), a także za jego pomocą numeruje się wieki i niekiedy rozdziały w książkach. Rzymski zapis cyfrowy został przejęty i zmodyfikowany przez Rzymian od Etrusków ok. 500 lat p.n.e. W systemie rzymskim do zapisu liczb używanych jest siedem znaków cyfrowych (liter): I (1), V (5), X (10), L (50), C (100) i D (500), M (1000).
Dawne sposoby zapisu liczb: Egipcjanie • Starożytni Egipcjanie, podobnie jak wiele innych ludów, zapisywanie liczb zaczęli od bardzo prostej metody. Jedna pionowa kreska | oznaczała, że policzono jeden przedmiot, dwie kreski || – dwa przedmioty, trzy kreski ||| – trzy, cztery kreski |||| – cztery. Im większą liczbę trzeba zanotować, tym bardziej uciążliwy staje się ten sposób, więc ustalili dla liczb większych od 10 specjalny symbol. • I dzisiejsze…
Dawne sposoby zapisu liczb: arabowie • Europejczycy poznali te liczby od arabów, a ci podpatrzyli je u Hindusów. Używane powszechnie mają swój własny zapis dla każdej liczby. Jako ciekawostkę można dodać, że w dzisiejszych czasach w krajach arabskich zapis liczb wygląda zupełnie inaczej, np. 1 – ١.
Dawne sposoby liczenia: ludzie prymitywni • Dawno temu, kiedy ludzie nie znali jeszcze pisma i ich mowa była stosunkowo prymitywna, jedynymi liczebnikami były słowa jeden, dwa, wiele. Aby wyrazić 3,4,5,6 używali kombinacji słów: jeden, dwa, np. 5 = 2,2,1. Aby powiedzieć liczbę powyżej 6 trzeba było mówić wiele. Nie znaczy to jednak, że plemiona te nie potrafiły zrozumieć i pojąć większych liczb, mimo nieistnienia odpowiednich liczebników.
Dawne sposoby liczenia: ludzie prymitywni • Ludzie oceniali wtedy „na oko”. Myśliwi potrafili na przykład określić ile zwierzyny złowili. Ludziom tej epoki nie można jednak przypisać znajomości pewnych liczb w tym sensie, jak to dziś rozumiemy. Liczebnikowi zawsze wtedy przypisywano przedmiot, który miał być policzony: 5 krów, 10 strzał, 20 wojowników itd., ponieważ liczba jest pojęciem abstrakcyjnym, a ludziom wtedy do zrozumienia rzeczy abstrakcyjnych było daleko, pojecie liczby nie związanej ze zbiorem pewnych przedmiotów powstało znacznie później.
Dawne sposoby liczenia: Sumerowie • W miarę jak liczenie stawało się coraz bardziej potrzebną czynnością życia codziennego, musiały też powstać pierwsze „narzędzia” ułatwiające liczenie. Pierwszym przyrządem do liczenia były palce jednej ręki, następnie dwóch rąk. • W starożytnym Sumerze pojawił się system dwunastkowy. Liczono na palcach, a dzięki odpowiednim gestom można było prowadzić handel nawet z ludźmi nieznającymi języka sumeryjskiego.
Dawne sposoby liczenia: liczenie grupami • Z czasem powstała potrzeba zapisu liczby przedmiotów. Najstarszym znanym sposobem jest narysowanie odpowiedniej liczby kresek, zrobienie odpowiedniej liczby nacięć na patyku lub na ziemi. Następny etap liczenia to liczenie grupami. Najwcześniej pojawia się liczenie parami, grupowanie po 12, którego pozostałości widzimy u nas w liczeniu na tuziny i grosy (12 tuzinów). Następnym krokiem w liczeniu jest wielokrotne grupowanie. Jeżeli np. grupowało się po 5 patyczków, to z kolei grupuje się na pewną ilość wiązek po 5 patyczków – otrzymując „stos”, później grupujemy stosy, itd.
Dawne sposoby liczenia: Rzym • Społeczeństwo pierwotne ciągle się rozwijało. Pojawiło się piśmiennictwo. Gdy patrzymy na cyfry rzymskie, występują tu wyraźnie pozostałości liczby węzłowej 5 (oddzielne znaki dla 5,50,500) i zasada odejmowania liczb odpowiadających symbolom stojącym z lewej strony innego symbolu.
Dawne sposoby liczenia: współcześnie • Liczenie jest dziś powszechną czynnością. Ludzie liczą we wszystkich zawodach, liczby występują w różnych postaciach i służą do różnych celów. Również sposoby liczenia nie wszędzie są jednakowe. Od najprostszych pamięciowych, poprzez liczenie piśmienne, posługiwanie się liczydłem, suwakiem logarytmicznym, wszelkiego rodzaju maszynami do liczenia aż do dużych maszyn cyfrowych i współczesnych komputerów. Mimo tej olbrzymiej różnorodności można w niej znaleźć pewne elementy wspólne. Są nimi cyfry 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Obraz dzisiejszego procesu liczenia to owe 10 cyfr w rozmaitych • kombinacjach, w połączeniu • z wieloma znakami matematycznymi.
Dawne sposoby liczenia • Używanie prymitywnych sposobów liczenia w obecnych czasach byłoby dużym utrudnieniem. Nauka i technika, dzięki którym mamy tak zaawansowane urządzenia nie mogłyby funkcjonować.
Czym jest ciąg liczbowy? • Ciąg liczbowy- pojęcie matematyczne, zbiór ponumerowanych obiektów.
Przykłady ciągów liczbowych • Oto kilka ciągów liczbowych. Każdy z nich jest ułożony według pewnej zasady. Spróbujcie to rozszyfrować i znaleźć kolejne liczby: • 10 9 8 7 … … … • 2,5 5 7,5 10 … … … • a ab abc abcd … … …
Liczba trójkątna • Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych. Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. • Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:
Liczba kwadratowa • Liczby kwadratowe są poszczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. • Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i zarazem ich geometryczna ilustracja:
Trójkąt paskala • Trójkąt Pascala nie jest żadną figura geometryczną. Został on tak nazwany, gdyż liczby, które w nim występują układają się w trójkąt.
Ciąg fibonacciego • Jednym z najbardziej znanych ciągów jest ciąg Fibonacciego. Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich Jest to ulubiony ciąg natury. Opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa). • Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.
Ciąg fibonacciego • Pierwsze jego wartości to:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... • Jakie są własności tego ciągu? Między innymi jest to ciąg resurcyjny, inaczej mówiąc – rekurencyjny, definiujący sam siebie. Każda z liczb w ciągu Fibonacciego (poza wartościami stałymi 0 i 1) jest sumą dwóch poprzednich, np.: 3 + 5 = 8, 21 + 34 = 55, 144 + 233 = 377...
Ciąg fibonacciego • Natomiast wynik podzielenia każdej z liczb przez następną w ciągu waha się wokół odwrotności 1,618, czyli 0,618, np.: 34 : 55 = 0,618, 377 : 610 = 0,618 I tutaj stykamy się ze Złotą Liczbą.
Złoty podział • Złoty podział - podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi"). • Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. φ = (a+b) : a = a : b
Wartość złotej liczby • Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego: • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... co daje kolejno: • 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55... → φ • Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.
Wartość złotej liczby • φ ≈ 1,618033989
Liczba π • Stała, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Występuje w wielu zagadnieniach matematycznych. Jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych.
Liczba π • Pełni ona tak szczególną rolę, że uczeni, poszukując kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysyłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, ze inteligentne istoty z poza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.
Liczba π • Niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone.
Liczba π z dokładnością do 200 miejsc po przecinku: • π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196...
