Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 203 - ANO 2014 Variáveis Aleatórias

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento RemotoSER 203 - ANO 2014Variáveis Aleatórias Camilo DalelesRennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

 qualitativa S discreta nominal quantitativa contínua ordinal Variável Aleatória v.a. atributo Definição: variável aleatória é a função que associa cada elemento de S a um número real.

0 1 2 S Variável Aleatória Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa) X: número de caras em 2 lances de moeda KK KC CK CC X(S) (imagem) X(CC) = 0 X(KC) = X(CK) = 1 X(KK) = 2 P(X = 0) = P(CC) P(X = 1) = P(KC  CK) P(X = 2) = P(KK) OBS: em P(X = x), a natureza funcional da v.a. foi suprimida. De fato, a expressão mais correta seria P(s  S | X(s) = x). por definição, os valores de uma v.a. são sempre mutuamente exclusivos

P(X = xi)  0 para todoi Função de Probabilidade Função de Distribuição Acumulada para todo j onde xjx Variável Aleatória Discreta Definição: uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for finito ou infinito numerável.

Variável Aleatória Discreta Exemplos: • jogar um dado X: ponto obtido no dado X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X: = 1 se ponto for igual a 6 X: = 0 caso contrário X = {0, 1} • jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes) X: número de caras em 5 lances X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} • jogar uma moeda até tirar uma cara X: número de jogadas até tirar uma cara (incluindo-se a cara) X = {1, 2, 3, ...} X: número de coroas até tirar uma cara X = {0, 1, 2, ...}

Variável Aleatória Discreta Exemplos: • sortear um ponto de uma imagem (8bits) X: valor de nível de cinza X = {0, 1, ..., 255} X: = 1 se valor de nível de cinza for menor que 100 X: = 0 caso contrário X = {0, 1} • sortear 5 pontos em um mapa pedológico X: número de pontos correspondentes à classe Argissolo X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} • sortear pontos em um mapa de vegetação até que se encontre a classe Cerrado X: número de pontos sorteados (incluindo-se o ponto da classe Cerrado) X = {1, 2, 3, ...} X: número de pontos sorteados (excluindo-se o ponto da classe Cerrado) X = {0, 1, 2, ...}

Se o conjunto imagem é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos e portanto: P(X = x) = 0 Variável Aleatória Contínua Definição: uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for inumerável. Qual a probabilidade de se escolher uma pessoa qualquer com 1,7567234309... metros de altura?

Se o conjunto imagem é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos e portanto: P(X = x) = 0 Função Densidade de Probabilidade (fdp) Função de Distribuição Acumulada Variável Aleatória Contínua Definição: uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis (imagem) for inumerável. P(a < X < b)  0 f(x) a b x

Variável Aleatória Contínua Exemplos: • X: distância entre dois pontos X = [0,+[ • X: distância vertical de um ponto, relativa a uma superfície plana pré-definida X = ]-,+[ • X: reflectância de um objeto X = [0,1]

Variável Aleatória e Probabilidade Problema: Define-se uma variável X como o número de caras em 6 lances de moeda. Qual a probabilidade de se obter mais que 4 caras nesses 6 lances? X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X > 4) = P(X = 5) + P(X = 6) P(X = 5) = P(KKKKKC KKKKCK KKKCKK KKCKKK KCKKKK CKKKKK) = 6/64 P(X = 6) = P(KKKKKK) = 1/64 P(X > 4) = 7/64

Caracterização de uma Variável Aleatória Variável X Variável Y

 Medidas de Tendência Central • Calcular o valor médio Média

Medidas de Tendência Central Média v.a. discretas v.a. contínuas OBS: média = 1o momento = esperança matemática = esperança = valor esperado

Medidas de Tendência Central • Identificar o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais (equiprováveis) Mediana mediana = 2

Medidas de Tendência Central • Identificar o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais (equiprováveis) Mediana mediana = 3,5

Medidas de Tendência Central Mediana v.a. discretas v.a. contínuas OBS: mediana: divide em 2 partes quartis: divide em 4 partes (mediana = 2o quartil) decis: divide em 10 partes (mediana = 5o decil) percentis: divide em 100 partes (mediana = 50o percentil)

Medidas de Tendência Central • Identificar o valor mais freqüente Moda moda = 2

Medidas de Tendência Central • Identificar o valor mais freqüente Moda moda = {3, 4} OBS: 2 modas (bimodal) 3 modas (trimodal) muitas modas (multimodal) modas locais não definida

Medidas de Tendência Central Moda v.a. discretas v.a. contínuas

Caracterização de uma Variável Aleatória Variável X Variável Y

Medidas de Dispersão • Analisar a variação total da v.a. Xmáx - Xmín = 5 Ymáx - Ymín = 5 Amplitude Total

Medidas de Dispersão • Analisar os desvios da v.a. em relação à média 0 = 1 = 

Medidas de Dispersão • Analisar os desvios absolutos da v.a. em relação à média 1,2 Desvio Absoluto Médio

Medidas de Dispersão • Analisar os desvios absolutos da v.a. em relação à média 0,948 Desvio Absoluto Médio

Medidas de Dispersão Desvio Absoluto Médio v.a. discretas v.a. contínuas

Medidas de Dispersão • Analisar os desvios quadráticos da v.a. em relação à média 2,05 Variância (2)

Medidas de Dispersão • Analisar os desvios quadráticos da v.a. em relação à média 1,318 Variância (2) OBS: Desvio Padrão () é a raiz quadrada da Variância (possui a mesma unidade de )

Medidas de Dispersão Variância v.a. discretas v.a. contínuas

Medidas de Dispersão Qual v.a. tem maior variação, o tamanho de um determinado tipo de parafuso ou a produtividade agrícola de uma determinada cultura? Coeficiente de Variação . mede a variação relativa a média . adimensional . pode ser expresso em porcentagem

Momento (ordinário) de ordem k: v.a. discreta v.a. contínua Momento centrado (na média) de ordem k v.a. discreta v.a. contínua Momentos 1o momento OBS: 2o momento centrado

Propriedades da Esperança e Variância

= + 3 Propriedades da Esperança e Variância Ex:

* 9 = 32 * 3 Propriedades da Esperança e Variância Ex:

Propriedades da Esperança e Variância Y = {?, ..., ?} Y = {2, ..., 12} Distribuição Conjunta de X e W X X W W

Propriedades da Esperança e Variância Y = {?, ..., ?} Y = {2, ..., 12} Distribuição Conjunta de X e W X X W W considerando que X e W sejam independentes

- - - - - - - Propriedades da Esperança e Variância

Propriedades da Esperança e Variância covariância entre X e W

- - - - - - + - - Propriedades da Esperança e Variância se X e W são independentes:

Propriedades da Esperança e Variância Resumo: (independentes)

Propriedades da Esperança e Variância Imagem original (I) Inova = I + 50 Inova = I + 100 Banda TM3/Landsat Média: 29,07 Variância: 62,14 Média: 129,07 Variância: 62,14 Média: 79,07 Variância: 62,14

Propriedades da Esperança e Variância Imagem original (I) Inova = 2*I Inova = 4*I Banda TM3/Landsat Média: 29,07 Variância: 62,14 Média: 116,29 Variância: 994,21 Média: 58,14 Variância: 248,55

Propriedades da Esperança e Variância Imagem original (I) Inova = 5*I - 110 Inova = -5*I + 370 Banda TM3/Landsat Média: 35,36 Variância: 1553,45 Média: 29,07 Variância: 62,14 Média: 224,64 Variância: 1553,45

Propriedades da Esperança e Variância Aplicação em imagens: • alterar brilho (média) • alterar contraste (variância) Inova = gI + o Exemplo 1: Tem-se uma imagem qualquer com média 100 e variância 150. Deseja-se aumentar o contraste dessa imagem, aumentando-se sua variância para 300. Qual deve ser o ganho aplicado nessa imagem? Qual será a média da imagem após a aplicação desse ganho?

Propriedades da Esperança e Variância Aplicação em imagens: • alterar brilho (média) • alterar contraste (variância) Inova = gI + o Exemplo 2: Tem-se uma imagem qualquer com média 100 e variância 150. Deseja-se aumentar o contraste dessa imagem, aumentando-se sua variância para 600, sem alterar seu brilho (ou seja, mantendo a média em 100). Qual deve ser o ganho e o offset aplicados nessa imagem?

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 203 - ANO 2014 Variáveis Aleatórias