Commande en boucle ouverte et à horizon fini de l’alunissage de Lunar Lander

Commande en boucle ouverte et à horizon fini de l’alunissage de Lunar Lander Dans cette séance : problème de « gouvernabilité » de l’alunissage de Lunar Lander Formulation mathématique du problème de gouvernabilité Solution du problème de gouvernabilité Illustration avec la commande horizontale normalisée de Lunar Lander Calcul et mise en œuvre dans l’animation Lunar Lander Définition du projet associé au cours Commande par Ordinateur * pour retrouver cette présentation, http://cours.polytech.unice.fr/intcom/3.seance ainsi que les scripts TD3Blin.sce et Scilab2Flash.sce

Problème de l’alunissage de Lunar Lander en boucle ouverte et avec un horizon fini • À l’instant t = 0, les capteurs de Lunar Lander indiquent sa position et sa vitesse regroupées dans le vecteur d’état X0 • Peut-on utiliser les entrées de commandes pour atteindre le point d’alunissage et la vitesse d’impact souhaités (dans Xh) au bout de h périodes d’échantillonnage seulement ? • On rappelle l’équation d’état discrétisée de Lunar Lander : • S’il existe une solution, quelque soient X0 et Xh, le processus d’alunissage de Lunar Lander est ‘entièrement gouvernable’ • et h est l’horizon (fini) de l’alunissage (de durée hTe)

Formulation mathématique du problème de gouvernabilité lors de l’alunissage de Lunar Lander Il faut trouver U vérifiant y=GU. G : matrice de gouvernabilité, U : vecteur des commandes, h : horizon de la commandey : dépend de X0, Xh, et A

Importance de la matrice de gouvernabilité G • Il s’agit de trouver un vecteur U de taille 2h vérifiant : • G est la matrice d’une application de R2h dans R4, et possède 4 lignes et 2h colonnes, soit gk le kième vecteur colonne de G :

Conditions d’existence d’une ou plusieurs solutions au problème de gouvernabilité de Lunar Lander • S’il existe quatre vecteurs colonnes linéairement indépendants dans la matrice G, ces vecteurs forment une base de R4, et il existe au moins une solution U : • soient ga, gb, gc et gd ces quatre vecteurs, • D’où la solution U où toutes les composantes sont nulles sauf les quatre composantes ua, ub, uc, et ud puisque : • On dit aussi que G est de rang 4, ou de rang complet

Solution du problème de gouvernabilité de Lunar Lander • Si h = 2, G est carrée, si elle est de rang 4, elle est inversible, et il existe une seule solution • Si h > 2, et G de rang 4, la matrice (GGT)-1 existe (cf. démo ci-dessous) d’où une solution du problème de gouvernabilité : • Vérification : • G+ est une pseudo inverse à droite de G : • Démonstration de l’existence de (GGT)-1: • l'application U  y= GU engendre R4, et détermine une application surjective de R2h dans R4: pour tout y, il existe au moins un vecteur U tel que y= GU. • L’application y U= GTy est une injection de R4 dans R2h:u = GTy et u = GTy1 => y = y1. • L’application : yx=GGT y est une bijection de R4(composition d’une injection et d’une surjection) et GGT est inversible C.Q.F.D.

Alunissage de Lunar Lander ‘en temps minimal’ • équations horizontale et verticale de Lunar Lander : • Pour le mouvement horizontal de Lunar Lander : • Quel est le vecteur d’état final Xh ? • Que vaut la matrice G si h=2 ? • Quel est le rang de G ? • Quel est la durée d’alunissage ? • Comment calculer le vecteur des commandes ? • Qu’est ce qui change pour le mouvement horizontal ?

Pour simplifier : on fait le calcul pour le mouvement horizontal normalisé (c’est-à-dire e=1 ms-1kg-1, Te=1s) On part de l’origine [0;0], on aboutit en [1;0] ! Note : pour le mouvement vertical, peu de modification, si ce n’est qu’il faut retrouver la commande ay appliquée au réacteur vertical en ajoutant à la commande u le terme glune/e.

Calcul de la commande en boucle ouverte avec h=2 du mouvement horizontal normalisé de Lunar Lander (on utilise Matlab) %séance 3 s=ss([0,1;0,0],[0;1],[1 0],0) Te=1 % échantillonnage (s) sd=c2d(s,Te) ad=get(sd,'a') bd=get(sd,'b') G=[ad*bd, bd] x0=[1 0]‘; xf=[0;0]; a=inv(G)*(xf-(ad^2)*x0) x1=ad*x0+bd*a(1) x2=ad*x1+bd*a(2) x=[x0,x1,x2] plot(x(1,:),x(2,:)) maxcom=num2str(max(abs(a))); carbu=num2str(sum(abs(a)))*Te Dure=num2str(2*Te) title([‘maxcom’, maxCom, ‘carburant’,carbu, ‘durée’,dure]) grid, xtitle(‘x’),ytitle=(‘dx/dt’);

Que se passe t’il si l'horizon augmente ? h=3 puis h=6 Ici on représente la trajectoire dans le plan de phase (x, dx/dt)

Application avec Scilab : alunissage de Lunar Lander en boucle ouverte avec un horizon de h=100 périodes d’échantillonnage //tiré du script : TD3Blin.sce Te = 0.04; h = 100; // horizon Tvol= h*Te;//durée d‘alunissage X0= [45;1;51;-1]; //état initial Xh = [0;0;0;0] // état d’alunissage //équations de Lunar Lander mvide= 6839; // masse à vide (kg) mfuel= 816.5; // masse de carburant (kg) m= mvide+ mfuel; // masse totale ve= 4500; // vitesse d'éjection (en m/s) erg= ve/m; // noté epsilon g_lune= 1.6; //gravité lunaire en m/s² A = [0,1,0,0;0,0,0,0;0,0,0,1;0,0,0,0]; B = [0,0;erg,0;0,0;0,erg]; C = [1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1]; ll = syslin('c', A, B, C); //discrétisation des équations Lunar Lander lld = dscr(ll, Te); Ad = lld('a'); Bd = lld('b'); Cd = lld('c'); //calcul de la matrice de gouvernabilité G = Bd; //Calcul de G for n = 1:h-1 do G = [(Ad^n)*Bd, G]; end if rank(G) <> size(Ad,1) disp("pas de solution") else // calcul de la solution y = Xh - (Ad^h) * X0; Gt = G'; u = (Gt * (inv(G * Gt))) * y; //vecteur des commandes des réacteurs a = u; //calcul de ay(n)= u(2*n)+glune/ergfor n = 1:h do a(2*n) = a(2*n) + g_lune/erg end disp(sum(abs(a))*Te, "Consommation :") disp(max(abs(a)), "Commande maximale") // Scilab2texte : a sauvé dans 'com.txt' fileid='com.txt' fp=mopen(pwd()+'\'+fileid,'w'); Kt=u'; Ks=string(u(1)); for k=2:length(u), Ks=Ks+','+string(Kt(k)); end mputstr(Ks,fp); mclose(fp); end

Mise en œuvre des résultats du script précédent • ‘o’ clavier pour ce mode de commande • commandes successives des réacteurs ax et ay lues dans le fichier ‘com.txt’. • h=100 • Te = 40 ms • Tvol = 4 s • fuel consommé : 123 kg • commande maximale : 34 m/(kg*s)

Description du projet associé au cours • Objectif : créer une simulation de la commande d’un processus physique par un ordinateur dans un jeu simple • Technologie : Html5, Processing (l’an dernier), ou … à discuter • Effectifs : de deux à trois élèves par groupe de projet • Durée : les quatre séances de travaux dirigés à venir • Scilab : pour discrétiser et calculer les lois de commandes • Sujet du projet (cf. page suivante) • Résultats demandés : • Notice de l’application : équations, loi de commande, utilisation • Exécutable : windows, ou page html, ou …

Description du projet associé au cours • Cadre et contenu imposé du projet • Choisir un processus physique d’ordre au moins 2 et au plus 4 et écrire ses équations • Mettre les équations sous la forme de commande de la représentation d’état • Choisir une fréquence d’échantillonnage et discrétiser les équations du processus • Simuler la commande manuelle du processus, • Ajouter une ou plusieurs lois de commande de façon à automatiser le suivi d’une consigne (poursuite d’une consigne mobile, ou régulation d’une consigne fixe) • Ne pas oublier de calculer l’énergie consommée par les actionneurs (entrées de commande) pour étudier le compromis entre rapidité et consommation. • L’IHM doit afficher l’état du processus, le temps simulé, les entrées de commande, l’énergie consommée, et les paramètres de la loi de commande (horizon, gains, …) • On se place dans le cadre d’un jeu (réflexe, adresse, stratégie d’économie d’énergie), et selon le temps disponible, on ajoutera à l’IHM une animation même rudimentaire pour augmenter le caractère ludique de la simulation, ainsi que des scores, des sons, …

Exemple du projet de J. et A. Boursier (2012-13)

Saisir ‘T’, cliquer pour construire la trajectoire point par point

Commande en boucle ouverte et à horizon fini de l’alunissage de Lunar Lander