TEMA : MATRICES

1. UPC Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities* TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE-SISTEMAS TEMA :MATRICES

2. Habilidades: • Define el concepto de matriz. • Define las operaciones con matrices y sus propiedades: • Utiliza adecuadamente las operaciones de suma, producto por un escalar, transposición y producto de matrices. • Identifica diferentes tipos de matrices.

3. INTRODUCCIÓN

4. a a ... a 11 12 1n a a ... a A= 21 22 2n . . . . . . . . . a a ... a m1 m2 mn • Notas: • El número que aparece en el reglón i-ésimo y la columna j-ésima de A se llama componente ij-esima. • A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas. • Se emplean paréntesis ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman a la matriz. • Notación: A= (aij)=Amxn Definición: • Una matriz de orden m x n es un arreglo rectangular de números colocados en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas).

5. Ejemplo: • Encontrar las componentes de la matriz A = (aij) si A es de 3x2 y aij=2i+j

6. IGUALDAD DE MATRICES • Se dice que dos matrices A=(aij) y B=(bij) son iguales si son del mismo tamaño (esto es, ambas mxn) y sus componentes correspondientes son iguales ( esto es, aij=bij para cada elección de i y j)

7. Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus perdidas o ganancias medidas en toneladas en los dos últimos años: MAÍZ AÑO TRIGO ARROZ FRIJOL CAFÉ 2003 FFINCA1 - 1 /2 10 3 7 2 FINCA2 - 3 2/3 0 12 - 1 FINCA3 4 - 2 - 1 15 13 AÑO TRIGO ARROZ FRIJOL MAÍZ CAFÉ 2004 FINCA1 3 2 - 4 3 5 FINCA2 8/5 1 - 2 0 4 FINCA3 8 - 3 4 7 10 Si queremos la perdida o ganancia en ambos años que operación se debe realizar y ¿cómo?

8. Propiedades de la suma Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces: • A+B=B+A • A+O=A • 3. (A+B)+C=A+(B+C) OPERACIONES CON MATRICES • SUMA DE MATRICES Sean A= (aij) y B=(bij) dos matrices de orden mxn. La suma A+B de las dos matrices es la matriz mxn. A+B = (aij) + (bij) = (aij+bij)

9. Propiedades Sean A y B dos matrices del mismo orden y  , dos escalares. Entonces: • (A+B)=A+ B • (+)A=A+A • ( ) A= (  A) • 1A=A • 0A=O 2. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR • Sea A= (aij) una matriz de mxn, y c cualquier número real. Entonces cA es la matriz de mxn dada por cA = c(aij) = (caij)

10. Propiedades • (At)t=A • (A+B)t = At +Bt • (cA)t =cAt 3. TRANSPUESTA Sea A=(aij) una matriz de orden mxn, entonces la transpuesta de A, denotada por At , es una matriz nxm

11. 4. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES • Definición 1:Sea un vector fila n- dimensional y un vector columna n- dimensional. Entonces el producto AB, de A y B está dado por :

12. Definición 2: Sean Amxp y Bpxn. El producto AB es la matriz mxn cuya componente ij-ésima es el producto de la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de B.

13. Ejercicios: • Encontrar el elemento de la tercera fila y la segunda columna del producto • Obtener el producto AB donde

14. Observaciones: • Notar que para que el producto AB se pueda realizar se requiere que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. • El resultado de la operación AB es una nueva matriz C que tiene: El mismo número de filas que la matriz A. El mismo número de columnas de B. • El producto AB puede existir y sin embargo no existir BA. • Si existe AB y BA, el producto matricial entre A y B no es conmutativo.

15. Algunos tipos de matrices

16. MATRIZ INVERSA DEFINICIÓN: Sea A una matriz de orden n, si existe una matriz B tal AB=BA=I, la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A-1. Si : AB = BA = I Entonces: B = A-1

17. OBSERVACIONES • Si A-1 existe se tiene: A A-1= A-1A=I • Si la inversa de A existe se dice que Aesinversible. • Si A no es inversible se dice que essingular.