Magnetostatica 2 15 ottobre 2012

1. Magnetostatica 215 ottobre 2012 Legge di Biot-Savart Prima formula di Laplace Campo B di una carica in moto Forza magnetica tra due cariche in moto Forza tra due correnti, definizione di ampere Circuitazione di B Legge di Ampère

2. Legge di Biot-Savart • Il campo B generato da un filo rettilineo molto lungo • Ha solo componente azimutale • k è anche espressa mediante la permeabilità magnetica del vuoto

3. Forza tra due correnti 1 2 • Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted • Limitiamoci al caso di fili paralleli • Filo 1 indefinito, genera un campo • Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso relativo delle correnti) • Il modulo questa forza vale • Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente costante che produce una forza di 2 × 10–7 newton per metro di lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro

4. Prima formula di Laplace • Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una formula valida per un circuito di forma arbitraria • Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B • Attorno ad un filo indefinito • Sull’asse di una spira circolare • Sull’asse di un solenoide

5. Campo B generato da una carica in moto • Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento infinitesimo di un circuito qualunque • Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di lunghezza • Dividiamo l’elemento di campo induzione magnetica per il numero di elettroni, troviamo cosi’ il vettore b generato da un singolo elettrone:

6. Campo B generato da una carica in moto • Carica puntiforme q in moto con velocità v • Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla velocità v, al seno dell’angolo tra v e r • È inversamente proporzionale al quadrato della distanza r • La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r • Il verso è dato dalla regola della mano destra r v B

7. Forza magnetica tra due cariche in moto • Si trova usando l’espressione precedente per B e la forza di Lorentz • Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta alla carica 1 F2(1) v1 v2 r12 F1(2) B1 B2

8. Circuitazione del campo B • Esaminiamola nel caso particolare del campo generato da un filo indefinito • Usiamo coordinate cilindriche • Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare al piano del cerchio e passa per il suo centro • Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso verso del versore normale al cerchio che appoggia su C • In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la circuitazione e` positiva i n C

9. Circuitazione del campo B • Se si cambia il verso della corrente il 2° membro cambia segno • Anche il primo membro cambia segno perché B assume verso opposto • Quindi la formula trovata e` valida qualunque sia il verso della corrente, • Se si percorre il circuito in verso opposto a quello associato al versore normale, la circuitazione cambia segno i n

10. Circuitazione del campo B • Sia l’integrando che l’integrale non dipendono da r • Se ora C è una curva arbitraria (concatenata al filo) • E di nuovo otteniamo C

11. C Circuitazione del campo B • Se la curva C fa n giri attorno al filo la circuitazione è • Se la curva è concatenata a più fili la circuitazione totale è la somma delle circuitazioni dei campi B relativi a ciascun filo

12. Circuitazione del campo B • Sia ora C una curva arbitraria non concatenata al filo, percorsa in senso orario • Scegliamo due punti P e Q sulla curva, suddividendola in due curve C1 e C2 • Tracciamo una curva D da P a Q di modo che (percorsa in senso orario) e (percorsa in senso antiorario) siano concatenate con il filo • Le due circuitazioni nel membro di destra sono uguali in modulo e di segno opposto, quindi la circuitazione lungo C è nulla P D C1 C2 Q

13. Legge di Ampère • Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici arbitrari e vari conduttori • Proprietà generale del campo induzione magnetica: legge di Ampère • Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore • Per curve non concatenate la circuitazione è nulla • È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata da Maxwell

14. Forma differenziale della legge di Ampère • Applichiamo il teorema di Stokes alla circuitazione del campo B e riscriviamo la corrente come il flusso della densita` di corrente: • Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue che