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Mathématiques CST

Mathématiques CST. Géométrie des FIGURES PLANES. Réalisé par : Sébastien Lachance. Mathématiques CST - Géométrie des figures planes -.  Révision des principales formules. A) Aires de triangles. A) Aires de triangles. Formule de Héron. (où p est le ½-périmètre du triangle).

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Presentation Transcript

  1. Mathématiques CST Géométrie des FIGURES PLANES Réalisé par : Sébastien Lachance

  2. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - Révision des principales formules A) Aires de triangles

  3. A) Aires de triangles Formule de Héron (où p est le ½-périmètre du triangle)

  4. B) Aires de quadrilatères Rectangle Carré • Acarré= c2

  5. B) Aires de quadrilatères Parallélogramme • Aparallélogramme=bh Trapèze • Atrapèze

  6. B) Aires de quadrilatères Losange Cerf-volant

  7. C) Aires de polygones (à n côtés) • Apolygone régulier D) Aires de disques

  8. E) Relation de Pythagore Les triangles rectangle se retrouvent aussi à l’intérieur des pyramides ou des cônes… !

  9. F) Relations métriques (dans les triangles rectangles) Hauteur relative à l’hypothénuse

  10. F) Relations métriques (dans les triangles rectangles) Mesure des cathètes

  11. G) Rapports trigonométriques (dans les triangles rectangles) mesure du côté opposé à A mesure de l’hypoténuse mesure du côté adjacent à A mesure de l’hypoténuse mesure du côté opposé à A mesure du côté adjacent à A

  12. b a c H) Loi des sinus (dans tous les triangles) C B A

  13. Donc le triangle ABC et le rectangle ABCD sont équivalents. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - Figures planes équivalentes Deux figures planes sont équivalentes si elles ont la même aire. A Ex. : D A 4 cm 2 cm B C 3 cm B C 3 cm b x h b x h A = A = 2 3 x 2 A = 3 x 4 A = 2 A = 6 cm2 A = 6 cm2

  14. Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est équivalent au cerf-volant EFGH ? E A 13 cm 4 cm 15 cm 8 cm B D F G 4 cm 13 cm C H ? Figures équivalentes Alosange = Acerf-volant  AEFG + AFGH Acerf-volant Acerf-volant = AEFG = p (p – a) (p – b) (p – c) (formule de Héron où p est le ½-périmètre) AEFG = 16 (16 – 4) (16 – 13) (16 – 15) AEFG = 16 (12) (3) (1) AEFG = 24 cm2 alors Comme AFGH = 24 cm2 AEFG = AFGH , Donc AEFG + AFGH Acerf-volant = Acerf-volant = 24 + 24 = 48 cm2

  15. Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est équivalent au cerf-volant EFGH ? E A 13 cm 4 cm 15 cm 8 cm B D F G 4 cm 13 cm C H ? Figures équivalentes Alosange = Acerf-volant D x d  Dlosange Alosange = 2 D x 8 48 = 2 96 = D x 8 12 = D Réponse : La grande diagonale mesure 12 cm.

  16. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. Parmi ces triangles équivalents, c’est le triangle équilatéral qui a le plus petit périmètre. Ex. #1 :

  17. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. Parmi ces quadrilatères équivalents, c’est le carré qui a le plus petit périmètre. Ex. #2 :

  18. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones réguliers équivalents, c’est le polygone qui a le plus petit côté qui a le plus petit périmètre. À la limite, c’est le disque équivalent qui a le plus petit périmètre. Parmi ces polygones réguliers équivalents, c’est l’hexagone qui a le plus petit périmètre. Ex. :

  19. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - Transformations dans le plan cartésien A)Translation On note t(a, b) la translation qui applique un déplacement de : a unités horizontalement b unités verticalement Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + a, y + b) pour une translation t(a, b) . t (a, b): P (x, y) P’ (x + a, y + b)

  20. 1 1 Exemple #1 : t(2. 5) 2 unités horizontalement (vers la droite) 5 unités verticalement(vers le haut) O’ (2, 5) A’ (-3, 3) + 5 + 5 + 2 O (0, 0) + 2 A (-5, -2) O’ est l’image de O. O (0, 0) O’ (2, 5) O’ (0 + 2, 0 + 5) A’ est l’image de A. A (-5, -2) A’ (-3, 3) A’ (-5 + 2, -2 + 5)

  21. 1 1 Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation t(-3, 2) ? A’ (-5, 6) A (-2, 4) + 2 - 3 B’ (-5, 0) C’ (0, 0) + 2 + 2 - 3 - 3 C (3, -2) B (-2, -2) t (-3, 2): A (-2, 4) A’ (-5, 6) A’ (-2 – 3, 4 + 2) B (-2, -2) B’ (-5, 0) B’ (-2 – 3, -2 + 2) C (3, -2) C’ (0, 0) C’ (3 – 3, -2 + 2)

  22. Exemple #3 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une translation t(7, -5) . A (3, 5) + 7 - 5 + 7 B (4, 2) 1 A’ (10, 0) - 5 1 + 7 D (-2, -2) B’ (11, -3) + 7 - 5 C (3, -4) - 5 D’ (5, -7) C’ (10, -9) A (3, 5) A’ (10, 0) A’ (3 + 7, 5 – 5) t (7, -5): B (4, 2) B’ (11, -3) B’ (4 + 7, 2 – 5) C (3, -4) C’ (10, -9) C’ (3 + 7, 4 – 5) D (-2, -2) D’ (5, -7) D’ (-2 + 7, -2 – 5)

  23. 1 1 Exemple #4 : Le triangle A’B’C’ a subi une translation t(-3, -2). Quelles étaient les coordonnées du triangle ABC ? A (-2, 4) A’ (-5, 2) + 2 + 3 B (-2, -2) C (3, -2) + 2 + 2 + 3 + 3 C’ (0, -4) B’ (-5, -4) t-1(3, 2) : A’ (-5, 2) A (-2, 4) A (-5 + 3, 2 + 2) B’ (-5, -4) B (-2, -2) B (-5 + 3, -4 + 2) C’ (0, -4) C (3, -2) C (0 + 3, -4 + 2)

  24. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - B)Réflexion (ou symétrie) On note sx la réflexion par rapport à l’axe des abscisses (ou « x »). Pour chaque point P (x, y) , l’image par sx devient P’ (x, - y). sx: P (x, y) P’ (x, - y)

  25. 1 1 Exemple : sx A (2, 3) A’ (2, -3) sx: A (2, 3) A’ (2, -3)

  26. 1 1 On note sy la réflexion par rapport à l’axe des ordonnées (ou « y »). Pour chaque point P (x, y) , l’image par sy devient P’ (- x, y). sy: P (x, y) P’ (- x, y) sy Exemple : sy: A (2, 3) A’ (-2, 3) A’ (-2, 3) A (2, 3)

  27. 1 1 Exemple : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une réflexion sy . B’ B A’ A C’ C D’ D sy: A (-2, 6) A’ (2, 6) B (2, 9) B’ (-2, 9) C (6, 4) C’ (-6, 4) D (5, 1) D’ (-5, 1)

  28. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - C) Homothétie On note h(O, k) l’homothétie de centrée à l’origine O et de rapport k. Pour chaque point P (x, y) , l’image par h(O, k) devient P’ (kx, ky). h(O, k): P (x, y) P’ (kx, ky)

  29. 1 1 Exemple #1 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie h(O, 2) . B’ B A’ C’ C A h(O, 2): A (2, 1) A’ (4, 2) A’ (2x 2, 2x 1) B (2, 5) B’ (4, 10) B’ (2 x 2, 2 x 5) C (4, 1) C’ (8, 2) C’ (2 x 4, 2 x 1)

  30. 1 1 Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie h(O, ½) . B B’ A’ A C’ C h(O, ½): A (-8, -2) A’ (-4, -1) A’ (½x -8, ½x -2) B (-2, 10) B’ (-1, 5) B’ (½ x -2, ½ x 10) C (6, -6) C’ (3, -3) C’ (½ x 6, ½ x -6)

  31. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - D) Rotations (autour de l’origine O) Rotation de 90o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90o)devient P’ (- y, x). r(O, 90o): P (x, y) P’ (- y, x) Rotation de 180o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180o)devient P’ (- x, - y). r(O, 180o): P (x, y) P’ (- x, - y) Rotation de 270o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270o)devient P’ (y, - x). r(O, 270o): P (x, y) P’ (y, - x)

  32. 1 1 Rotation de 90o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90o)devient P’ (- y, x). r(O, 90o): P (x, y) P’ (- y, x) r(O, 90o) Exemple : B r(O, 90o): C’ A (3, 2) A’ (-2, 3) B (3, 10) B’ (-10, 3) C (7, 2) C’ (-2, 7) B’ A C A’ 90o

  33. 1 1 Rotation de 180o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180o)devient P’ (- x, - y). r(O, 180o): P (x, y) P’ (- x, - y) r(O, 180o) Exemple : B r(O, 180o): C’ A (3, 2) A’ (-3, -2) B (3, 10) B’ (-3, -10) C (7, 2) C’ (-7, -2) B’ 180o A C A’ C’ A’ B’

  34. 1 1 Rotation de 270o Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270o)devient P’ (y, - x). r(O, 270o): P (x, y) P’ (y, - x) r(O, 270o) Exemple : B r(O, 270o): C’ A (3, 2) A’ (2, -3) B (3, 10) B’ (10, -3) C (7, 2) C’ (2, -7) B’ A C A’ 270o C’ A’ A’ B’ C’ B’

  35. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - E) Dilatation ou contraction Dilatation : Figure étirée horizontalement ou verticalement. Contraction : Figure rétrécie horizontalement ou verticalement. Pour chaque point P (x, y) , l’image par une contraction ou une dilatation devient P’ (ax, by). P (x, y) P’ (ax, by) où a ≠ 0 et b ≠ 0. Si a = b, alors on a une homothétie.

  36. 1 1 Exemple #1 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la règle de transformation suivante : (x, y) (x, 2y) B’ C’est une dilatationverticale ! B A’ A C C’ D D’ A (-4, 1) A’ (-4, 2) A’ (-4, 2x 1) B (0, 4) B’ (0, 8) B’ (0, 2 x 4) C (4, -1) C’ (4, -2) C’ (4, 2 x -1) D (3, -4) D’ (3, -8) D’ (3, 2 x -4)

  37. 1 1 Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle de transformation suivante : (x, y) (½ x , y) B B’ C’est une contraction horizontale ! A’ A C’ C A (-8, -2) A’ (-4, -2) A’ (½x -8, -2) B (-2, 10) B’ (-1, 10) B’ (½ x -2, 10) C (6, -6) C’ (3, -6) C’ (½ x 6, -6)

  38. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - F) Compositions de transformations On utilise le symbole  , qui se lit « rond », pour lier une série de transformations consécutives. On lit les transformations de DROITE à GAUCHE. Ex. : sx h(O, 2)  t(2, -5) À l’objet initial, on applique :  t(2, -5)  h(O, 2)  sx

  39. B’’’ C’’’ A’’’ 2 2 Exemple : Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de transformations suivante : h(O, ⅓)sy t(4, -7) t (4, -7): B A (-10, 16) A’ (-6, 9) A’ (-10 + 4, 16 – 7) B (-7, 22) B’ (-3, 15) B’ (-7 + 4, 22 – 7) C B’ B’’ C (-4, 19) C’ (0, 12) C’ (-4 + 4, 19 – 7) A C’ C’’ sy: A’’ A’ A’ (-6, 9) A’’ (6, 9) B’ (-3, 15) B’’ (3, 15) C’ (0, 12) C’’ (0, 12) h(O, ⅓): A’’ (6, 9) A’’’ (2, 3) A’’’(⅓x 6, ⅓x 9) B’’ (3, 15) B’’’ (1, 5) B’’’ (⅓ x 3, ⅓ x 15) C’’ (0, 12) C’’’ (0, 4) C’’’ (⅓ x 0, ⅓ x 12)

  40. Mathématiques CST- Géométrie des figures planes - G) Isométries et similitudes ISOMÉTRIES Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles et segments). Translations, réflexions, rotations. SIMILITUDES La figure change de dimension. Seulement les angles restent inchangés. Homothéties

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