Vorlesung 4:

1. Vorlesung 4: • Roter Faden: • Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen • Evolution des Universums in der ART • Roter Faden: • Evolution des Universums

2. Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik • Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen • Newtonsche Mechanik • + Krümmungsterm k/S2 • + E=mc2 (oder u=c2) • + Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.) • + Vakuumenergie (=KosmologischeKonstante) • Dies sind genau die Ingredienten die man braucht • für ein homogenes und isotropes Universum, • das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)

3. Heute: diese Zeit ausrechnen unter Berücksich- tigung der Dunklen Energie

4. Zum Mitnehmen • Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. • Daraus folgt mit p = αc2 : • (t)  S(t) -3(1+α) • S(t)  t 2/3(1+α) • 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½ • 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3 • 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt • (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) • 5. Alter des Universums für  = 0.7: t  1/H0 14 .109 yr • statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)

5. Minkowski 4-dimensionale Raum-Zeit

6. Metrik = Vorschrift zur Längenmessung

7. Mathematische Beschreibung der Krümmung

8. Krümmung im 3-dim. Raum -> 4. Koordinate -> 4-dim. Euklidischer Raum

9. Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor. Für ein homogenes und isotropes Universum gilt: Metrik unabh. von ,θ, d.h. d = dθ = 0

10. Längen im gekrümmten Raum

11. Friedmann Gleichungen

12. Erste Friedman Gleichung nach Newton M m v =Friedmann für k=-2E/m Dimensionslose Dichteparameter:

13. (1) (2) Berücksichtigung der Expansionsenergie Differenziere (1) und benutze u=c2 ergibt die zweite Friedm. Gl dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dt Letzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.

14. Kosmologische Konstante p

15. Kosmologische Konstante

16. Energieerhaltung aus Friedmann Gl.

17. Zeitentwicklung der Dichte

18. Zeitentwicklung der Dichte

19. Zeitentwicklung des Universums

20. Zeitentwicklung des Universums

21. Wie groß ist das sichtbare Universum für =1? Jetzt mit S(t) = kt2/3(1+) Daraus folgt:  =  d =  dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3(1+)  = c d = c1/ kt2/3(1+)dt = (3+3)/(1+3  )(c/k) t(1+3  ) /(3 +3 ) Oder R0= S(t)  = (3+3 )/(1+3 ) c t0 = 3ct0 für =0 (Materiedominanz) ct0 für =1/3 (Strahlungsdominanz) 0 ct0 für =-1 (Vakuumenergie) Wie berechnet man R0 für Kombination aller drei???? Nützlich: berechne nicht alles als Fkt. von S und t, sondern H und z, denn dies sind die beobachteten Größen. Beachte: Wellenlänge skaliert mit S!! D.h. 1+z=λobs/λemit=S0/S. ODER BEI z=1 war das Univ. nur halb so groß, bei z=1000 1/1000.

22. Inflation bei konstantem 0 Oder S(t) e t/ mitZeitkonstante  = 1 /H Alter des Univ., d.h.beschleunigte Expansion durchVakuumenergiejetzt sehrlangsam, aberzum Alter t10-36s sehrschnell! DieserInflationsschub am Anfang, die durch die Symmetriebrechung einervereinheitlichter “Urkraft”, wiedurch GUT’s (Grand Unified Theories) vorhergesagt, ist die einzigeErklärung warum Univ. so groß ist und soviel Materie hat.

23. Alter des Universums mit ≠ 0

24. Alter des Universums mit ≠ 0

25. Alter des Universums mit ≠ 0

26. Zum Mitnehmen • Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. • Daraus folgt mit p = αc2 : • (t)  S(t) -3(1+α) • S(t)  t 2/3(1+α) • 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½ • 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3 • 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt • (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) • 5. Alter des Universums für  = 0.7: t  1/H0 14 .109 yr • statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)