Från att värdera ett enstaka fastighetsobjekt till att göra en fastighetsprisprognos avseende 2009

1. Från att värdera ett enstaka fastighetsobjekt till att göra en fastighetsprisprognos avseende 2009 2008-01-24 Mats Wilhelmsson KTH

2. Vad skall vi göra idag? • Repetera regressionsanalys • Skattningar • Precision • Förklaringsgrad • Hypotesprövningar • Dummy variabler • Funktionsformer • Residualanalys • Fastighetsprisindex • Tidsserieanalys • Utvärdering av prognosmodell • Projektarbete 1 och 2

3. Resurser under kursens gång • OH-bilder • Ingemar • matsw@infra.kth.se • Kort beskrivning av regressionsanalys • Artikel – ”Mass appraisal” • E-böcker • A guide to modern econometrics Författare: Verbeek, Marno • Handbook of applied econometrics and statistical inference Författare/editor: Ullah, Aman.; Wan, Alan T. K.; Chaturvedi, Anoop

4. Repetition

5. Regressionsanalys • Vi vill ha svar på frågan hur mycket kommer y att förändras om x ändras med enhet. • Sambandets funktionsform • Tillåta att andra saker än x kan påverka y • Fånga upp ceteris paribus samband mellan y och x.

6. Regressionsanalys • Linjärt samband mellan y och x • ”Error term” inkluderas för att fånga upp att andra saker än x påverkar y • ”Zero conditional mean” antagandet möjliggör för oss att skatta ceteris paribus effekter.

7. Härledning av parametrar • Utgår från ”Zero Conditional Mean” antagandet

8. Sample Regression Line y . y4 { û4 . û3 y3 } . y2 û2 { û1 } . y1 x2 x1 x4 x3 x

9. Väntevärdesriktigt om… • populationsmodellen är linjär i parametrarna: y = b0 + b1x + u • ett slumpmässigt urval av storleken n • E(u|x) = 0 och således E(ui|xi) = 0 • det finns en variation i xi

10. Tolkning • Ekonomisk tolkning • 0: det förväntade värdet av y om x är lika med noll • 1: om x ökar med en enhet så ökar y med b enheter (mätt i samma enhet som y)

11. Exempel: Hedonisk Prisekvation • Priset på en fastighet är en funktion av de underliggande värdepåverkande attributen. • Sambandet mellan pris och attribut skattas mha regressionsanalys. • Estimerade parametrar är attributens implicita priser (hedoniska priser).

12. Den Hedoniska Prisekvationen • Fastighetsknutna egenskaper (F) • Områdesknutna egenskaper (O) • Tidsberoende egenskaper (T)

13. Värdepåverkande attribut

14. Fler tänkbara attribut…. • Antal rum • Renoveringsbehov • Inre/yttre • Byte av vitvaror/tvätt/el • Dränering av grund • Kabel-tv,bredband,Centraldammsugare • Garage, bastu, bad, bubbelbad, pool, sjöutsikt • Kakelugn/öppen spis • 3-glasfönster, snålspolande toaletter/blandare • Vatten/fuktskadat • Fasad/tak • Ventilationssystem • Värmesystem • Produktion/Distribution • Närhet till • Allm. Kommunikationer • Service • Störning av • Väg, tåg, flyg, kraftledningar

15. Exempel

16. Precision • Säkerheten hos modellen kan bl.a. mätas med hur stor spridningen i modellen är. Ju mindre spridning desto bättre modell. Spridningen mäts med variansen och standardavvikelsen. • Antar homoskedasticitet • Variansen hos a och b beror på modellens varians, antalet observationer samt medelvärdet och spridningen i den oberoende variabeln.

17. Precision • Standardfel hos skattningen av y • Standardfelet hos skattningarna b0 och b1

18. Modellen förklaringsgrad • Determinationskoefficienten, ”goodness of fit”, R-square, R2 • SST: Total variation i den beroende variabeln • SSE: Variation som kan förklaras av modellen • SSR: Oförklarad variation • TSS=SSE+SSR • R2=SSE/SST=1-SSR/SST

19. Modellen förklaringsgrad • Determinationkoefficient (R2)

20. Justerat R-Squared • R2 ökar alltid ju fler variabler vi har med I modellen • Justerat R2 tar hänsyn till detta genom att ställa antalet oberoende variabler i relation till antalet observationer

21. Exempel

22. Hypotestest • Kan vi dra några slutsatser angående populationen med hjälp av urvalet? • Till vår hjälp använder vi både lägesmått (medelvärdet) och spridning (standardavvikelsen). • Genom att skatta en teststorhet och jämför det mot ett kritiskt värde kan vi förkasta eller acceptera en hypotes. • Om förkastas, den oberoende variabeln har en inverkan.

23. Hypotestest Modell: y = a + b1*x1 + b2*x2 Hypotes: H0: 1= 0 H1: 1 0 Vi antar att parametrarna har en normalfördelning med det förväntade värdet  och variansen 2b, dvs b1 N(1,2b1) Normalisera

24. Hypotestest Om, b1 är okänd använder vi oss av skattningen av b1 istället, vilket innebär att kvoten är t-fördelad istället för normalfördelad, dvs t är teststorheten tn-k-1 () är det kritiska värdet Förkasta H0 om t > tn-k ()

25. Hypotestest

26. Hypotestest • Om teststorheten är större än det kritiska värdet  förkasta nollhypotesen. • Kritiskt värde (dubbelsidigt test): t/2 (n-k-1) • där  är signifikansnivån och (n-k-1) antalet frihetsgrader. Vanligtvis använder man sig av signifikansnivån 5% och 1%. • Jmf. H0: Ej begått mord • 5% chans att vi förkastar nollhypotesen att den åtalade ej begått mord, dvs vi dömer en oskyldig för mord.

27. Exempel

28. Funktionsform • Inte troligt att vi har ett linjärt samband mellan y och x i den meningen att y ökar med lika mycket oberoende hur mycket av x vi har initialt. • I tillämpade studier finner vi oftast att variablerna är transformerade, tex att alla kontinuerliga variabler är logaritmerade. Varför? • Vi vill att effekten skall uttryckas som en procentuell effekt.

29. Sammanfattning av olika funktionsformer • ln(y) = b0 + b1ln(x) + u y ökar med b1 procent om x ökar med 1 procent • ln(y) = b0 + b1x + u y ökar med (100b1) procent om x ökar med 1 enhet • y = b0 + b1ln(x) + u y ökar med (b1/100) enheter om x ökar med 1 procent.

30. Exempel – ln(pris)

31. Dummyvariabel • En binär variabel som indikerar om en viss enskild observation (objekt) har en viss egenskap eller ej. • Om koefficientskattningen är signifikant skild från noll så innebär det att regressionsmodellen skiftar • Går att kombinera dummyvariabeln med kontinuerliga variabler.

32. Dummy variabel som oberoende variabel • Antag en enkel modell där vi har en kontinuerlig variabel (x) och en dummy variabel (d) • y = b0 + d0d + b1x + u • Kan tolkas som ett skift i konstanten • Om d = 0, y = b0 + b1x + u • Om d = 1, y = (b0 + d0) + b1x + u

33. Exempel om d0 > 0 y = (b0 + d0) + b1x y d = 1 lutning = b1 { d0 d = 0 } y = b0 + b1x b0 x

34. Interaktion med dummyvariabler • Man kan också kombinera en dummy variabel, d, med en kontinuerlig variabel, x • y= b0 + d1d + b1x + d2d*x + u • Om d = 0,  y= b0 + b1x + u • Om d = 1, y= (b0 + d1) + (b1+ d2) x + u • Tolkas som om lutningen ändras

35. Exempel om d0 > 0 and d1 < 0 y y = b0 + b1x d = 0 d = 1 y = (b0 + d0) + (b1 + d1) x x

36. Exempel

37. Residualanalys

38. Varför bekymra sig för Heteroskedasticitet? • OLS ger fortfarande väntevärdesriktiga och konsistenta skattningar även om vi inte antar homoskedasticitet • MEN, standardavvikelsen avseende våra estimat är icke väntevärdesriktiga om vi har heteroskedasticitet • Om standardavvikelsen är icke väntevärdesriktig klan vi EJ genomföra våra hypotesprövningar.

39. Breusch-Pagan Test • Ett test som avser att undersöka om heteroskedasticitet förekommer eller ej. • Feltermen är okänd men vi har residualerna från OLS regressionen. • Om vi kör regressionen residualerna i kvadrat mot alla oberoende variabler så kan vi nyttja R2 och göra ett F test • F-värdet anger om regressionsmodellen som helhet är statistiskt signifikant eller ej. • Ett ”högt” F-värde innebär att de oberoende variablerna kan förklara variationen i residualerna, vilket vi inte vill. • F = [R2/k]/[(1 –R2)/(n – k – 1)], med fördelningen Fk, n – k – 1

40. Exempel

41. Exempel - test

42. Konstruktion av Prisindex

43. Priser över tiden • I Exempel 1 hade vi information avseende transaktioner över en 1-års period. • Tog inte hänsyn till inflationen. Implicit antog vi att priserna har inte förändrats nominellt under år 2006. – Rimligt antagande? • Skulle ha kunnat: • Deflaterat de nominella priserna med tex fastighetsprisindex (FPI) eller konsumentprisindex (KPI). • Inkluderat en kontinuerlig variabel för att ta hänsyn till tid. • Inkluderat års/kvartals/månads ”dummies”.

44. Fastighetsprisindex (FPI)

45. FPI och KPI 101/118*100=86 I löpande priser har priset för småhus ökat med 253% mellan 1981 och 2004. I fasta priser är dock ökningen endast 42%, dvs en stor del av ökningen är ett resultat av inflation. Men fastighetspriserna har ökat snabbare än den genomsnittliga prisnivån

46. FPI (löpande och fasta priser)

47. Några enkla metoder att skapa fastighetsprisindex • Medelvärde (pris eller kvadratmeterpris) • Median • K/T-värde (Köpeskillingskoefficient)

48. Varför är inte medelvärde och K/T-värde lämpligt vid skapande av fastighetsprisindex? • Tar inte hänsyn till att olika typer av fastigheter säljs vid olika tidpunkter, dvs att urvalet förändras över tiden. • Dvs varan bostad/småhus är inte en homogen vara över tiden. • Taxeringsvärdena har inte uppdaterats årligen. K/T-värden från två olika taxeringsperioder kan därför inte direkt jämföras.

49. Bättre metoder att beräkna fastighetsprisindex Metoder som tar hänsyn till att olika typer av fastigheter omsätts under konjunkturcykeln. • Hedoniskt prisindex

50. Hur beräknar man ett hedoniskt prisindex? • Använder sig av både tvärsnitt och tidsseriedata. • Specificerar en ”hedonisk” prisekvation där vi antar att en fastighets värde är en funktion av dess egenskaper. • Skattar implicita priser avseende egenskaperna. • Inkluderar dummy variabler för tid i modellen. En dummy variabel för varje tidsenhet som man är intresserad av (tex år, kvartal eller månad). Exkluderar en tidsenhet för jämförelse. • Koefficienterna avseende dummy variablerna är lika med prisindexet.