Pithot dan Pivot

1. + Teorema Pithot : Suatu lingkaran yang dapat digambarkan dalam segiempat ABCD konveks, jika dan hanya jika dipenuhi: . Pithot dan Pivot Bukti: Gambarkan sesuai dengan skenario soal. Misalkan titik singgung lingkaran pada sisi-sisi AB, BC, CD, DA berturut-turut E,F,G dan H, maka berlaku: Karena Jadi:

2. Teorema pivot:Diberikan segitiga ABC dan titik-titik L, M, N dipilih berturut-turut pada sisi-sisi BC, CA dan AB (tidak pada titik sudutnya). Maka lingkaran-lingkaran AMN, BNL dan CLM berpotongan di titik P, yang disebut titik pivot. Bukti: Andaikan P di dalam segitiga ABC. Misalkan pula bahwa lingkaran-lingkaran yang melalui BNL dan CLM berpotongan di P. Karena BNPL cyclic, maka demikian juga CMPL cyclic, maka

3. , Mengingat, berarti: AMPN cyclic, jadi lingkaran AMN melalui P. Teorema Pivot, disebut juga sebagai teorema Miquel.

4. Beberapa contoh soal untuk bahan diskusi • Diberikan segitiga ABC; melalui sisi-sisi AB,BC dan • CA berturut-turut dibuat segitiga sama sisi (dalam • arah keluar) ABF, BCE dan CAD. • Buktikan bahwa: • (a) AE = BD = CF • (b) AE, BD dan CF konkuren • (c) Segitiga KLM sama sisi, jika K,L dan M berturut- • turut circum center dari segitiga-segitiga: CAD, • ABF dan BCE • 2. Diberikan segitiga ABC sama sisi, titik P di • dalamnya. Buktikan bahwa jumlah jarak dari P ke • sisi-sisi segitiga ABC konstan.

5. 3. Diberikan segitiga ABC dan titik-titik L,M,N berturut-turut pada sisi-sisi BC, CA dan AB. Andaikan lingkaran-lingkaran AMN, BNL, CLM berturut-turut berpusat di OA , OB dan OC. Buktikan bahwa segitiga-segitiga: OA OB OC dan ABC sebangun.