Dane Informacyjne MGP

2. Dane Informacyjne MGP • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół w Rajsku • ID grupy: • 98/85_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno Fizyczna • Temat projektowy: • W świecie liczb. • Semestr drugi • Rok szkolny: 2010/2011 • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół w Lubięcinie • ID grupy: • 98/23_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno Fizyczna • Temat projektowy: • W świecie liczb. • Semestr drugi • Rok szkolny: 2010/2011

3. Dane Informacyjne MGP Skład grupy:98/85_MF_G1 Justyna Smolińska Paulina Dziedzic Michalina Kaźmierczak Ilona Gaczyńska Piotr Antoszczyk Artur Nowicki Grzegorz Krymarys Dawid Parużak Mariusz Perskawiec Adam Smoliński Bartosz Bogaczyński Artur Matuszak Adrian Majewski Piotr Tomiec

4. Dane Informacyjne MGP Skład grupy: 98/23_MF_G1 Agnieszka Bartzel Agnieszka Kasprzyk Agnieszka Garbacz Urszula Stroczyńska Olga Kowalska Damian Kotowski Sergiusz Molek Nicolaus Reisch Oliwer Jasiński Rafał Szmigielski Albert Owczarz

5. W świecie liczb

6. Plan prezentacji • Historia liczb • Starożytne sposoby zapisywania liczb • Ciekawe ciągi liczb • Liczby olbrzymy • Liczby pierwsze i kryptografia • Złota liczba • Liczba Pi • Kwadraty magiczne • Ciekawe zadania

7. Historia liczb

8. Liczby naturalne: • Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce.

9. Dzieje zera: • Użycie zera jako liczby powinno zostać odróżnione od użycia jako cyfry. Wiele starożytnych indyjskich tekstów używało sanskryckiego słowa shunya w znaczeniu pustki. W tekstach matematycznych używano go jako liczbę zero. W podobny sposób hinduski gramatyk Pāṇini (V wiek p.n.e.) używał zera w dziele Ashtadhyayi, jego formalnej gramatyce sanskrytu.

10. Liczby ujemne: • Abstrakcyjna koncepcja liczb ujemnych powstała w pierwszej połowie I wieku p.n.e. Chińska praca Jiu-zhang Suanshu(Dziewięć tekstów o sztuce matematyki) zawierała metody znajdowania powierzchni figur. Czerwone znaki były używane do oznaczania dodatnich współczynników, a czarne – ujemnych. To najwcześniejsza znana wzmianka o liczbach ujemnych na świecie. W kulturze zachodniej pierwsze użycie liczb ujemnych pochodzi z III wieku, kiedy grek Diofantos rozważał zadanie, sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0 w dziele Arithmetica, twierdząc, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie.

11. Liczby wymierne: • Prawdopodobnie idea ułamków pojawiła się już w czasach prehistorycznych. Nawet starożytni Egipcjanie pisali teksty matematyczne z użyciem ułamków. Klasyczni Grecy i matematycy indyjscy opracowali teorię liczb wymiernych. Najbardziej znanym przykładem ich użycia są Elementy Euklidesa (ok. 300 p.n.e.). Z tekstów indyjskich najbardziej godna wzmianki jest Sthanang Sutra.

12. Historia liczb niewymiernych: • Po raz pierwszy liczby niewymierne użyte zostały w indyjskich tekstach Shulba Sutras, napisanych między 800 a 500 rokiem p.n.e. Pierwszy dowód istnienia liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany Hippasusowi z Mezopotamii, pitagorejczykowi, który udowodnił niewymierność pierwiastka z dwóch. Związana jest z tym pewna opowieść, nie wiadomo czy prawdziwa: Pitagoras wierzył w absolutną naturę liczb, i nie potrafił zaakceptować odkrycia swego ucznia. Intelektualnie nie potrafił wprawdzie obalić dowodu, jednak podważało to fundamenty jego wiary, skazał więc Hippasusa na śmierć przez utopienie.

13. Liczby algebraiczne, przestępne i rzeczywiste. • Ułamki łańcuchowe, blisko związane z liczbami niewymiernymi, wprowadził Cataldi w 1613, następnie zajmował się nimi Euler, a na początku XIX wieku ich teorię rozwinął Joseph Louis Lagrange. • W 1618 roku Napier w pracy o logarytmach wprowadził liczbę e (tzw. podstawa logarytmu naturalnego). Pierwsze wyniki dotyczące liczb przestępnych uzyskał Lambert, dowodząc w 1761, że π nie jest liczbą wymierną, oraz że ex, gdzie x jest niezerową liczbą wymierną, jest niewymierne.

14. Liczby zespolone: • Najwcześniejsze odniesienia do pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych znalazły się w pracy Herona z Aleksandrii z I wieku n.e. Dopiero jednak w XVI wieku pierwiastki takie stały się naprawdę istotne, kiedy odkryto, że ogólne wzory na rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia dają się łatwo wyprowadzić, tylko jeśli po drodze dopuścimy pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, nawet jeśli jesteśmy zainteresowani jedynie wynikami w liczbach rzeczywistych. (Tartaglia, Cardano).

15. Starożytne sposoby zapisywania liczb

16. Absolutny początek: • Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie (mieszkańcy Mezopotamii) około 2000 r. p.n.e. Zapisywali je stawiając znaki - kliny na glinianych tabliczkach. Najpierw wymyślili sposób zapisywania liczb, a dopiero potem sposób zapisu słów. Znaków cyfrowych było niewiele. Liczby babilońskie są właściwie kombinacjami trzech znaków: jedynki, dziesiątki i setki.

17. Liczby rzymskie • System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 p.n.e. Nadaje się on, co prawda, do wygodnego zapisywania liczb, jest jednak niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych, oraz nie pozwala na zapis ułamków.

18. Rzymska liczba zero: • Liczba zero nie posiada własnego znaku w systemie rzymskim, gdyż "nic" nie było powszechnie uważane za wartość liczby. Wartość 0,5 jest reprezentowana przez znak S (łac. Semis - pół) oraz ł (skreślone l). S ł lub

19. Egipt: 10 • Egipski system zapisywania liczb opierał się na liczbie 10 jako na podstawie.

20. Teraz: • Później sprawy liczb toczyły się szybko. Arabowie przywieźli swój sposób wraz z kupieckimi wyprawami. Doskonalony system przetrwał aż do naszych czasów.

21. Ciekawe ciągi liczb: • Liczby kwadratowe • Liczby trójkątne • Trójkąt Pascala

22. Liczby kwadratowe: • Liczby kwadratowe czyli liczby mnożone przez siebie jednokrotnie np. 2 x 2 = 4 = 22 • Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42

23. Liczby trójkątne: • W matematyce liczba trójkątnato liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych: Kolejne liczby trójkątne to • 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

24. Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb

25. Liczby olbrzymy ich tworzenie nazewnictwo i przykłady • 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

26. Liczby olbrzymy i ich nazewnictwo: • W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny:bi- oznacza dwu- (stąd bilion)tri- oznacza trój- (stąd trylion)quadri- oznacza czwór- (stąd kwadrylion)quintus oznacza piąty (stąd kwintylion) sextus oznacza szósty (stąd sekstylion) septimus oznacza siódmy (stąd septylion) octavus oznacza ósmy (stąd oktylion) nonus oznacza dziewiąty (stąd nonilion lub nonylion) deimus oznacza dziesiąty (stąd decylion) undecimus oznacza jedenasty (stąd undecylion) duodecimus oznacza dwunasty (stąd duodecylion) centum oznacza sto, lub centesimus - setny (stąd centylion)

27. Liczby pierwsze i ich zastosowanie w kryptografii

28. Kryptografia - dziedzina informatyki zajmuje się szyfrowaniem. W ostatnich wiekach zmienia się dzięki stworzeniu krypto-systemów o publicznym kluczu.

29. Kryptogram dzieli się na: • Tekst jawny • Krypto system • Funkcje kodujące

30. Tekst jawny • Ciąg symboli lub znaków w jakimś języku. • Tekst jawny dzielimy na jednostki. • Jednostka jest jakimś symbolem np. liczba lub litera.

31. Funkcje kodujące • F=Aa, A – to możliwe wszystkie jednostki

32. Funkcja dekodująca • Jest to permutacją odwrotną do funkcji kodującej. Oznaczamy ją przez A – 1 gdzie A odpowiednia liczba kodująca

33. Krypto-system • To para ( A , F ) czyli zbiór jednostek wiadomości A i funkcji kodującej F

34. Przykład:

35. Złota liczba

36. Złoty podział: • Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. • Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi

37. W starożytności: • Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. • złoty podział uważali za proporcję doskonałą. • stosowali go w architekturze i sztuce.

38. Rysunek Leonarda Da Vinci

39. Złote cięcie w przyrodzie: Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

40. a + b a a b a b a + b Złoty podział odcinka: • Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. • liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ(fi)).

41. Własności złotej liczby • Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. • Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. • Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego).

42. Leonardo Fibonacci • Podróżnik i kupiec z Pizzy • Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), • Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, • Autor słynnego zadania o królikach.

43. Zadanie Fibonacciego: • Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli: • każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, • para staje się płodna po miesiącu, • króliki nie zdychają?

44. W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach?

45. Ciąg Fibonacciego • 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … • Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, • pierwszy i drugi wyraz to 1,każdy następny to suma dwóch poprzednich, • postać rekurencyjna ciągu (fn – n-tywyraz ciągu):

46. Ciąg Fibonacciego a złota liczba • Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… • Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta

47. Liczby Fibonacciego w przyrodzie • Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. • Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. • Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

48. Liczba Pi

49. LICZBA Pi= Pi wynosi: 3,14159265358979323846264338327950288 41971693993751058209749445923078164 06286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582 23172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196...

50. O wynalazcy: • Pitagoras (ok. 572-497 p. n. e) Pitagoras urodził się na wyspie Samos. Prawdopodobnie to co przypisuje się Pitagorasowi, zostało wymyślone przez uczonych zwanych pitagorejczykami. Wprowadził również pojęcie dotyczące podobieństwa figur oraz pomysł na przeprowadzanie dowodów geometrycznych. Sam też przeprowadził dowód twierdzenia nazywanego dzisiaj twierdzeniem Pitagorasa.