EU-8-52 – DERIVACE FUNKCE VIII (derivace složené funkce)

1. EU-8-52 – DERIVACE FUNKCE VIII (derivace složené funkce)

2. PŘÍKLAD 1: Vytváření „nových“ funkcí skládáním elementárních funkcí.

3. PŘÍKLAD 2: Zopakování rovnosti (nerovnosti, různosti) funkcí f, g. Skládání funkcí není komutativní.

4. PŘÍKLAD 3: „Rozkládání“ složených funkcí na elementární funkce. Máme danou funkci chceme vypočítat hodnotu této funkce pro dané x  R. Výpočet hodnoty funkce můžeme vyjádřit takto: Pokud zvolíme x = 2 dostaneme: Podrobněji: Položíme-li a = g(x) [ tedy a = 3 x – 2 ]dostaneme: jsme rozložili na dvě elementární funkce: Danou (složenou) funkci

5. PŘÍKLAD 4: „Rozkládání“ složených funkcí v tabulce. Doplňte tabulku rozložením dané funkce na funkci vnitřní a vnější:

6. PŘÍKLAD 4: Správné doplnění tabulky.

7. PŘÍKLAD 5: Derivace elementárních funkcí – opakování. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a):

8. PŘÍKLAD 5: Doplnění derivací elementárních funkcí v tabulce. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a):

9. PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x:

10. PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x:

11. PŘÍKLAD 7: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0. Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu).

12. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0. Derivaci můžeme vypočítat efektivně (rychle a správně) (všimneme si souvislostí v předcházejícím výpočtu s výsledky v tabulce, pokusíme se formulovat „pravidlo“ pro výpočet derivace složené funkce – tedy matematickou větu).

13. PŘÍKLAD 8: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0 f(g(x))= (5x – 7)2 Derivaci můžeme vypočítat pomocí vět o derivování funkcí (v případě, že mocnitel bude např. 3 457 už nelze tento výpočet prakticky používat). Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu). Zjednodušeně  Derivaci můžeme vypočítat pomocí výpočtů provedených v přecházející tabulce (nejrychlejší výpočet derivace).

14. PŘÍKLAD 9: Rychlé výpočty derivace složené funkce z tabulky (zpaměti). Vypočítejte derivace složených funkcí z tabulky.

15. VĚTA O DERIVOVÁNÍ SLOŽENÉ FUNKCE Jestliže má funkce a = g(x) derivaci v bodě x0 a jestliže má funkce y = f(a) derivaci v bodě a0 = g(x0), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí [ f(g(x0)) ]/ = f/(g(x0)) • g/(x0). • DŮKAZ VĚTY (užitím definice derivace) Derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce (lze také říci: „součinu derivace vnitřní funkce a derivace vnější funkce“). • PŘÍKLAD – derivujte funkci y = (x5+3x2+7)9.

16.  AUTOTEST – vypočítejte derivace složených funkcí. MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 156, úloha 22. ISBN 80-7196-099-3. p1) p2) p3) p5) p6) p4) p8) p9) p7) p11) p12) p10)

17.  KONTROLA AUTOTESTU p1) p2) p4) p3) p5) p6) p8) p7) p9) p10) p11) p12) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.