Control Digital/Avanzado Sistemas Analógicos/Discretos

1. Control Digital/Avanzado Sistemas Analógicos/Discretos M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

19. Sistemas Analógicos • Se usan para procesar señales analógicas y se describen empleando ecuaciones diferenciales • La clase de sistemas lineales invariantes en el tiempo también se pueden describir por su respuesta al impulso

20. Definiciones • Un sistema físico es una interconexión de dispositivos y elementos sujetos a leyes físicas • Un sistema analógico es un sistema de tiempo continuo • La señal que se va a procesar se llama excitación y la señal procesada se llama respuesta

21. Modelar un sistema significa abstraer las características del sistema • Una especificación del sistema requiere una descripción en términos de su estructura y la otra por su nivel de energía o estado (estado aterrizado, relajado, cero). Aquí se emplean métodos de variables de estado • El comportamiento del sistema depende no sólo de la energía en un instante. Los valores iniciales de las variables de estado definen las condiciones iniciales

22. Operadores en tiempo contínuo • Una ecuación se basa en operadores • Un operador es una regla o un conjunto de instrucciones (un procedimiento) que nos dice como transformar una función en otra: • Ej: el operador sd/dt transforma una función de x(t) a y(t)=s{x(t)}

23. Un operador se representa por el símbolo O, O{x(t)}=y(t) • Ej: La operación O{}=4d/dt{}+6 indica que para obtener y(t), debemos derivar x(t), multiplicar por 4 y sumar 6 al resultado para obtener 4d/dt{x(t)}+6=4dx(t)/dt+6=y(t)

24. Operadores lineales • Operador aditivo: O{x1(t) + x2(t)}=O{x1(t)} + O{x2(t)} • Operador homogéneo: O{kx(t)}=kO{x(t)} Las dos operaciones juntas describen el principio de superposición: O{Ax1(t) + Bx2(t)}=AO{x1(t)} + BO{x2(t)}

25. Ej: Considere el operador O{}=log{} Puesto que log(Kx)  Klogx, el operador no es lineal, porque no es homgéneo • Ej: Considere el operador O{}=C{}+D Aplicando la prueba de homogeneidad O{Ax(t)}=ACx(t)+D pero AO{x(t)}=A(Cx(t)+D) Las dos difieren, la operación no es lineal

26. Clasificación de sistemas contínuos • Los sistemas se modelan por ecuaciones diferenciales y relacionan la salida y(t) con la entrada x(t): y(n)(t)+a1y(n-1)(t)+…+any(1) (t) = b0x(m)(t)+b1x(m-1)(t)+…+bmx(m)(t) El orden n describe la derivada más alta de la salida y(t). Los coeficientes pueden ser funciones de x(t) y/o y(t)

27. Usando el operador derivada skdk/dt con s01, se puede expresar esta ecuación en notación de operadores como {sn + a1sn-1 +…+ ans1}y(t) = {b0sm + b1sm-1 +…+bm}x(t)

28. Linealidad • Un sistema lineal es aquel para el cual se aplica la superposición e implica: • El sistema de ecuaciones debe incluir sólo operadores lineales • No debe contener fuentes internas independientes • Debe ser relajado (c.i.=0)

29. ¿Qué hace a un sistema no lineal? • Elementos no lineales • Condiciones iniciales distintas de cero • Fuentes internas

30. Salida Salida Salida Salida Entrada Entrada Entrada Entrada • Linealidad a partir de la relación entrada-salida

31. Invariante en el tiempo • Implica que la forma de la respuesta y(t) depende sólo de la forma de la entrada x(t) y no del tiempo en el que se aplica: O{x(t-t0)}=y(t-t0)

32. Ej: y(t)=x(t)x’(t) es no lineal pero invariante en el tiempo La operación es O{}=({})(d/dt{}) A O{x(t)}=A[x(t)x’(t)], pero O{Ax(t)}=[Ax(t)][Ax’(t)]. No son iguales • Ej: y(t)=x(t) es lineal pero variante en el tiempo. Con t  t, vemos que AO{x(t)}=A[x(t)] y O{Ax(t)}=Ax(t) son iguales

33. x(t) y1(t) y1(t-2) 1 1 1 Escala de tiempo (comprimida por 2) Escala de tiempo (comprimida por 2) 4 2 2 4 Retraso 2 unidades x(t-2) y2(t) 1 1 No es lo mismo 2 6 3 1

34. Ej: y(t)=tx(t) es lineal, pero variante en el tiempo. La operación es O{}=t{} AO{x(t)}=A[tx(t)] y O{Ax(t)}=t[Ax(t)] son iguales • Ej: y(t)=ex(t)x(t) es no lineal pero invariante en el tiempo. La operación es O{}=e{}{} AO{x(t)}=Aex(t)x(t) pero O{Ax(t)}=eAx(t) [Ax(t)] No son iguales O{x(t-t0)}=ex(t-t0)x(t-t0) y y(t-t0)=ex(t-t0)x(t-t0). Iguales

35. Sistemas LTI • Se describen con ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Para probar no linealidad o invariante en el tiempo verificamos que: • Los términos contienen productos de la entrada y/o salida. Un término constante hace no lineal a una ecuación • Los coeficientes de la entrada o la salida que son funciones explícitas de t, hacen variante al sistema o bien las entradas o salidas escaladas en el tiempo, como y(2t)

36. Ejemplos: • y’(t)-2y(t) = 4x(t). Es LTI • y’’(t) – 2ty’(t) = x(t). Es lineal, pero variante • y’(t) + 2y2(t) = 2x’(t) – x(t). No lineal, invariante • y’(t) – 2y(t) = ex(t)x(t). No lineal, invariante • y’(t) – 4y(t)y(2t) = x(t). No lineal y variante

37. + 3i2(t) - 3 i(t) i(t) v(t) 2H v(t) 2H 3 3t  i(t) i(t) v(t) v(t) 2H 2H 4V - +

38. Implicaciones de LTI • La representación de una señal arbitraria x(t), como: • Una suma ponderada de impulsos, es la base para el método de convolución • Una combinación lineal de armónicas es la base de la serie de Fourier • Una serie ponderada de exponenciales complejas es la base de la Transformada de Fourier y Laplace

39. Causalidad • Un sistema causal o no anticipativo es aquel para el que la respuesta presente no depende de valores futuros de la entrada • Una ecuación describe un sistema no causal, si los términos de la salida tienen un argumento de la forma y(t) y un término de la entrada tiene el argumento x(t+)

40. Memoria • En un sistema dinámico o con memoria, se caracteriza por ecuaciones diferenciales donde la respuesta presente depende de entradas presentes y pasadas (debido a elementos almacenadores de energía) • Por contrario, en los sistemas estáticos (como circuitos resistivos que operan en estado estacionario) la respuesta depende sólo del valor instantáneo de la entrada

41. Ej: y’’(t) + 2ty’(t) = x(t), causal y dinámico y(t) = x(t) + 3, causal e instantáneo, no lineal y(t) = 2(t+1)x(t), causal e instantáneo, variante y’(t) + 2y(t) = x(t+5), anticausal y dinámico y’(t+4) + 2y(t) = x(t+2), causal y dinámico y(t) = x(t+2), anticausal y dinámico (los argumentos de x y y difieren) y(t) = 2x(t), causal e instantáneo si =1, causal y dinámico si <1, no causal y dinámico si >1

42. Análisis de Sistemas LTI • Se pueden analizar por medio de: • Ecuaciones diferenciales: Sistemas no lineales y variantes en el tiempo, sistemas LTI. Su desventaja es que a medida que se incrementa el orden del sistema, las ecuaciones se vuelven difíciles • Variables de estado: describe un sistema de orden n, con n ecuaciones simultáneas de primer orden: sistemas no lineales, entradas y salidas múltiples. Para sistemas lineales se aplican métodos matriciales • Respuesta al impulso h(t): sistemas LTI relajados, la respuesta se obtiene de la suma de convolución

43. Sistemas LTI con ecuaciones diferenciales • Una ecuación diferencial de orden n requiere n condiciones iniciales para su solución completa • El método de coeficientes indeterminados conduce a la respuesta como la suma de la respuesta natural yN(t) y la respuesta forzada yF(t)

44. Respuesta natural • La forma de la respuesta natural depende sólo de los detalles del sistema y es independiente de la entrada • Es una suma de exponenciales cuyos exponentes son las raíces de la ecuación característica: y(n)(t) + a1y(n-1)(t) + …+ an-1y(1)(t) + any(t) = x(t) {a0sn + a1sn-1 + …+ an-1s + an} = x(t) a0sn + a1sn-1 + …+ an-1s + an=0

45. Respuesta forzada • Es producto de la interacción del sistema con la entrada y depende de ésta y del sistema • La respuesta total se obtiene sumando primero las respuestas forzada y natural y después evaluando las constantes indeterminadas (en la componente natural), usando las c.i. dadas

46. Ej: Considere el sistema de primer orden y’(t) + 2y(t) = x(t). Encuentre su respuesta si x(t)=6, y(0)=8 La ec. característica es s+2=0, la raíz s=-2 La resp. natural es yN(t)=Ke-2t Ya que x(t)=6 es constante, yF(t)=C y’F(t)=0 y y’F(t) + 2yF(t)=2C=6, yF(t)=C=3 La respuesta total es y(t)=yN(t)+yF(t)= Ke-2t + 3 Con y(0)=8, 8=K+3, K=5 y y(t)= 5e-2t +3=(5e-2t +3)u(t)

47. La respuesta de estado cero • Se describe la respuesta y(t) de un sistema LTI como la suma de su respuesta de estado cero (ZSR), suponiendo condiciones iniciales cero y su respuesta de entrada cero (ZIR) • Cada componente se encuentra usando el método de coeficientes indeterminados • Las respuestas de estado cero y entrada cero obedecen a la superposición

48. Ej: Considere y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t), con x(t)=4e-3t y c.i. y(0)=3, y y’(0)=4. Encuentre su respuesta de entrada cero y de estado cero La ec. característica es s2+3s+2=0, raíces s1=-1 y s2=-2. La respuesta natural es yN(t)=K1es1t + K2es2t = K1e-t + K2e-2t • La respuesta de entrada cero se encuentra de yN(t) y las c.i. yzi(t)= K1e-t +K2e-2t yzi(0)= K1+K2=3 y’zi(0)= -K1-2K2=4, K2=-7, K1=10 yzi(t)= 10e-t -7e-2t

49. yzs(t) se encuentra de la forma general de y(t) pero c.i.=0 Ya que x(t)=4e-3t, se tiene yF(t)=Ce-3t Entonces y’F(t)=-3Ce-3t, y’’F(t)=9Ce-3t y’’F(t) + 3y’F(t) + 2yF(t)=(9C - 9C + 2C) e-3t = 4e-3t Así C=2, yF(t)= 2e-3t y yzs(t)=K1e-t + K2e-2t + 2e-3t Con c.i. se obtiene yzs(0)=K1+K2+2 = 0, y’zs(0)=-K1-2K2-6=0, Que resulta K2=-4, K1=2, y yzs(t)=2e-t -4e-2t +2e-3t • La respuesta total es la suma de yzi(t) y yzs(t) y(t) = yzi(t) + yzs(t) = 12e-t -11e-2t +2e-3t , t0