Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: IX Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu • ID grupy: 97/44_mf_g1 • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Liczby Fibonacciego. • Semestr/rok szkolny: IV / 2011/2012

3. SPIS TREŚCI Spis treści • Ciągi • Leonardo Fibonacci • Ciąg Fibonacciego • Przykładowe własności ciągu Fibonacciego • Szukamy ciągu Fibonacciego • Ciąg Fibonacciego w przyrodzie • Spirala Fibonacciego • Złoty podział odcinka • Co wiemy o złotej liczbie • Związek złotej liczby z ciągiem Fibonacciego • Liczy Lucasa • Bibliografia

4. Pojęcie ciągu • Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. • Ciąg nazywamy liczbowym, gdy jego wartości są liczbami. • Ciąg o wyrazach: zapisujemy: (an). • Funkcje określone na skończonym zbiorze początkowych kolejnych liczb naturalnych nazywamy ciągiem skończonym.

5. Sposoby określania ciągu • Ciąg, podobnie jak funkcja może być podany w różny sposób, np. za pomocą: • Opisu słownego, np. „Każdej liczbie naturalnej dodatniej n≤12 przyporządkowujemy liczbę dni w kolejnym n-tym miesiącu roku 2011.” • Wzoru ogólnego, np.: • Wykresu, np.: • Wzoru rekurencyjnego.

6. Sposobyokreślania ciągu c.d. • Wzór rekurencyjny – wzór służący do wyznaczania wyrazów pewnego ciągu, który uzależnia wartość dowolnego (ogólnego) wyrazu tego ciągu od wartości poprzedzających go wyrazów, np.: • Kolejnymi wyrazami tego ciągu są:

7. Monotoniczność ciągu • Ponieważ ciągi są funkcjami, więc możemy badać ich monotoniczność: • Ciąg (an) jest rosnący • Ciąg (an) jest malejący

8. Ciąg arytmetyczny • Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem, który go bezpośrednio poprzedza, jest stały dla danego ciągu. • Ciąg arytmetyczny może być skończony lub nieskończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy. • Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to: • Przykład ciągu arytmetycznego: 2, 7, 12, 17, 22, 27,… • dla którego wzór ogólny ma postać:

9. Ciąg GEOMETRYCZNY • Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym stosunek dowolnego wyrazu ciągu do wyrazu, który go bezpośrednio poprzedza, jest stały dla danego ciągu. • Ciąg geometryczny może być skończony lub nieskończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy. • Jeżeli ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q≠0 , to: • Przykład ciągu geometrycznego: 2, 4, 8, 16, 32, 64,… • dla którego wzór ogólny ma postać:

10. Fibonacci, Leonardo z Pizy ur. ok.1180, zm. ok.. 1250, matematyk, autor dzieła Liber Abaci(Księga Abaku), w którym przedstawił całą ówczesną wiedzę z zakresu arytmetyki i algebry, podał tam również dziesiątkowy układ liczbowy, napisał również Practicageometriae(Geometria praktyczna), dzieło o zastosowaniu algebry do geometrii

11. Ciąg Fibonacciego • Wzór rekurencyjny • określa ciąg liczbowy o początkowych wyrazach: • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • zw. ciągiem Fibonacciego

12. Wzór Bineta • Ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,21,… można określić również wzorem:

13. Przykładowe własności ciągu Fibonacciego • Własność 1 • Dowód: • c.k.d. dodając równości stronami =1

14. Przykładowe własności ciągu Fibonacciego • Własność 2 (dotyczy sumy liczb o wskaźnikach nieparzystych) • Dowód: • c.k.d. dodając równości stronami

15. Przykładowe własności ciągu Fibonacciego • Własność 3 (dotyczy sumy liczb o wskaźnikach parzystych) • Dowód: • Korzystając z wcześniej udowodnionych własności możemy zapisać • c.k.d. odejmując równości stronami

16. Szukamy ciągu fibonacciego … • Zad.1. „Przyjmijmy, że króliki żyją nieskończenie długo i że każdego miesiąca każda para rodzi nową parę, a ta może mieć młode, gdy ma dwa miesiące. Zaczynamy hodowlą od jednej, właśnie narodzonej pary. Ile par królików mamy w kolejnych miesiącach?”

17. Szukamy ciągu fibonacciego … • Zad.2. (H. Dudeney ‘a) „Jeżeli krowa rodzi swoje pierwsze cielę -jałówkę w wieku dwóch lat (w trzecim roku od urodzenia), a potem nową jałówkę każdego roku, to ile krów będzie po 12 latach - przy założeniu, że żadna nie padnie?” (przyjmując, że każda jałówka po 2 latach także zacznie rodzić cielęta – jałówki)

18. Szukamy ciągu fibonacciego … • Zad.3. „Gałęzie niektórych drzew rozrastają się w bardzo regularny sposób. Co rok każda gałąź przyrasta o pewną długość, a gałęzie mające co najmniej dwa lata, nie tylko wydłużają się, ale wypuszczają też odrosty, czyli rozdwajają się. Ile gałęzi ma drzewo w kolejnych latach po posadzeniu?”

19. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie • Zauważono, że: • łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego, • liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin, • niektóre gatunkikwiatówposiadająliczbępłatków, odpowiadającą liczbomciągu Fibonacciego,

20. Kilka przykładów

21. Spirala Fibonacciego Warto wspomnieć również o spirali Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle. W przekroju muszli widać, że ułożona jest spiralnie i zbudowana z szeregu komór, z których każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie o tyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej.

22. a b a + b Złoty podział odcinka • Jeżeli odcinek podzielimy w następujący sposób • taki, że stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części, to liczbę wyrażająca stosunek złotego podziału nazywamy złotą liczbą i ozn. grecką literą φ.

23. Co wiemy o złotej liczbie: • złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: • wartość złotej liczby wynosi: • złoty podział wykorzystuje się często w proporcjonalnych dziełach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, • złota liczba zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

24. Co wiemy o złotej liczbie c.d.: Złota liczba została wykorzystana przy budowie piramid w Gizie. Przekrój Wielkiej Piramidy, jest trójkątem prostokątnym, nazywanym Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby φ tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku. Złoty podział został wykorzystany w konstrukcji Partenonu

25. Związek złotej liczby z ciągiem fibonacciego • Wykonując dzielenie kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego przez wyraz poprzedni otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby φ: • 3:2=1,5 5:3=1,(6) • 8:5=1,6 13:8=1,625… • … • 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… • a ciąg Fibonacciego wyraża się wzorem (Bineta):

26. Liczby Lucasa • Liczby Lucasa tworzone są w taki sam sposób jak liczby Fibonacciego, jednak początkowe liczby są równe 2 i 1. Każda następna liczba Lucasa jest sumą dwóch poprzednich2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364… • Wzór rekurencyjny: • Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do złotej liczby φ. • Stosunek Ln/Un między odpowiednimi liczbami Lucasa i Fibonacciego dąży do .

27. Bibliografia • Księga liczb – John Conway i Richard Guy • Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape • Encyklopedia Szkolna Matematyka • „Wstęp do liczb Fibonacciego”, Agata Cywińska, Joanna Kozioł • http://www.askompetencji.eduportal.pl/ • http://www.math.edu.pl • http://www.swiatmatematyki.pl • http://urbanim.republika.pl/fibonacci.html • http://wazniak.mimuw.edu.pl • http://www.matematycy.interklasa.pl/biografie/matematyk.php?str=fibonacci

28. Dziękujemy za uwagę!