Matematyczne techniki zarządzania - 241

1. Matematyczne techniki zarządzania - 241 Wymiana urządzeń (teoria odnowy) Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów, agregatów itp.), tak aby zminimalizować koszty ich użytko-wania pt — cena nowej maszyny w roku t vt — wartość maszyny używanej przez t lat rt — koszt eksploatacji maszyny w roku t Koszt użytkowania maszyny od roku i do roku j Wzór rekurencyjny Jest to problem szukania najkrótszej drogi w sieci Przykład 52. Znaleźć optymalny moment wymiany maszyny dla następujących danych (n = 6) Obliczamy wartości cij, na przykład:

2. Matematyczne techniki zarządzania - 242 Tablica wartości cij Rozwiązanie ogólne • Trzy interpretacje fi • stan systemu po i-tym etapie • najkrótsza droga w sieci z węzła i-tego do węzła końcowego • minimalne koszty utrzymania maszyny od okresu i-tego do ostatniego • Rozwiązanie szczegółowe Maszynę należy wymienić w trzecim roku eksploatacji optymalny moment wymiany

3. Matematyczne techniki zarządzania - 243 • Analiza otrzymanego rozwiązania • rozwiązanie optymalne: koszt 365 Koszt 450 400 350 300 • wymiana co roku: koszt 80+85+90+95+100=450 • bez wymiany: koszt c16 = 383 1 2 3 4 5 6 lata  Zagadnienie plecaka (optymalnego załadunku) Alpinista chce tak załadować plecak, aby jego użyteczność była jak naj-większa. Jest to model załadunku kontenerów, ładowni statków itd. W — pojemność plecaka N — liczba różnych przedmiotów wyposażenia wi — objętość zajmowana przez i-ty przedmiot i=1, 2,..., N Ri — użyteczność i-tego przedmiotu xi — liczba przedmiotów i-tego rodzaju włożonych do plecaka xi = 1, 2,..., n Funkcja celu Równanie rekurencyjne Warunek ograniczający

4. Matematyczne techniki zarządzania - 244  PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE Zmienna decyzyjna xi musi być liczbą całkowitą — programowanie dyskretne, w tym programowanie dychotomiczne czyli binarne (0-1) Zastosowanie: optymalizacja wykorzystania maszyn, środków transportu, optymalizacja produkcji itd. Różnica pomiędzy programowaniem całko- witoliczbowym (ZPCL) a zwykłym progra- mowaniem liniowym (ZZPL)  5 4 3 2 1 0 Warunki ograniczające dla obu problemów są takie same zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla ZZPL zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla ZPCL Dla ZZPL rozwiązanie opty-malne znajduje się na jed-nym z wierzchołków, a dla ZPC nie wiadomo gdzie! Nie da się go uzyskać przez „zaokrąglenie” tego pierw-szego! 0 1 2 3 4 5 6 7 W rzeczywistości mamy znacznie więcej wymiarów!

5. Matematyczne techniki zarządzania - 245 Przykład 53. Znaleźć rozwiązanie zwykłe i całkowitoliczbowe dla następującego modelu ZZPL: x1 = 13/7 x2 = 0 Z(X) = 39 Szukając rozwiązania ZPCL nie możemy przyjąć x1 = 2 i x2 = 0; zaś dla x1 = 1 i x2 = 0 otrzyma-my niemaksymalną wartość Z(X) = 21 ZPCL: x1 = 0 x3 = 3 Z(X) = 33 Rozwiązania te nie mają nic wspólnego • Metody rozwiązywania ZPCL • Punktów w hiperprzestrzeni tworzących zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest bardzo dużo. Jedynym wyjściem jest ich przeszukiwanie według ja-kiegoś schematu: • metoda Gomory’ego (odcięć) • metoda podziału i ograniczeń • programy profesjonalne • Metoda podziału i ograniczeń Kroimy „placek” (zbiór rozwiązań dopusz-czalnych) według linii liczb całkowitych aż do znalezienia „rodzynka” (rozwiązania) W usuniętej części na pewno nie ma rozwią-zania optymalnego

6. Matematyczne techniki zarządzania - 246 Algorytm metody podziału i ograniczeń 1. Tworzymy ZZPL z posiadanego ZPCL a,b - sąsiednie liczby całkowite 2. Rozwiązujemy ZZPL   3. Wokół tego rozwiązania wycinamy — na jednej osi (x2) — pas jednostkowy wokół rozwiązania dla ZZPL 4. Otrzymujemy dwa nowe ZZPL:  oraz  5. Kroki te powtarzamy po poszczególnych osiach (wymiarach), dzieląc „placek” i patrząc czy otrzymane rozwiązanie jest całkowitoliczbowe DRZEWO ROZWIĄZAŃ ZZPL, które nie mają rozwiązania dopuszczalnego ZZPL, dla kórych znaleziono rozwiązanie całkowitoliczbowe; zapisujemy je w celu porównania z innymi (1, 2, 3 i 4) i przez porównanie wartości funkcji celu znajdujemy rozwiązanie ZPCL (na przykład nr 4)

7. Matematyczne techniki zarządzania - 247 Jak długo się dzieli? Ile gałęzi ma drzewo? Prowadzi się wykaz ZZPL, dopi-sując nowe i skreślając zbadane. Algorytm się kończy po skreśle-niu wszystkich ZZPL z wykazu. • Nazwy etapów algorytmu • rozgałęzienie • osłabienie • badanie • podział ŻYCIE JEST NIELINIOWE • PROGRAMOWANIE NIELINIOWE • polega na tym, że funkcja celu lub/i ograniczenie jest funkcjąnieliniową • może wystąpić w każdym zagadnieniu optymalizacyjnym • skąd się bierze nieliniowość: — f. ekonomiczne są zwykle nieliniowe • — nieliniowość wynika z techniki lub prawa TARYFA I TARYFA II Funkcja jednostkowych kosztów produkcji Koszty, ceny, stawki celne, taryfy itd.

8. Matematyczne techniki zarządzania - 248 Różnica pomiędzy programowaniem liniowym a nieliniowym PROGRAMOWANIE LINIOWE PROGRAMOWANIE NIELINIOWE  stały kierunek wzrostu Z(X)  zmienny kierunek wzrostu Z(X)  maksimum na wierzchołku  maksimum w różnym miejscu W programowaniu nieliniowym mamy dwa rodzaje optimum:  optimum bezwarunkowe DLA OSOBY, KTÓRA LUBI GÓRY I ZNA SIĘ NA MAPACH, TE IZOLINIE TO WARSTWICE A ROZWIĄZANIA DOPUSZCZALNE TO POLE GAZDY, NA KTÓRYM SZUKAMY...PUNKTU •  optimum warunkowe; trzy możliwości względem zbioru rozwiązań dopuszczalnych • wewnątrz • na krawędzi • na wierzchołku

9. Matematyczne techniki zarządzania - 249 METODY ROZWIĄZYWANIA PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO 1. Szukanie optimum bezwarunkowego przy wielu zmiennych W ogólności oblicza się pochodne cząstkowe, przyrównuje je do zera i roz-wiązuje otrzymany układ równań Metoda najszybszego wzrostu (metoda Cauchy’ego) • Kierujemy się tylko pochodnymi 1. rzędu wyznaczonymi w punkcie podejmowania decyzji co do dalszego „marszu” • Decyzja dotyczy: • kierunku marszu d • długości marszu t w danym kierunku k — numer etapu marszu j — wymiar (zmienna) Modyfikacje metody uwzględniają pochodne 2. rzędu (krótsze kroki) 2. Inne metody (łącznie z szukaniem optimum warunkowego)  zmiennych rozdzielonych  dużych kroków  kombinacji wypukłych  simpleks kwadratowy  płaszczyzny tnącej  rzutu gradientu  funkcji barierowych  Lagrange’a  Kuhna-Tuckera

10. Matematyczne techniki zarządzania - 250  PROGRAMOWANIE STOCHASTYCZNE • ma trzy znaczenia: • prawdopodobieństwo (szansa) czegoś — np. 0,6 • możliwość poniesienia strat • możliwość wystąpienia różnych wyników podjętej działalności (decyzji) RYZYKO ZYSK JEST BRA-TEM STRATY (przysłowie tureckie) Przykład 54. Oblicz, którą decyzję powinno podjąć przedsiębiorstwo w następu-jących warunkach ryzyka. PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH RYZYKA

11. Matematyczne techniki zarządzania - 251 • Decyzja: należy wybudować nowy zakład produkcyjny (x1=0, x2=1) • Zalety teorii gier i metody drzewka (dendrytu) decyzyjnego: • bardzo proste obliczenia • jasno widać wszystkie sploty okoliczności (6 możliwości) • można przeprowadzić analizę wrażliwości (plansza 197) • Wady metody: • model zbyt uproszczonyw stosunku do rzeczywistości • niezrozumiały dla laików, bo odwołuje się do prawa wielkich liczb • trudno zdobyć dane, szczególnie prawdopodobieństwa • posługuje się wartością oczekiwaną, występuje miraż średniej • nie da się sprawdzić na pojedynczym przykładzie DECYZJ Ę PODJĘTO NA PODSTAWIE LICZBY 112,5 MLN ZŁ, A BĘDZIE ALBO 50 MLN ALBO 100 MLN ALBO 150 MLN • Jak wytłumaczyć laikom działanie prawa wielkich liczb? • Zakładamy, że decyzja z przykładu 54 zostaje podjęta 80 razy; wtedy: • w 10 przypadkach (80x0,125) firma zarobi po 50 mln zł; razem 500 mln zł • w 40 przypadkach (80x0,500) firma zarobi po 100 mln zł; razem 4000 mln zł • w 30 przypadkach (80x0,375) firma zarobi po 150 mln zł; razem 4500 mln zł • OGÓŁEM 9000 mln zł • Dzieląc 9000 mln zł przez 80 przedsięwzięć otrzymamy średnią 112,5 mln zł

12. Matematyczne techniki zarządzania - 252  DECYZJA ZRANDOMIZOWANA (ROZWIĄZANIE ZRANDOMIZOWANE) W wielu sytuacjach rozwiązanie zrandomizowane daje lepsze wyniki niż decyzja zdeterminowana Przykład 55. Znamy popyt na luksusowy tort pieczony w Wadowicach. Przedstawić skutki finansowe produkcji zdeterminowanej i zrandomi-zowanej. • Decyzja zdeterminowana • Pieczemy codziennie 1 tort: • koszt dzienny: 1c • zaspokojenie popytu: 1/6+1/6=1/3 • Decyzja zrandomizowana • Pieczemy co piąty dzień 2 torty, w po-zostałe dni nie pieczemy tortu: • koszt dzienny: (2/5)c = 0,4c • zaspokojenie popytu: • (1/5)(1)+(4/5)(1/6) = 10/30=1/3 • WNIOSEK: decyzja zrandomizowana jest o wiele bardziej opłacalna! Koszt pieczenia 1 tortu: 1c ŚREDNIA JEST MIRAŻEM! NIE NALEŻY JEJ UŻYWAĆ DO PODEJMOWANIA DECYZJI! Przykład 56. Rozpatrujemy zagadnienie planowania przedsięwzięć nieprodukcyj-nych w wersji stochastycz-nej (PERT), a następnie de-cyzję — czy wynająć konsul-tanta, który obiecuje skrócić czas realizacji o 1 tydzień za kwotę 20 tys. zł

13. Matematyczne techniki zarządzania - 253 Będziemy szukać najdłuższej drogi w następującej sieci:  Czas realizacji niektórych czynności jest zmienną losową:  • Również czas realizacji całego przedsięwzięcia jest zmienną losową: • czas minimalny: 4 tygodnie • czas maksymalny: 7 tygodni • czas średni: 5 tygodni (patrz rysunek sieci) Czas realizacji przedsięwzięcia wpływa na zysk Czy opłaca się wynająć za 20 tys. zł konsultanta, który skróci ten czas o jeden tydzień? A. Decyzja oparta na wartości średniej Bez konsultanta: czas 5 tygodni, zysk 100 tys. zł Z konsultantem: czas 4 tygodnie, zysk 110 tys. zł KONSULTANT NIE OPŁACA SIĘ, BO KOSZTUJE WIĘCEJ NIŻ KORZYŚĆ Z NIEGO!

14. Matematyczne techniki zarządzania - 254 B. Decyzja oparta na rozkładzie prawdopodobieństwa Tworzymy rozkład czasu realizacji przedsięwzięcia, rozpatrując 27 kombi-nacji wartości ti i znajdując dla nich ścieżkę krytyczną (najdłuższą drogę) KONSULTANT OPŁACA SIĘ, BO KOSZTUJE 20.000, A FIRMA ZAROBI 35.000 NA PRZY-SPIESZENIIU PRAC Zysk bez konsultanta Zysk z konsultantem DECYZJA OPARTA NA ROZKŁADZIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA JEST CAŁKIEM INNA NIŻ DECYZJA OPARTA NA ŚREDNIEJ Wartość idealnej informacji (Wii) Jest to maksymalna kwota, jaką opłaca się zapłacić instytucji lub osobie („wróżce”) za prawdziwą, idealną (nie obarczoną żadnym błędem) infor-mację o stanie natury w każdorazowym przypadku spośród wielu rozpa-trywanych w ramach prawa wielkich liczb. Wartość Wii służy do negocjowania umów za informacje rzeczywiste, obar-czone pewnym błędem, dostarczane przez różnego rodzaju firmy konsulta-cyjne, doradcze, przez niezależnych ekspertów itd.

15. Matematyczne techniki zarządzania - 255 Przykład 56 cd. Ile opłaca się zapłacić za informację — ile wynie-sie czas realizacji przedsięwzięcia w konkretnym przypadku? EMVbi możemy wyznaczyć na podstawie wcześniejszych obliczeń jako równe 99 — 20 = 79 tys. zł EMVii obliczamy zakładając, że w każdym przypadku z góry wiemy jaki bę-dzie czas realizacji projektu i na tej podstawie potrafimy podjąć właściwą decyzję o wynajęciu konsultanta Wii=4.000 zł BAYESOWSKA TEORIA DECYZJI DRZEWKO DECYZYJNE Z ZAKUPEM NIE-DOSKONAŁEJ INFORMACJI Przykład 57. Polski Koncern Naftowy (PKN) analizuje w której miejscowości w pobliżu Krakowa zlokalizować skład paliw. Kryterium decyzyjnym jest maksymaliza-cja zysku. Ryzyko wynika z nieznanego popytu w róż-nych częściach aglomeracji.

16. Matematyczne techniki zarządzania - 256 • Rozważane są dwie lokalizacje: • miejscowość A (decyzja A1) • miejscowość B (decyzja A2) • W zależności od zachowania się rynku, możliwe są trzy stany natury: • S1: większość klientów na lewym brzegu Wisły • S2: klienci rozłożeni mniej więcej po równo • S3: większość klientów na prawym brzegu Wisły Wisła ANALIZA EKONOMICZNA • Ponieważ koszt inwestycji jest duży, PKN jest os-trożny i postanawia zlecić WZ AGH przeprowadze-nie badań rynkowych (decyzja A3) — koszt 4 • Badania mogą dać następujące wyniki: • Z1: większość klientów na lewym brzegu Wisły • Z2: klienci rozłożeni mniej więcej po równo • Z3: większość klientów na prawym brzegu Wisły • Badania są przeprowadzane na próbach statystycz-nych i z tego tytułu są obarczone błędem; dostar-czają niedoskonałą informację — patrz macierz wiarygodności badań rynkowych MACIERZ ZYSKÓW (UŻYTECZNOŚCI) MACIERZ WIARYGODNOŚCI KTÓRĄ DECYZJĘ PODJĄĆ I CZY SŁUCHAĆ BADAŃ RYNKOWYCH?

17. Matematyczne techniki zarządzania - 257 EMV(A)=62 OGÓŁEM MAMY 13 WĘZŁÓW I 24 GAŁĄZKI Przyjmujemy następujące prawdopodo-bienstwa: S1 — 0,5 S2 — 0,3 S2 — 0,2 JEŚLI KTOŚ JE KWESTIONUJE, MOŻE ZROBIĆ POTEM ANALIZĘ WRAŻLIWOŚCI! Dla węzła A łatwo można obliczyć EMV(A)=62 EMV(B)=39 EMV(C)=? oraz dla węzła B EMV(B)=39 Jak policzyć EMV(C)?

18. Matematyczne techniki zarządzania - 258 Jak policzyć EMV(C)? Należy posłużyć się rachunkiem bayesowskim p1 — prawdopodobieństwo wystąpienia stanu S1 pod warunkiem, że wynik badania był Z1, itd. P(Z1) — prawdopodobieństwo całkowite P(S1|Z1) — prawdopodobieństwo bayesowskie ? P(S1) = 0,5 P(Z1|S1) = 0,6 P(S2) = 0,3 P(Z1|S2) = 0,3 P(S2) = 0,2 P(Z1|S3) = 0,2 P(Z1) = 0,6*0,5+0,3*0,3+0,2*0,2 = 0,43 p1 = P(S1|Z1) = (0,6*0,5)/0,43 = 30/43 = 0,70 p2 = P(S2|Z1) = (0,3*0,3)/0,43 = 9/43 = 0,21 p3 = P(S3|Z1) = (0,2*0,2)/0,43 = 4/43 = 0,09 Razem = 1,0

19. Matematyczne techniki zarządzania - 259 EMV(D) = 96*0,70+36*0,21-4*0,09 = 74,1 EMV(E) = 6*0,70+56*0,21+76*0,09 = 23,0 EMV(K) = 74,1 W węźle K należy podjąć decyzję A1 • INTERPRETACJA — rozwiązanie przykładu 57 • PKN powinien zlecić WZ AGH przeprowadze-nie badań rynkowych, a po otrzymaniu ich wyników powinien: • jeśli badania wykażą, że większy popyt bę-dzie na lewym brzegu Wisły — zlokalizować skład w miejscowości A • jeżeli badania wykażą, że popyt jest mniej więcej jednakowy po obu stronach Wisły — zlokalizować skład w miejscowości A • jeśli badania wykażą, że większy popyt bę-dzie na prawym brzegu Wisły — zlokalizować skład w miejscowości B PODOBNIE MOŻNA POLICZYĆ, ŻE... W węźle L należy podjąć decyzję A1 W węźle M należy podjąć decyzję A2 W węźle N należy podjąć decyzję A3 Kryteria decyzyjne uproszczone  I. Minimax użyteczności (kryterium pesymisty) Przykład 57 min dla A1 = 0; min dla A2 = 10; wybieramy mniejsze zło: decyzję A2

20. Matematyczne techniki zarządzania - 260 II. Minimax zawodu (ryzyka)(kryterium ostrożnego) Zawód (ryzyko) to strata finansowa z danej decyzji w stosunku do decyzji najlepszej przy danym stanie natury max dla A1 = 80; max dla A2 = 90; wybieramy mniejsze zło: decyzję A1 III. Kryterium Hurwicza (średnia ważona) k — wskaźnik optymizmu (0—1) k = 0,7: H(A1) = (0,7)(100) + (0,3)(0) = 70 H(A2) = (0,7)(80) + (0,3)(10) = 59; wybieramy decyzję A1 IV. Kryterium Bernoulliego (średnia arytmetyczna) H(A1) = (100+40+0)/3 = 46,7 H(A2) = (10+60+80)/3 = 50,0; wybieramy decyzję A2 Przykład 57 cd. Obliczyć wartość idealnej informacji dla PKN o zachowa-niu się rynku paliw w Krakowie EMVbi = 62 (decyzja A1, plansza 257) EMVii = (100)(0,5) + (60)(0,3) + (80)(0,2) = 84 (przy każdym stanie natury wybierzemy lepszą decyzję) Wii = 22

21. Teoria gier Przykład 58. Producent aparatury elektronicznej ma kłopoty w pewnym wyrobem (straty z powodu reklamacji). Aby wyprzedzić konkurentów, projektuje się wprowadzić do tego wyrobu podzespół najnowszej gene-racji, będący jeszcze w stadium prób laboratoryjnych u jego dostawcy. Jest to przedsięwzięcie ryzykowne, producent rozważa więc trzy strategie: A1 — wprowadzenie podzespołu do wyrobu bez żadnych prób; strategia ta jest ryzykowna, gdyż dostawca podzespołu nie daje pełnej gwarancji A2 — wyprodukowanie próbnej partii wyrobów z nowym podzespołem, i wprowadzenie go do produkcji seryjnej wyrobów w razie udanej próby; strategia ryzykowna, gdyż udana próba nie musi oznaczać sukcesu przy produkcji seryjnej A3 — niedokonywanie żadnych zmian w wyrobie Drugim „graczem” (Naturą) jest podzespół wmontowany do wyrobu; moż-na wyróżnić cztery jego strategie: B1 — próba pozytywna, produkcja seryjna negatywna B2 — próba pozytywna, produkcja seryjna pozytywna B3 — próba negatywna, produkcja seryjna pozytywna B4 — próba negatywna, produkcja seryjna negatywna DANE FINANSOWE POTRZEBNE DO ZBUDOWANIA MECIERZY WYPŁAT Matematyczne techniki zarządzania - 261 

22. Matematyczne techniki zarządzania - 262 -3 koszt przestawienia produkcji na zmodernizowany wyrób 10zysk w razie udanej konstrukcji zmodernizowanego wyrobu -1 koszt próby dla stwierdzenia jakości podzespołu (nowej konstrukcji) -5 straty z powodu reklamacji wadliwych wyrobów 2 rekompensata od dostawcy podzespołu za wykonanie próby w razie jej negatywnego wyniku Ponadto uwzględnimy następujące prawdopodobieństwa:  10% szansa udanej modernizacji wyrobu  70% szansa, że próba wskaże prawidłowo złą jakość podzespołu  80% szansa, że próba wskaże prawidłowo dobrą jakość podzespołu MACIERZ WYPŁAT  Co ma zrobić firma? Jeśli nic nie zrobi, na pewno straci 5; jeśli zaryzykuje modernizację wyrobu — może zarobić 7, ale również może stracić 9; szansa sukcesu może być mała, może być duża... Gra nie ma punktu siodłowego, trzeba więc zbudować model programowania liniowego

23. Matematyczne techniki zarządzania - 263 • Strategia zrandomizowana Natury: x1, x2, x3, x4 • Rozwiązanie modelu • optymalna strategia Natury • 0,17 - 0,08 - 0,02 - 0,73 • optymalna strategia firmy • 0 - 1 - 0 • wartość gry V = -4,55 • Firma powinna uruchomić próbną produkcję nowych wyrobów; w razie sukcesu uruchomić produkcję seryjną, w razie niepowodzenia odebrać rekompensatę. • Nie jest to strategia gwarantująca zyski, ale lepsza nic NIC NIE ROBIĆ! • PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE • dotychczas mieliśmy tylko jedno kryterium: • — maksymalizacja zysku • — minimalizacja kosztów • teraz rozważymy sposób uwzględniania wielu kryteriów jednocześnie

24. Matematyczne techniki zarządzania - 264 • Na przykład przy wyborze lokalizacji nowego zakładu produkcyjnego: • minimalizacja kosztów zakupu terenu i kosztów budowy • minimalizacja kosztów transportu wyrobów z fabryki do ośrodków dystrybucji • minimalizacja kosztówrekrutacji i utrzymania pracowników • minimalizacja kosztów energii i paliw • minimalizacja podatków • WZAJEMNY STOSUNEK CELÓW Mogą być zależne, zgodne, sprzeczne, niezgodne, konfliktowe itd. Niezgodność celów Podwyższenie stopnia osiągnięcia jednego zmniejsza stopień osiągnięcia drugiego • Co się robi przy sprzecznych celach? • Ustala się hierarchię celów • Szuka się strategii, która jest najbliżej osiągnięcia wszystkich celów (z uwzględnieniem priorytetów) • Metoda: Goal Programming (GP) • Utrzymanie decyzji wielokryterialnych w ramach programowania liniowego

25. Matematyczne techniki zarządzania - 265 Przykład 59. Klient biura maklerskiego chce zainwestować na giełdzie 80.000 zł przy następujących kryteriach: kryterium 1: ograniczenie rocznego ryzyka maksymalnie do 700 zł kryterium 2: zapewnienie rocznego zysku co najmniej 9.000 zł Ograniczamy rozważania do dwu firm STRATEGIE DOPUSZCZALNE 1. Kupić 3.200 akcji tańszej firmy F1 (3.200*25 = 80.000) wynik: ryzyko 1.600 zł (3.200*0,50), zysk 9600 zł (3.200*3) 2. Nic nie kupować wynik: ryzyko 0, zysk 0 3. Kupić 2.000 akcji F1 i 600 akcji F2 (2.000*25 + 600*50 = 80.000) wynik: ryzyko 1.150 zł (2.000*0,50+600*0,25) zysk 900 zł (2.000*3 + 600*5) CELE SĄ KONFLIKTOWE Ustalamy: Cel główny (priorytet nr 1) ZNALEŹĆ PORTFEL AKCJI O RYZYKU 700 ZŁ LUB NIŻSZYM

26. Matematyczne techniki zarządzania - 266 Cel drugorzędny (priorytet nr 2) ZNALEŹĆ PORTFEL AKCJI DAJĄCY ROCZNY ZYSK CO NAJMNIEJ 9.000 ZŁ z uwzględnieniem ograniczenia 80.000 zł Budowa modelu optymalizacyjnego x1 — liczba kupionych akcji firmy F1 x2— liczba kupionych akcji firmy F2 d1+, d1—— zmienne odchylenia od celu 1 d2+, d2—— zmienne odchylenia od celu 2 Warunek ograniczający:  1 = 4,1 zł Równanie celu 1: Równanie celu 2: Interpretacja zmiennych odchylenia d1+ = ilość zł, o jaką ryzyko dla wybranego portfela przekroczy 700 zł, i tak dalej Funkcjacelu w programowaniu wielokryterialnym (GP) polega na mini-malizacji odpowiednich zmiennych odchylenia:  kryterium 1: min d1+  kryterium 2: min d2— dlaczego?

27. Matematyczne techniki zarządzania - 267 • Sposób postępowania: • wpierw szukamy rozwiązania dającego jak najpełniejsze spełnienie priorytetu 1 (P1) • następnie modyfikujemy to rozwiązanie kierując się priorytetem 2 (P2) — ale tak, aby nie spowodować obniżenia stopnia osiągnięcia celu P1 • dla każdego priorytetu budujemy jedno zadanie programowania liniowego (PL), roz-poczynając od P1 • przy każdym kolejnym PL zmieniamy funkcję celu poprzedniego i dodajemy jedno og-raniczenie • zadanie z dwoma zmiennymi możemy rozwiązywać graficznie • PRIORYTET P1 funkcja celu ograniczenie funduszy cel 1 (ryzyko) cel 2 (zysk), usypiamy go nieujemność • Rozwiązanie będzie w I ćwiartce; szukamy punktów przecięcia się dwu warunków (fundusze i cel 1) z osiami x1 i x2: • fundusze: x1=0 x2=80.000/50=1.600 x2=0 x1=80.000/25=3.200 • cel 1: d1+=0 d1—=0 x1=0 x2=700/0,25=2.800 x2=0 x1=700/0,5=1.400

28. Matematyczne techniki zarządzania - 268 3000 2000 1000 0 • Portfele zapewniające realizację celu nr 1, czyli dające ryzyko nie przekra-czające 700 zł • Koniec rozwiązywania P1 • PRIORYTET P2 • czy wolno przekroczyć zysk 9.000 zł? TAK • czy wolno zejść z zyskiem poniżej 9.000 zł? NIE, ALE... • Będziemy minimalizować d2— pamięta-jąc, że P2 to cel drugorzędny! • Nie wolno więc pogorszyć rozwiązania uzyskanego dla P1! Cel 1 przy d1+=d1—=0 d1+>0 liczba akcji firmy F2 Fundusze d1+=0 0 1000 2000 3000 4000 liczba akcji firmy F1 funkcja celu ograniczenie funduszy cel 1 (ryzyko) cel 2 (zysk) stopień osiągnięcia celu 1 nieujemność

29. Matematyczne techniki zarządzania - 269 3000 2000 1000 0 • Elementy, które uległy zmianie (dwie różnice pomiędzy PL a GP): • inna funkcja celu • dodatkowe ograniczenie na P1 • Wprowadzamy na rysunek równanie celu 2: d2+ = 0 d2— = 0 • x1=0 x2=9.000/5 = 1.800 • x2=0 x1=9.000/3 = 3.000 liczba akcji firmy F2 Cel 1 przy d1+=d1—=0 d1+>0 Cel 2 przy d2+=d2—=0 d2+>0 Fundusze d1+=0 d2—>0 Jak widać, nie da się osiągnąć celu 2, musimy trochę z niego „opuścić” — rozwiązanie opty-malne dla dwu kryteriów leży w punkcie 0 1000 2000 3000 4000 liczba akcji firmy F1 • WNIOSKI • nie ma rozwiązania, które zapewnia osiągnięcie celu P1 i równocześnie celu P2 • najlepsze rozwiązanie to punkt x1 = 1200 x2 = 800; jest to takie rozwiązanie spośród spełniających cel P1, które jest najbliższe spełnienia celu P2 • roczny zysk dla tego rozwiązania: 3*800+5*1200 = 8.400 zł; stąd d2—=600 zł • OPTYMALNA DECYZJA • Należy kupić 800 akcji firmy F1 • 1200 akcji firmy F2 Wydamy na ten zakup: 800*25+1200*50 = 80.000 zł

30. Matematyczne techniki zarządzania - 270 Algorytm programowania GP 1. Zdefiniuj cele i ograniczenia 2. Określ hierarchię celów (priorytet dla każdego celu — P1, P2 itd.) 3. Zdefiniuj zmienne decyzyjne 4. Sformułuj warunki ograniczające w normalny sposób 5. Napisz równanie dla każdego celu, włączając w nie zmienne odchylenia di+ oraz di— 6. Napisz fukcję celu minimalizującą wybrane di 7. Rozwiązuj po kolei według priorytetu (według hierarchii) Przykład 60. Szef firmy ustala plan pracy na następny miesiąc dla swoich czterech akwizytorów, kierując się następującymi danymi:  czas poświęcany 1 klientowi: — starzy klienci: 2 godziny — nowi klienci: 3 godziny  czas pracy akwizytorów w ciągu miesiąca: — czas nominalny: 40 godzin/tydzień, co daje 4*4*40 = 640 godzin — godziny nadliczbowe: do 40 godzin, co daje górny limit 680 godzin — dolny limit czasu pracy wszystkich akwizytorów: 600 godzin 

31. Matematyczne techniki zarządzania - 271 •  miesięczny plan finansowy: • — akwizytorzy muszą przynieść firmie 70.000 zł przychodu • — 1 stary klient daje średnio 250 zł przychodu • — 1 nowy klient daje średnio 125 zł przychodu •  miesięczny plan rzeczowy: akwizytorzy mają odwiedzić: • — 200 starych klientów • — 120 nowych klientów • HIERARCHIA CELÓW • Podane zadania (cele) są niezgodne z sobą, gdyż np.: • przychody: 200*250 + 120*125 = 65.000 zł • czas pracy: 200*2 + 120*3 = 760 godzin • Musimy więc ustalić hierarchię (priorytety celów) • POZIOM I • Cel 1: łączny czas pracy nie może przekroczyć 680 godzin • Cel 2: łączny czas pracy nie może być mniejszy niż 600 godzin • POZIOM II • Cel 3: wygenerowany przychód musi wynosić co najmniej 70.000 zł FIRMA NIE MA PIENIĘDZY NA GODZINY NAD-LICZBOWE FIRMA PILNUJE SWOJEJ PŁYNNOŚCI FINANSOWEJ

32. Matematyczne techniki zarządzania - 272 POZIOM III Cel 4: akwizytorzy musząodwiedzić co najmniej 200 starych klientów Cel 5: akwizytorzy muszą odwiedzić co najmniej 120 nowych klientów ZMIENNE DECYZYJNE x1— liczba odwiedzonych starych klientów x2— liczba odwiedzonych nowych klientów OPTYMALNE ROZWIĄZANIE (komputerowo) FIRMA PILNUJE SWOJEJ CZĘŚCI RYNKU SPEŁNIENIE CELÓW Cel 1: 250*2 + 60*3 = 500 + 180 = 680 godzin  Cel 2:  Cel 3: 250*250 + 60*125 = 62.500 + 7.500 = 70.000 zł  Cel 4:  Cel 5: NIE SPEŁNIONY x1 = 250 x2 = 60 UFF... KONIEC MTZ!

33. Matematyczne techniki zarządzania - 273  APEL EGZAMINACYJNY Wszystkim dziękuję za cały rok współpracy! Paniom specjalne podziękowanie! Egzamin jest ustny — potrzebne są inne kwalifikacje! Pytania dostępne na dyskietce: 30 zestawów losowanych Terminy ... i ... czerwca 2000 r.; proszę przychodzić na wyznaczoną godzinę PRZYJEMNYCH WAKACJI I DUŻO PRZYGÓD NA WSZYSTKICH SZLAKACH POLSKI I CAŁEGO ŚWIATA DO ZOBACZENIA NA III ROKU WZ AGH ŻYCZĘ POŁA-MANIA NÓG! • Podstawowe umiejętności: • „wspomnienia statystyki” oraz „bryk z semestru letniego” • interpretacja wydruków: programowanie liniowe („stolarz” i dieta), zagadnienie transportowe, drzewko decyzyjne • PROSZĘ, BĄDŹCIE DOROŚLI: • przede wszystkim to ma być normalna rozmowa dwojga ludzi • sprawy specjalne proszę załatwiać wcześniej (a nie po fakcie) • nie ma egzaminu komisyjnego dla osób, które nie miały ochoty lub czasu przystąpić do normalnego egzaminu • Jak zdać egzamin, Universitas, Kraków 1998. PROSZĘ MI SIĘ KŁANIAĆ BEZINTE-RESOWNIE