1 / 22

Linear Programming

Linear Programming. Pengantar. Masalah programming berkaitan dengan penggunaan atau alokasi optimal dari sumber daya yang terbatas untuk memenuhi tujuan tertentu  ada kendala-kendala ( basic conditions ) dan tujuan ( objectives )

martena-richardson
Télécharger la présentation

Linear Programming

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Linear Programming

  2. Pengantar • Masalahprogramming berkaitandenganpenggunaanataualokasi optimal darisumberdaya yang terbatasuntukmemenuhitujuantertentu adakendala-kendala (basic conditions) dantujuan (objectives) • Suatusolusi yang memenuhikendalapermasalahandantujuan yang telahditentukandisebutdengansolusi optimal (optimal solution) • Di perkuliahaninikitahanyaakanmembahassebagiandarimasalahprogramming  linear programming models

  3. Model programming linier • Secaramatematis, hubunganantarvariabeldalam model programming linier dinyatakansebagaiberikut dimana a dan b adalahkonstantadan x adalah variable yang tidakdiketahui • Suatu model matematis linier yang lengkapakanterdiridarisekelompokpersamaan linier diatas yang merupakanrepresentasidarikendala-kendaladanpersamaantujuan (objective)

  4. Contoh model programming linier (1) • Sistempersamaan linier berikut memilikisolusiunik x1=1 dan x2=2. • Namunsistempersamaan linier memilikisolusi yang takterhinggabanyaknya (infinite number of solutions). Karenabisadituliskanbahwa Untuksetiapnilai x1 (atau x2) kitamemilikinilaisolusibagi x2 (atau x1) Restriksi non-negatifbisamengurangijumlahsolusi yang mungkin

  5. Contoh model programming linier (2) • Sistem seperti yang tadi memiliki jumlah variabel yang lebih banyak dibandingkan dengan jumlah persamaan  disebut dengan sistem yang underdetermined • Sistem yang memiliki jumlah variabel yang sama banyaknya dengan jumlah persamaan disebut dengan sistem yang determined

  6. Non-negative solution Mendapatkan sistem yang determined • Sistem yang determinedmungkindidapatkandenganmemaksasatuataulebihvariabelbernilai nol. Contohnya Memilikitigasolusidimanasalahsatuvariabeldipaksabernilainol

  7. Fungsi tujuan • Fungsitujuanbergunasebagaikriteriamemilihalternatifsolusi. Contohnya, andaikandalamsistemkitaterdahulu memilikifungsitujuanmemaksimumkan • Makasolusi non-negatif yang memenuhifungsitujuantersebutadalah

  8. Bentuk umum • Bentukumum model matematis programming linier Minimisasifungsitujuan Yang tundukkepadakendala (subject to conditions) dankendala non-negatif dimana m < n

  9. Contoh kasus: transportasi (1) • Satu perusahaan ingin mengirimkan produknya dari beberapa gu-dang ke beberapa toko retail. Setiap toko membutuhkan sejumlah produk, dan setiap gudang dapat mengirimkan juga sejumlah produk • Beberapa definisi: m = jumlah gudang n = jumlah toko ai = jumlah yang bisa dikirim dari gudang i bj = jumlah yang dibutuhkan oleh toko j xij = jumlah yang dikirim dari gudang i ke toko j • Asumsi: Σiai = Σj bj

  10. Contoh kasus: transportasi (2) • Nilai xij adalah yang akan dicari. Matriks transportasinya ialah • Oleh karena itu harus benar bahwa untuk gudang 1: x11 + x12 + x13 = a1 untuk gudang 2: x21 + x22 + x23 = a2 • Sedangkan untuk toko toko 1: x11 + x21 = b1 toko 2: x12 + x22 = b2 toko 3: x13 + x23 = b3

  11. Contoh kasus: transportasi (3) • Asumsikan pula perusahaan ingin meminimumkan biaya transportasi perusahaan mengetahui biaya transportasi antara satu gudang dan satu toko (cij) • Katakan bahwa biaya transportasi ditunjukkan oleh tabel berikut: 5 10 8 2 5

  12. Contoh kasus: transportasi (4) • Permasalahannyamenjadi Minimize x11+2x12+4x13+3x21+2x22+ x23 subject to x11+ x12+ x13 = 5 x21+ x22+ x23 = 10 x11 + x21 = 8 x12 + x22 = 5 x13 + x23 = 2 xij 0

  13. Contoh kasus: analisis aktifitas (1) • Suatu perusahaan memproduksi output. Perusahaan ini memiliki sejumlah input bahan baku, tenaga kerja dan peralatan. Perusahaan ini tahu berapa besar komoditi input i yang dibutuhkan untuk memproduksi output j. Perusahaan juga tahu berapa besar profit yang akan diperoleh untuk setiap unit produk j. • Jumlah input i yang digunakan harus lebih kecil dari (atau sama dengan) yang tersedia di perusahaan (bi). Notasikan jumlah input i yang digunakan untuk memproduksi output j dengan aij. Profit untuk setiap unit produk j dinotasikan dengan cj.

  14. Contoh kasus: analisis aktifitas (2) • Permasalahanperusahaan Maximize c1x1+ c2x2+…+ cnxn subject to a11x1 + a12x2+ …+ a1nxn b1 a21x1+ a22x2+ …+ a2nxn b2 …… am1x1+ am2x2+ …+ amnxnbm xj 0

  15. Properti solusi programming linier (1) • Permasalahan umum programming linier Minimize c1x1+ c2x2+…+ cnxn (1.1) subject to a11x1 + a12x2+ …+ a1nxn b1 ) a21x1+ a22x2+ …+ a2nxn b2 ) …… ) (1.2) am1x1+ am2x2+ …+ amnxn bm ) xj 0 (1.3)

  16. Properti solusi programming linier (2) • Definition 1 A feasible solution to the linear programming problem is a vector X=(x1, x2,…,xn ) that satisfies the (1.2) and (1.3) • Definition 2a A basic solution to the constraints (1.2) is a solution obtained by setting n-m variables equal to zero and solving for the remaining m variables, provided that the determinant of the coefficients of these m variables is nonzero. The m variables are called basic variables. • Definition 2b A basic feasible solution is a basic solution which also satisfies (1.3); that is, all basic variables are nonnegative.

  17. Properti solusi programming linier (3) • Definition 3 A nondegenerate basic feasible solution is a basic feasible solution with exactly m positive xi; that is, all basic variables are positive • Definition 4 A minimum feasible solution is a feasible solution which also minimizes (1.1) • Definition 5 An optimal basic feasible solution is a basic solution that satisfies conditions (1.1), (1.2) and (1.3)

  18. Properti solusi programming linier (4) • Theorem 1 The set of all feasible solutions to the linear-programming problem is a convex set • Theorem 2 The objective function (1.1) assumes its minimum at an extreme point of the convex set K generated by the set of feasible solutions to the problem. It if assumes its minimum at more than one extreme points, then it takes on the same value for every convex combination of those particular points • Theorem 3 If a set of k  m vectors P1, P2, …,Pk can be found that is linearly independent and such that x1P1+ x2P2+ …+ xkPk = P0 and all xi 0, then the point X=(x1, x2, …, xk, 0, …,0) is an extreme point of the convex set of feasible solutions.

  19. Properti solusi programming linier (5) • Theorem 4 If X=(x1, x2, …, xn) is an extreme point of K, then the vectors associated with positive xi form a linearly independent set. From this it follows that, at most m of the xi are positive. • Theorem 5 X=(x1, x2, …, xk) is an extreme point of K if and only if the positive xj are coefficients of linearly independent vectors Pj in j=1xjPj = P0.

  20. Perusahaan Cat “apik” memproduksi 2 jenis cat yaitu cat Eksteriordan cat Interior, duabahanmentah A dan B digunakanuntukmembuat cat-cat tersebut. Ketersediaanbahan A adalah 6 ton danketersediaanbahan B adalah 8 ton. Perbandinganbahan A dan B untukmembuat cat eksterioradalah 1 : 2 danperbandinganbahan A dan B untukmembuat cat interior adalah 2 : 1. Bilahargajualcat eksteriorRp. 65.000/klgdanhargajual cat interior Rp. 60.000/klg, tentukanformulasi LP nya !

  21. PT. XYZ memproduksiduajenismainan yang terbuatdarikayu, yang berupabonekadankeretaapi. BonekadijualdenganhargaRp. 27.000,-/lusin yang setiaplusinnyamemerlukanbiaya material sebesarRp. 10.000,- sertabiayatenagakerjasebesarRp. 14.000,-. Keretaapi yang dijualsehargaRp. 21.000,-/lusinmemerlukanbiaya material sebesarRp. 9.000,- danbiayatenagakerjaRp. 10.000,-. Untukmembuatbonekadankeretaapiinidiperlukanduakelompoktenagakerja, yaitutukangkayudantukang poles. Setiaplusinbonekamemerlukan 2 jam pemolesandan 1 jam pekerjaankayu, sedangkansetiaplusinkeretaapimemerlukan 1 jam pemolesandan 1 jam pekerjaankayu. Jam kerja yang tersedia per minggunya 100 jam untukpemolesandan 80 jam untukpekerjaankayu. Setiapminggunyapermintaanuntukkeretaapitidakterbatas, tetapiuntukbonekahanya 40 lusin yang terjual per minggunya. Bagaimanakahformulasidaripersoalandiatasuntukmengetahuiberapalusinjenismainanmasing-masing yang harusdibuatsetiapminggu agar diperolehkeuntungan yang maksimum ?

  22. PT. Auto Indah memproduksiduajenismobil, yaitumobil sedan dantruk. Untukdapatmeraihkonsumenberpenghasilantinggi, perusahaaninimemutuskanuntukmelakukanpromosidalamduamacamacara TV, yaitupadaacarahiburandanacaraolah raga. Promosiacarahiburanakandisaksikanoleh 7 jutapemirsawanitadan 2 jutapemirsapria. Promosipadaacaraolah raga akandisaksikanoleh 2 jutapemirsawanitadan 12 jutapemirsapria. BiayapromosipadaacarahiburanadalahRp. 5 jt/menit, sedangkanpadaacaraolahragabiayanyaadalahRp. 10 jt/menit. Jikaperusahaanmenginginkanpromosinyadisaksikansedikitnyaoleh 28 jutapemirsawanitadansedikitnyaoleh 24 jutapemirsapria, bagaimanakahstategipromosiitusebaiknya ?

More Related