Einführung in die Meteorologie - Teil II: Meteorologische Elemente -

1. Einführung in die Meteorologie - Teil II: Meteorologische Elemente - Clemens Simmer Meteorologisches Institut Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn Sommersemester 2006 Wintersemester 2006/2007

2. II Meteorologische Elemente II.1 Luftdruck und Luftdichte II.2 Windgeschwindigkeit II.3 Temperatur II.4 Feuchte II.5 Strahlung

3. II.3 Temperatur • Thermodynamische Systeme • thermodynamischeSysteme • 0-ter Hauptsatz der Thermodynamik • Zustandsgrößen, Arbeit • 1. und 2. Hauptsatz der Thermodynamik • Carnot-Kreislauf • Potentiale und spezifische Wärme • Messskalen 5. Vertikalbewegungen • Potentielle Temperatur 6. Fluss fühlbarer Wärme 7. Temperaturmessung

4. II.3.1 Thermodynamische Systeme Bei einem Luftvolumen interessiert uns meteorologisch nicht das einzelne Molekül und dessen Position und Bewegungszustand. Wir interessieren uns nur für deren relevante statistische Eigenschaften und die gegenseitigen Abhängigkeiten dieser statistischen Eigenschaften. Dies ist der Ansatz der statistischen Physik: Hier betrachten wird das Luftvolumen als ein sogenanntes thermodynamisches System. Thermodynamische Zustandsgrößen beschreiben ein thermodynamisches System z.B. p, T, V, n, innere Energie, …i.a. nicht unabhängig (siehe Gasgleichung) Gleichgewichtszustand p(t)=const, T(t)=const, …alle Zustandsgrößen sind zeitlich konstant Teilgleichgewichtszustand z.B. T(t)=const ↔ thermisches Gleichgewicht

5. Was ist Temperatur? • Thermodynamik – Makro-Sicht, Masse+Volumen • Temperatur ist eine Zustandsgröße der Luft • die den Wärmeenergieinhalt (innere Energie) beschreibt, • die wichtig ist für die Richtung des Wärmetransports • Statistische Physik – Mikro-Sicht, Moleküle • Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Moleküle (~v²) • Zeigt die Grenzen der Thermodynamik auf (Temperatur verliert ihren Sinn, wenn einzelne Moleküle betrachtet werden

6. 0-ter Hauptsatz der Thermodynamik Die Temperatur kennzeichnet denWärmezustand eines thermodynamischen Systems. Sind zwei Systeme miteinander in Kontakt, so ändert sich ihre Temperatur nur dann nicht, wenn diese gleich sind. Temperatur ist eine Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems Im thermodynamischen Gleichgewicht ändert sich die Temperatur nicht

7. p T(p,V) V Zustandsgrößen (a) Es sei der thermodynamische Zustand durch k Zustandsgrößen eindeutig bestimmt. Eine weitere Größe T ist dann ebenfalls eine Zustandsgröße, wenn gilt: Beispiel ideales Gas (k=2): T = T(p,V) = pV/(nR*) d.h. wenn bei einem beliebigen geschlossenen Weg des Systems im durch die k Zustandsgrößen aufgespannten Zustandsraum T wieder den gleichen Wert annimmt, oder wenn T eindeutig über die k Zustandsgrößen definiert ist.

8. p dp dV V Zustandsgrößen (b) Alternativ ist die Feststellung, dass T genau dann eine Zustandsgröße ist, wenn sie sich als totales Differenzial von Zustandsgrößen darstellen lässt, die ein thermodynamisches System vollständig beschreiben. Beispiel: T = f(p,V) → d s Achtung:Hier bezeichnen wir mit d nicht die Änderung eines mit dem Wind bewegten Volumens – eine Inkonsistenz im Bezeichnungssystem in der Meteorologie, leider. Auch der Nabla-Operator ist hier anders zu verstehen. Die Raumkoordinaten des Partikels sind ausgetauscht durch andere – allgemeinere – Koordinaten, die den Zustand eines Systems beschreiben.

9. (Ausdehnungs)Arbeit eines Gases → V + ΔV V (Kraft/Fläche) x Volumen p ΔV = = Kraft x Weg = A (Arbeit) Dehnt sich ein Luftvolumen aus und verschiebt dabei angrenzende Luftvolumina gegen den dort herrschenden Druck, so leistet die Luft Arbeit an der Umgebung. Infinitesimal, d.h. sehr kleine Volumenänderungen (ΔV→0): A→δA=pdV Achtung: Wir benutzen δA anstatt dA, weil „d“ vollständigen Differentialen, d.h. Zustandsgrößen wie der Temperatur vorbehalten ist

10. p 1 2 p2 p1 4 3 V V1 V2 Übung zu II.3.1 1. Vollziehe mit unterem Diagramm das geschlossene Linienintegral der Ausdehnungsarbeit eines Gases nach: 2. Schreibe mit Hilfe der Gasgleichung den Druck als vollständiges Differential von T und ρ; also dp=xdT+ydρ (bestimme x und y).

11. II.3.2 Erster und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik • Ausdehnungsarbeit und Temperatur • 1. Hauptsatz der Thermodynamik • adiabatische Zustandsänderungen • Carnot-Kreisprozess • Entropie • 2. Hauptsatz der Thermodynamik

12. Quelle der Ausdehnungsarbeit und Auswirkung auf die Temperatur Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit auch die Temperatur im Volumen. Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der Luftmoleküle nach rechts, so haben die reflektierten Luftmoleküle eine geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist nimmt die Temperatur im Volumen ab. Ausdehnungeines Gases gegen einen äußeren Druck führt zur Abnahme der Temperatur des Gases. Die Temperatur hängt mit der inneren Energie des Gases zusammen. Es gibt also eine Umwandlung zwischen innerer Energie und Ausdehnungsarbeit (→ Erster Hauptsatz der Wärmelehre)

13. 1. Hauptsatz der Thermodynamik • Führt man einem idealen Gas die Wärmemenge ΔQ zu, so kann das Gas diese in (Ausdehnungs-)Arbeit ΔA und innere Energie ΔU umwandeln: ΔQ = ΔA + ΔU • Die Ausdehnungsarbeit eines idealen Gases ist gegeben durch ΔA=p ΔV • Die innere Energie eines idealen Gases ist nur von der Temperatur abhängig U=U(T) • Wir führen spezifische Größen ein, also Q→q=Q/m, A→a=A/m, U→u=U/m mit m Masse

14. Bezeichnungen • Eine Zustandsänderung eines thermodynamischen Systems wird als adiabatisch bezeichnet, wenn keine Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also δQ=0 oder δq=0 . • Erfolgt die Zustandsänderung ohne diese Einschränkung, so spricht man von diabatischen Zustandsänderungen.

15. Beispiel Carnot-Kreislauf (a) Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

16. Beispiel Carnot-Kreislauf (b) Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

17. Beispiel Carnot-Kreislauf (c) Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (kein Wärmeübergänge)

18. Beispiel Carnot-Kreislauf (d) Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

19. Carnot-Kreislauf Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

20. Carnot-Kreislauf Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

21. Carnot-Kreislauf Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

22. Carnot-Kreislauf Isothermen (T=const) 1 p 2 4 3 V Adiabaten (keine Wärmeübergänge)

23. Übungen zu II.3.2 • Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf (Folgerung 1) insgesamt Wärme zugefügt wird. • Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf das Linienintegral über δQ/T bei irreversiblen Prozessen nicht verschwindet (Folgerung 3) • Versuche eine qualitative nur schematische Darstellung einer idealisierten Hadley-Zirkulation im p-V-Diagramm. Dabei fließt Luft am Boden von den Hochdruckgebieten der Subtropen zu der tropischen Tiefdruckrinne und erwärmt sich dabei durch Wärmeaufnahme vom Untergrund leicht. Dort steigt sie adiabatisch auf und fließt dann zurück unter leichter Druckabnahme und Temperaturabnahme (durch Abstrahlung in das Weltall) zu den Subtropen, wo sie wieder adiabatisch zum Boden sinkt.

24. II.3.3 Thermodynamische Potentiale und spezifische Wärme • Bislang hatten wir den Zustand eines thermodynamischen Systems immer im p-V-Diagramm dargestellt (siehe Carnot-Kreisprozess). • Im p-V- Diagramm können wir über die ideale Gasgleichung die Temperatur T eines idealen Gases eindeutig darstellen (Isothermen im p-V-Diagramm). • Der 1. Hauptsatz als totales Differential du=Tds-pdα gibt uns eine andere Möglichkeit der 2-dimensionalen Zustandsdarstellung eines thermodynamischen Systems, nämlich die innere Energie im s-α-Raum. • Eine energetische Zustandsdarstellung (u hat die Einheit einer spezifischen Energie, J/kg) wird bevorzugt, weil dann der Satz der Energieerhaltung unmittelbar anwendbar ist (z.B. Änderungen müssen durch Zu-/Abfuhr anderer Energien bewirkt werden. • Energetische Zustandsvariable werden auch als thermodynamische Potentiale bezeichnet.

25. Weitere thermodynamische Potentiale Die innere Energie ist offensichtlich eine adäquate Beschreibung eines thermodynamischen Systems, wenn man seinen Zustand in Abhängigkeit von der Entropie s und seinem spezifisches Volumen α betrachtet. Oft sind andere Darstellungen zweckmäßig, z.B. im T-α-Raum; dies erhält man durch Anwendung der sog. Legendre-Transformation. Damit haben wir drei weiter thermodynamische Potentiale, die zur Behandlung thermodynamischer Probleme verwendet werden können. Wenn wir z.B. den Sättigungsdampfdruck des Wasserdampfes, der nur von der Temperatur abhängt behandeln (e*=e*(T)), werden wir die freie Enthapie verwenden.

26. Joule-Kelvin-Prozess Vakuum T bleibt konstant Spezifische Wärmen c ≡ Wärmeenergiezufuhr pro Massen- und Temperatureinheit, [c]=J/(kg K) i.a. vom Weg, z.B. bei Gasen von Annahmen über p und αabhängig

27. Beziehung zwischen cv und cp

28. Freiheitsgrade = unabhängige Bewegungsmöglichkeiten eines Teilchens, mit denen es innere Energie speichern kann Jedes Molekül besitzt drei Translationsfreiheitsgrade entsprechend den drei Raumrichtungen, in die es sich bewegen kann. Zweiatomige Moleküle besitzen zusätzlich zwei Rotationsfreiheitsgrade mit Achsen senkrecht zur Verbindungsachse Dreiatomige nichtlineare Moleküle besitzen drei Rotationsfreiheitsgrade Hinzu kommen Vibrationsfreiheitsgrade; einer beim zweiatomigen Molekül, drei bei einem dreiatomigen Molekül. Diese sind aber bei den Atmosphärentemperaturen wenig „aktiviert“. Da Luft i. W. aus 2-atomigen Molekülen besteht hat sie 5 Freiheitsgrade.

29. Beweis von

30. Übungen zu II.3.3 • Leite die Formulierungen des 1. Hauptsatzes für Enthalpie und freie Enthalpie ab. • Bestimme cp und cv für Luft unter der Annahme, dass diese nur aus Wasserdampf besteht.

31. II.3.4 Definition der Temperatur und ihrer Maßskalen • 0-ter Hauptsatz • Gasthermometer (über Gasgleichung) • Gaskinetische Deutung • 2. Hauptsatz der Thermodynamik • Empirische Temperaturskalen (Celsius, Kelvin etc.)

32. 0-ter Hauptsatz Temperatur ist eine Zustandsgröße. + Im thermischen Gleichgewicht haben alle Körper die gleiche Temperatur. Damit kann die Temperaturmessung erfolgen, in dem man einen Probekörper, dessen Temperatur man irgendwie messen kann, in den zu messenden Körper, z.B. die Luft, einbringen und so lange wartet, bis sich die Temperatur nicht mehr ändert. TP TK

33. T=T0 T0 → T0+ΔT Prinzip des Gasthermometers → Rechten Schenkel heben bis linker Flüssigkeitsspiegel wieder auf ursprünglicher Höhe ist. Dann ist V=V0. Dann kann die Druckänderung (p) über die Höhe der Säule bestimmt werden und damit T. → Rechten Schenkel senken bis beide Flüssigkeitsspiegel auf gleicher Ebene sind. Dann ist Innendruck gleich dem äußerem Luftdruck. Dann kann die Volumenänderung (V) bestimmt werden und damit T.

34. Gaskinetische Deutung der Temperatur 2. Hauptsatz – Carnot-Kreisprozess Empirische Temperaturskalen

35. Übungen zu II.3.4 • Um wieviel % seines Volumens dehnt sich ein Luftvolumen aus, wenn es isobar von 0°C auf 27°C erwärmt wird? • Wie schnell ist im Mittel ein Sauerstoffmolekül, wenn die Lufttemperatur 20°C beträgt?

36. II.3.5 Temperaturänderung der Luft bei Vertikalbewegungen • Adiabatische Form des 1. HS der Thermodynamik • Poisson-Gleichung • Potentielle Temperatur • Temperaturprofil in der turbulenten Grenzschicht • Adiabatischer Temperaturgradient • Energiebetrachtung beim Aufsteigen • Potentielle Temperatur und Entropie

37. Tu(z) aktuelles Temperaturprofil Problemstellung • Wir betrachten die Temperaturänderung eines Luftvolumens, das wir in der Atmosphäre (Umgebungu) nach oben oder unten verschieben. • Annahmen: • „trocken“: keine Kondensation von Wasserdampf • adiabatisch: keine Wärmeleitung, Strahlungserwärmung oder Strahlungsabkühlung, oder Diffusion, also δq=0 • Instantaner Druckausgleich mit der Umgebung, p=pu • Beim Aufsteigen nimmt nach der statischen Grundgleichung dpu=-ρugdz der Druck in der Umgebung (und im Luftvolumen p) ab. • Nimmt dabei die Dichte ab (und damit α zu), so leistet das Gas Ausdehnungsarbeit auf Kosten der inneren Energie u: diese (und mit u=cvT auch die Temperatur T) nehmen ab.

38. 0 -p 500 1000 T Trocken- Adiabaten 0 T -pk 300 1000 p zunächst: Temperaturänderung mit dem Druck- Poisson-Gleichung - Stüwe- Diagramm T

39. -p 0 A pA pB B p0 TA θA TB θB T Definition der Potentiellen Temperatur θ = Temperatur, die ein Luftvolumen annimmt, wenn es adiabatisch auf einen Referenzdruck po (meist 1000 hPa) gebracht wird. Die potentielle Temperatur ist eine Konstante (konservative Größe) bei adiabatischen Bewegungen eines Luftvolumens.

40. z T Tu z T T Adiabatischer Temperaturgradient

41. z z T0 T T0 T Temperaturprofil bei Durchmischung a) Atmosphäre sei in Ruhe. Sie werde vom Boden (bei T0) durch Wärmeleitung etc. angeheizt. Strahlungsprozesse in der Atmosphäre seien vernachlässigbar. b) Einsetzen von Turbulenz und damit vertikale Durchmischung, die innerhalb der Atmosphäre adiabatisch erfolgen soll. T(z)=T0=const im thermischen Gleichgewicht Adiabatisches Profil stellt sich ein mit T0 als Temperatur in Bodennähe.

42. Energiebetrachtungen beim Aufsteigen Beim adiabatischen Aufstieg/Abstieg wird Enthalpie in potentielle Energie umgewandelt und umgekehrt. Aus der 1. Form des 1. HS mit der inneren Energie u folgte, dass bei adiabatischen Bewegungen innere Energie in Ausdehnungsarbeit umgewandelt wird bzw. umgekehrt. cpθ - und damit auch die potentielle Temperaturθ - sind Konstanten (konservative Größen) bei adiabatischen Umlagerungen.

43. Entropie s und potentielle Temperatur θ Wärmezu und –abnahmen sind in etwa proportional zur Änderung der potentiellen Temperatur – und nicht der thermodynamischen Temperatur!!!

44. Übungen zu II.3.5 • Zeige dass bei adiabtischen Zustandsänderungen gilt dT/dp|p=0 =∞. • Ein Teilchen habe bei 500 hPa die Temperatur – 20°C. Welche Temperatur hätte es bei adiabatischer Bewegung auf 1000 hPa? • Wie ändert sich in einer isotherm geschichteten Atmosphäre die potentielle Temperatur mit der Höhe? • In 800 hPa habe ein Luftvolumen von 1 kg Masse die Temperatur 0°C. Es sinke adiabatisch auf 1000 hPa ab. Dort erhöhe sich danach seine Temperatur isobar um 5 K. Welche Temperatur und welche potentielle Temperatur hat dann das Teilchen? Um wie viel haben sich seine vier massenspezifischen thermodynamischen Potentiale geändert?

45. II.3.6 Fluss fühlbarer Wärme • Die Atmosphäre wird wesentlich durch ihren Kontakt mit der Erdoberfläche erwärmt. • Direkt an der Erdoberfläche (wenige mm) geschieht das durch Wärmediffusion. Diese lässt sich wegen der Inhomogenität des Untergrundes nicht messen. • Oberhalb dieser sehr dünnen Schicht erfolgt der Wärmetransport i.w. durch Turbulenz; dieser Transport lässt sich, wie im letzten Kapitel diskutiert, durch hochfrequente Messung von Temperatur und Vertikalgeschwindigkeit direkt messen (oder aus dem Temperatur- und Windprofil abschätzen). • w‘T‘ ist nicht die geeignete Formulierung für den Wärmetransport, da sich T durch adiabatische Druckänderung mit der Höhe verändert, ohne dass Wärme transportiert wird. • w‘θ‘ ist die geeignete Formulierung, da die potentielle Temperatur eine Konstante bei adiabtischen Abläufen ist.

46. Wärmehaushaltsgleichung- Vereinfachung durch potentielle Temperatur -

47. Gemittelte Haushaltsgleichung (a)

48. Gemittelte Haushaltsgleichung (b)

49. z z z A T,θ T,θ T,θ z B Turbulente Wärmeflüsse und vertikales Temperaturprofil :

50. Übungen zu II.3.6 • Erläutere warum bei der Bestimmung des turbulenten Wärmeflusses (Fluss fühlbarer Wärme) H die potentielle Temperatur und nicht die Lufttemperatur verwendet werden muss.