Wymiana masy, ciepła i pędu

1. Fizyka morza – wykład 9 Wymiana masy, ciepła i pędu A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

2. Nawet w najczystszych wodach oceanicznych do głębokości 1 m pochłonięte zostaje ok. 57%, a do 10 m ok. 80% całej energii promieniowania słonecznego, które przeszło przez powierzchnię morza • Ponieważ, nie obserwuje się bardzo gwałtownego spadku temperatury na granicy tej cienkiej warstwy powierzchniowej i warstw niżej położonych stąd wydaje się jasne, że energia słoneczna musi być przenoszona dalej w inny sposób • Ten inny sposób to mechaniczne procesy, które nazywamy wymianą molekularną i/lub wymianą turbulentną. A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

3. Wymiana molekularna • W wyniku chaotycznego ruchu cieplnego cząsteczek następuje ich powolne przemieszczanie się w ośrodku. • Ruch ten ma charakter całkowicie losowy jedynie w przypadku kiedy ośrodek jest idealnie jednorodny. Jeśli warunek ten nie jest zachowany wtedy ujawnia się tendencja polegająca na dążeniu do niwelowania różnic. • I tak wypadkowy ruch cząsteczek w wodzie o zróżnicowanym stężeniu soli będzie polegał na przenikaniu cząstek z obszarów o większym ich stężeniu do obszarów o mniejszym stężeniu. Zjawisko to nazywamy dyfuzją molekularną. W jej efekcie część masy zostaje przeniesiona pomiędzy obszarami ośrodka o różnym stężeniu jakiegoś z jego składników. A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

4. Wymiana molekularna • W przypadku kiedy niejednorodność ośrodka polega na zróżnicowaniu termicznym, wtedy cząsteczki o większej energii (poruszające się szybciej), na skutek zderzeń z cząsteczkami wolniejszymi przekazują im część swojej energii. Prowadzi to do stanu kiedy prędkość ruchu wszystkich cząsteczek jest podobna. Proces wyrównywania temperatury w ten sposób nazywa się molekularnym przewodnictwem ciepła. • Gdy sąsiadujące ze sobą warstwy cieczy przesuwają się względem siebie, tzn. oprócz chaotycznego ruchu cieplnego występuje wypadkowy ruch cząstek w jednym kierunku, to na granicy takich warstw cząstki poruszające się szybciej przekazują na skutek zderzeń część swego pędu cząstkom poruszającym się wolniej. Powstająca w wyniku tego siła nazywa się siłą tarcia. Działa ona stycznie do kierunku ruchu warstw. W wyniku jej działania następuje wymiana pędu pomiędzy warstwami, a cały proces określany jest mianem lepkości molekularnej. A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

5. Wymiana molekularna • Bezpośrednia wymiana masy, ciepła i pędu przez pojedyncze cząsteczki następuje na odległości średniej drogi swobodnej cząsteczek w ich ruchu cieplnym. • Na drodze badań empirycznych stwierdzono, że w procesie wymiany molekularnej strumienie masy, ciepła i pędu skierowane są w kierunkach odpowiednich gradientów i proporcjonalne do nich. • Jeśli przyjmiemy jednowymiarowy model ośrodka np. poprzez założenie o jego poziomym uwarstwieniu, to intensywność wymiany molekularnej możemy scharakteryzować poprzez gęstości powierzchniowe odpowiednich strumieni A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

6. Molekularna dyfuzja I prawo Ficka qm – gęstość powierzchniowa strumienia masy [kg·s-1m-2], C – stężenie substancji [kg·m-3], D – współczynnik molekularnej dyfuzji; wymiar: [m2s-1] jeśli stężenie dane jest w kg na m3 roztworu lub [kg·m-1s-1] jeśli stężenie jest bezwymiarowym stosunkiem mas (np. zasolenie) A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

7. Molekularne przewodnictwo ciepła Prawo Fouriera qQ – gęstość powierzchniowa strumienia ciepła [W·m-2], γ – współczynnik molekularnego przewodnictwa ciepła [W·m-1K-1] A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

8. Molekularne przewodnictwo pędu (lepkość) Prawo Newtona qv – gęstość powierzchniowa strumienia pędu [N·m-2], v – prędkość przepływu w kierunku x, η – współczynnik molekularnej lepkości dynamicznej [N·s·m-2]≡[Pa·s] A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

9. Współczynnik D γ η T ➚ ➚ ➚ ➘ S ➚ ➘ ➚ p ➚ ➚ ↕ • Współczynniki molekularnej dyfuzji, przewodnictwa cieplnego i lepkości są właściwościami charakterystycznymi dla wody morskiej i zależą jedynie od jej zasolenia, temperatury i ciśnienia. • Ta zależność pozostaje w ścisłym związku ze znaną nam strukturą cząsteczkową wody i jest równie jak ona skomplikowana. A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

10. Równanie dyfuzji • W celu sformułowania równania dyfuzji obok I prawa Ficka wykorzystamy prawo zachowania masy. Rozpoczniemy od zapisania bilansu masy w czasie przepływu przez określoną przestrzeń zakładając, że ośrodek jest poziomo uwarstwiony. Gradient stężenia dyfundującej substancji jest w takim przypadku zgodny z kierunkiem osi z. • Masa substancji jaka w czasie dt przedyfunduje przez powierzchnię dxdy równa jest iloczynowi gęstości jej strumienia przez tę powierzchnię i czas. W tym samym czasie przez drugą ściankę elementu objętości (rys.) też przedyfunduje jakaś masa tej substancji. Zgodnie z prawem zachowania masy różnica masy jaka przedyfundowała przez górną i dolną ściankę elementu objętości w tym samym czasie musi być równa przyrostowi masy dm wewnątrz sześcianu. A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

11. Równanie dyfuzji Równanie bilansu będzie miało postać: tzn., że przyrost masy dm w jednostce czasu jest równy: Zastępując masę przez stężenie substancji zgodnie z relacją: m = C·V = C·dxdydz i wykorzystując I prawo Ficka otrzymamy równanie dyfuzji w ośrodku poziomo uwarstwionym (tzn. ), przy braku źródeł wewnętrznych substancji dyfundującej:

12. Równanie dyfuzji W przypadku ogólnym tzn. rezygnując z założenia o poziomym uwarstwieniu ośrodka, możemy wektor gęstości strumienia masy rozłożyć na trzy składowe (w kierunku x, y i z) definiując odpowiednie współczynniki molekularnej dyfuzji Dx, Dy i Dz. Wyrażenie na bilans masy wewnątrz sześcianu w jednostce czasu nieco się skomplikuje do: a całe równanie dyfuzji do: Założono tutaj, że ośrodek jest izotropowy, tzn. Dx=Dy=Dz=D A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

13. Równanie dyfuzji Jeśli różnice stężenia i temperatury w rozpatrywanej przestrzeni są niewielkie to można przyjąć, że D(x,y,z)=D=const i ostatnie równanie przyjmie znaną postać II prawa Ficka: gdzie  = 2 jest operatorem Laplace'a (2/x2 + 2/y2 + 2/z2). Otrzymane równanie jest słuszne jeśli w badanej objętości nie ma źródeł substancji dyfundującej oraz w ośrodku nie występują żadne przepływy wymuszone siłami zewnętrznymi albo innymi słowy nie ma adwekcji dyfundującej masy. A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

14. Równanie dyfuzji W przypadku adwekcji, po lewej stronie równania pojawi się składnik opisujący zmianę stężenia substancji dyfundującej na skutek przepływu charakteryzowanego przez wektor prędkości v (lub jego trzy składowe u, v i w). Źródła wewnętrzne symbolicznie dodamy po prawej stronie i ostatecznie otrzymamy równanie dyfuzji z adwekcją w postaci: które możemy też zapisać w skróconej postaci: A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

15. Równanie wymiany ciepła • Aby doprowadzić do sformułowania równania przewodnictwa cieplnego można przeprowadzić rozumowanie analogiczne do przedstawionego w przypadku równania molekularnej dyfuzji. • Masę z równania dyfuzji zastępujemy ilością ciepła Q, stężenie substancji dyfundującej temperaturą T, I prawo Ficka prawem Fouriera dla przewodnictwa ciepła. • Po dokonaniu tych podmian sumę różnic przepływu ciepła przez wszystkie trzy pary ścianek czyli przyrost ciepła wewnątrz sześcianu (rys. 3) na jednostkę czasu albo innymi słowy bilans ciepła wewnątrz sześcianu można zapisać: A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

16. Równanie wymiany ciepła • Ignorując możliwe przemiany fazowe (tzn. wystąpienie zjawisk parowania, zamarzania lub innych zmian strukturalnych w obrębie sześcianu) możemy powiązać ilość ciepła potrzebną do zmiany temperatury wody w sześcianie o ΔT (przy założeniu stałości ciśnienia i zasolenia) z ciepłem właściwym gęstością ośrodka: Q = Cp mT =  Cp T dV • Połączenie obu równań i zastosowanie prawa Fouriera da nam równanie przewodnictwa cieplnego w ośrodku izotropowym: A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

17. Równanie wymiany ciepła Kontynuując analogie z równaniem molekularnej dyfuzji założymy teraz, że przestrzenne różnice temperatury, zasolenia i ciśnienia są małe tzn. możemy przyjąć, że γ(x,y,z)=γ=const. Otrzymane równanie przyjmie wtedy postać: lub częściej spotykaną: A. Krężel, fizyka morza - wykład 9

18. Równanie wymiany ciepła Uwzględnienie procesów adwekcji i wewnętrznych źródeł ciepła, podobnie jak w równaniu dyfuzji, prowadzi do ostatecznej postaci ogólnego równania przewodnictwa ciepła: W tym przypadku energia promieniowania słonecznego pochłaniana przez elementy objętości ośrodka A. Krężel, fizyka morza - wykład 9