Elementos de Análise Numérica

1. Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior

2. Solução de problemas de Engenharia • Sem computador • Com computador 11:45

3. Tópicos • Interpolação • Ajuste de equações • Integração numérica • Derivadas numéricas • Raízes de equações • Sistemas de equações lineares • Sistemas de equações não lineares

4. Aplicações em Recursos Hídricos • Raizes da equação de manning • Canal prismático • Canal com seção dada em tabela • Equação de remanso • Solução da equação para encontrar dx ideal para muskingun cunge (propagação de vazões) • Solução da propagação de reservatório usando Newton

5. Interpolação numérica Interpolação linear • A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta volume x cota

6. Interpolação numérica Interpolação quadrática • Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos volume x cota

7. Interpolação numérica Splines • Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1. • Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas (polinômios de primeiro grau) • Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada, é necessário utilizar parábolas. • Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras derivadas, é necessário usar splines cúbicos.

8. Interpolação numérica Splines • Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos para suavizar linhas de gráficos.

9. Interpolação numérica Splines • Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.

10. Interpolação numérica Splines • Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.

11. Interpolação numérica Rotinas para interpolação • Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines. • Calculadora, Matlab, Excel, etc…

12. Ajuste de equações • Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam razoavelmente um conjunto de dados. • Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário respeitar todos os pontos. • A idéia é minimizar os erros com uma função simples.

13. Ajuste de equações Ajuste – exemplo em simulação • Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA • Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados.

14. Ajuste de equações Ajuste – exemplo em simulação • Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.

15. Introdução – Integral Numérica • Em determinadas situações integrais ou derivadas são difíceis ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. • Forma de obtenção de uma aproximação para a integral ou diferencial de f(x)  Métodos Numéricos.

16. Integração numérica • Os problemas de integração numérica surgem, por exemplo, quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y. • Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida.

17. Integração numérica

18. Integração numérica • Idéia básica da integração numérica  substituição da função f(x) por uma função que aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].

19. Integração numérica • Substituição da função por uma função. • Polinômio de Newton:

20. Integração numérica • O uso desta técnica decorre do fato de: • por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio; • a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.

21. Métodos de integração numérica mais utilizados • Fórmulas de Newton-Cotes. • Regra do Trapézio simples, x0=a  e xn=b; • Regra do Trapézio composta, x0=a  e xn=b; • Regra de Simpson , x0=a  e xn=b.

22. Regra do trapézio simples f(x) f(x1) f(x0) x0 x1 x Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio

23. Regra do trapézio simples • Intervalo [a, b] relativamente pequeno. • aproximação do valor do integral é aceitável. • Intervalo [a, b] de grande amplitude. • aproximação inadequada; • pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear.

24. Regra do trapézio composta • Intervalo [a, b] de grande amplitude. • Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.

25. Regra do trapézio composta • Fórmula: • Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim:

26. x y=(1+x²)-1/2 0.0 1,00000 0.5 0,89445 1.0 0,70711 1.5 0,55475 2.0 0,44722 2.5 0,37138 3.0 0,31623 3.5 0,27473 4.0 0,24254 Regra do trapézio composta Exemplo: Estimar o valor de • Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 e x1=4,0) I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508 • Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1 =2,0,x2 =4,0) I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) = 2,1369 • Regra do Trapézio Composta: 9 pontos • I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2,0936 A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947.

27. Regra do trapézio composta

28. Regra do trapézio - Erro • Erro: E = I – T • T - valor da integral numérica. • I - valor da integral obtida pela integração de f(x). ERRO! f(x) f(x1) f(x0) x0 x1 x

29. Regra do trapézio - Erro Erro da Regra do Trapézio Simples Erro da Regra do Trapézio Composta

30. Regra do trapézio - Erro • Exemplo: Seja, calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.

31. Regra do trapézio - Erro Estimativa do erro cometido:

32. Regra de Simpson f(x) f(x1) f(x2) f(x0) x0 x1 x2 x Aproxima a área sob a curva pela área de um polinômio de grau dois.

33. Regra de Simpson • Fórmula: • Considerando n sub-intervalos (n deve ser um número par):

34. Regra de Simpson

35. x y=(1+x)-1 0.0 1,00000 1/6 6/7 2/6 3/4 3/6 2/3 4/6 3/5 5/6 6/11 1 1/2 Regra de Simpson Exemplo: Estimar o valor de • Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos: h=1/6 • Regra de simpson S =1/18[1+4(6/7+2/3+6/11)+2(3/4+3/5)+1/2] = 0,69317 • Valor da integralI = ln(2) = 0,69315

36. Regra de Simpson- Erro Erro da Regra de Simpson

37. Diferenciação numérica • Idéia básica da diferenciação numérica  Aproximar a derivada real em um ponto utilizando diferenciais pequenos. • Utilizando principalmente na solução de equações diferenciais

38. Diferenciação numérica f x x0 x1

39. Diferenciação numéricaErros de truncamento • As derivadas numéricas são apenas uma aproximação razoável das derivadas analíticas. • É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor

40. Séries de Taylor • A série de Taylor permite estimar o valor de uma função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo. • Onde h é a diferença entre xi+1 e xi. • A série de Taylor é infinita. • A aproximação da derivada numérica é finita

41. Diferenciação numérica Séries de Taylor • O resto O resto é dado por Onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 e é um valor entre xi+1 e xi

42. Séries de Taylor e derivadas A derivada numérica tem erro de truncamento dado por Rn/h

43. Séries de Taylor e derivadas O valor do erro R1/h é da ordem de h, por isso pode-se expressar Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menor o passo (incremento), menor o erro da aproximação.

44. Erros de arredondamento Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes para representar os números reais.

45. Erros – compromisso entre truncamento e arredondamento total erro truncamento arredondamento Incremento

46. Tipos de derivadas numéricas Progressiva forward Regressiva backward Centrada Centered Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.

47. Tipos de derivadas numéricas Derivada segunda:

48. Tipos de derivadas numéricas progressiva analítica f regressiva x x0 x1 x2 centrada

49. Tipos de derivadas numéricas

50. Exemplo derivada numérica • A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por: • onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal