Soundness Amplification
disclaimer נדבר היום על הסתברויות ומשחקים אקראיים,אבל אין במצגת היום אלגוריתמים אקראיים.
הטלת מטבע "בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות את תוצאת הטלת המטבע. אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של 1/2 להצליח. כדי להבדיל בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד לחזות את הטלת המטבע לבין דרדס שחצן נבצע l הטלות. הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא (1/2)l (אקספוננציאלי* קטן...) אמרתי לך שיצא עץ!
קוביה "בר-מוח" טוען שהוא יכול לחזות איזה מספר לא יצא בקוביה אחרי הטלה אחת, יש לו סיכוי של 5/6 להצליח. כדי להבדיל בין קוסם אמיתי שמצליח תמיד לבין דרדס שחצן נבצע l הטלות. הסיכוי של "בר-מוח" להצליח בכולן הוא (5/6)l (שוב - אקספוננציאלי* קטן...) מתחילים עם soundness "חלש" סמוך עלי – לא יצא 6!
MaxCut נתון שבגרף G קיים חתך בגודל מקסימלי m. משפט: 16/17-קירוב ל-MaxCut הוא NP-קשה. לכן זה יהיה "מרשים" אם רפיקי מצא חתך עם יותר מ-(16/17)m קשתות אבל רפיקי לא מסכים לגלות לנו את החתך שהוא מצא... (תירוצים?)
MaxCut רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל (כמעט)m בגרף בלי לגלות לנו את החתך: רפיקי קובע חתך בגרף מכסה את הגרף G
MaxCut רפיקי רוצה להוכיח לנו שהוא מצא חתך בגודל (כמעט)m בגרף בלי לגלות לנו את החתך: רפיקי קובע חתך בגרף מכסה את הגרף אנחנו בוחרים קשת וחושפיםאת 2 הצמתים מה הסיכוי של רפיקי לנצח בלילמצוא חתך מקסימלי? כדי להבדיל בין חתך באמת גדול לסתם חתך אקראי אנחנו צריכיםלחזור עלהמשחק הרבה פעמים... כל קוף יכול לנצח בהסתברות לפחות 1/2... G
MaxCut חוזרים על המשחק l פעמים: מה הסיכוי של רפיקי לנצח ב-0.99mמהמשחקים, בלי למצוא חתך יותר גדול מ-(16/17)m? צ'רנוף: Pr[# wins > m*l] = Pr[# wins > 17/16 * (16/17)m*l] ≤ Pr[# wins > 17/16 * E(# wins)] < CE(# wins) < Cl/2 G
Sequential Amplification אולי אפשרלעשות משהויותר יעיל? שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
Parallel Amplification היינו רוצים: למשל: הרבה שאלות הרבה תשובות איך היית צובע את u1,u3,u8? (0,1,0)
משחק הטלפתיה אני שולח לאליס ובוב x ו-y אקראיים כך ש- Pr(xy = 11) = Pr(xy = 01) = Pr(xy = 10) = 1/3 לאליס ובוב אסור לדבר ביניהם אליס ובוב "מנצחים" אמ"ם:x*a ≠ y*b x a y b
משחק הטלפתיה Pr(xy = 11) = Pr(xy = 01) = Pr(xy = 10) = 1/3 אליס ובוב "מנצחים" <-> x*a ≠ y*b טענה: Pr(Alice & Bob win) = 2/3 "הוכחה" x a y b
משחק הטלפתיה מה קורה אם אנחנו משחקים את המשחק פעמיים? Pr(A & B win twice) = (2/3)2= 4/9 מה קורה אם משחקים משחק אחד כפול? x1, x2 a1, a2 y1, y2 b1, b2
טלפתיה - דוגמא נגדית? מה קורה אם משחקים משחק אחד כפול? טענה: אם אליס ובוב משחקים(a1, a2) = (x2, x1) ו-(b1, b2) = (y2, y1),אזי יש הסתברות של 2/3 לנצח במשחק כפול "הוכחה" אליס ובוב מנצחים במשחק "הראשון" אמ"ם הם מנצחים במשחק "השני"
טלפתיה - דוגמא נגדית? משחק הטלפתיה הוא דוגמא לבעיות שיכולות לקרות כשעושים amplification ל-CSGE לכן, נדבר רק על amplification ל-CSGV וגם את זה נעשה בזהירות... :-)
Amplification for CSGV הגדרה פורמלית עבור CSGV: הרבה שאלות הרבה תשובות V = צמתים Σ = צבעים E = קשתות Φ = אילוצים Vl = -יות של צמתיםl Σl = -יות של צבעיםl El = {(u,v) : ∃ i,j s.t. ui = vj or … (ui,vj) ∈ E} Φl(u,v) = {(a,b): ∀ i,j s.t. ui=vj→ ai=bj and … (ui,vj) ∈ E → (ai,bj) ∈Φ(ui,vj)} צביעה קונסיסטנטית מקיימת אילוצים מקוריים
Amplification for CSGV דוגמא: הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 3,3
Amplification for CSGV דוגמא: הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,2 2,3 3 3,3
Amplification for CSGV דוגמא: הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,2 2,3 3 3,3
דוגמא: Amplification for CSGV הרבה שאלות הרבה תשובות 1,1 1,2 1,3 1 2 2,2 2,3 3 3,3
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] טענה: gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] הוכחה: שלמות:אם צביעה A: V→Σ צובעת את כל הצמתים בלי להפר אף אילוץ, אז אפשר להרחיב אותה ל- Al(v) = (A(v1),A(v2),…A(vl)) הצביעה Al צובעת את כל הצמתים ב-Vl בלי להפר אף אילוץ
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] טענה: gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] הוכחה: נאותות: בהנתן צביעה Al: Vl-→Σl מ-δlצמתים נגדיר צביעה A(vi) = (Al(v))i ז"א שננסה לצבוע כל צמת ב-V בצבע שמתאים לו ע"י Al בגלל האילוץ מהסוג הראשון לא יכול להיות שאותו צומת ב-v צבוע ביותר מצבע אחד ע"י Al בגלל האילוץ מהסוג השני מובטח שכל הצבעים שצבועים מקיימים את האילוצים ב-Φ "ננסה" – כי לא כל הצמתים צבועים ע"י Al
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ- δ צמתים ב-V: 1,1 1,2 1,3 1 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 3,3
gap-kCSGV[δ,1] ≤P gap-klCSGV[δl,1] סה"כ לא יכול להיות שהצלחנו לצבוע פחות מ- δ צמתים ב-V: 1,1 1,2 1,3 1 2 2,1 2,2 2,3 3 3,1 3,2 3,3
