Matematika Diskrit ( Solusi pertemuan 6)

1. MatematikaDiskrit(Solusipertemuan 6) Razief Perucha F.A JurusanInformatika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam UniversitasSyiah Kuala 2012 Mohondiinformasikanjikaterdapatkesalahanpenulisankerazief@informatika.unsyiah.ac.id

2. Himpunan (set) • adalahkumpulanobjek-objek yang berbeda. • Objekdidalam himpunan disebutelemen, unsur, atauanggota.

3. Cara penyajian himpunan (1) 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empatbilanganaslipertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangangenappositifpertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } • K = { {} } - Himpunan 100 buahbilanganaslipertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilanganbulatditulissebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. Keanggotaan • xA : xmerupakananggota himpunan A; • xA : xbukanmerupakananggota himpunan A.

4. Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} Maka: 3 A 5  B {a, b, c} R {} K {} R

5. Contoh 3 BilaP1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}}, Maka: aP1 aP2 P1P2 P1P3 P2P3

6. Cara PenyajianHimpunan(2) 2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilanganbulatpositif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilanganalami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilanganbulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilanganrasional R = himpunan bilanganriil C = himpunan bilangankompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkandengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} danAadalah himpunan bagiandari U, denganA = {1, 3, 5}.

7. Cara penyajian Himpunan (3) 3.Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { xsyarat yang harusdipenuhiolehx } Contoh 4. (i) Aadalah himpunan bilanganbulatpositif yang kecildari 5 A = { x | x adalahbilanganbulatpositiflebihkecildari 5} atau A = { x | x  P, x < 5 } yang ekivalendengan A = {1, 2, 3, 4} (ii) M = { x | xadalahmahasiswa yang mengambilkuliah IF2151}

8. Cara penyajianHimpunan(4) 4. Diagram Venn Contoh 5. Misalkan: U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn:

9. Kardinalitas JumlahelemendidalamAdisebutkardinaldari himpunan A. Notasi: n(A) atauA Contoh 6. (i) B = { x | xmerupakanbilangan prima yang lebihkecildari 20 }, atauB = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} makaB = 8 • T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, makaT = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, makaA = 3

10. Himpunan Kosong Himpunan dengankardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {} Contoh 7. (i) E = { x | x < x }, makan(E) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernahkebulan }, makan(P) = 0 (iii) A = {x | xadalahakarpersamaankuadratx2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 himpunan {{ }} dapatjugaditulissebagai {} himpunan {{ }, {{ }}} dapatjugaditulissebagai {, {}} {} bukan himpunan kosongkarenaiamemuatsatuelemenyaitu himpunan kosong.

11. Himpunan Bagian (Subset) - 1 • Himpunan Adikatakan himpunan bagiandari himpunan BjikadanhanyajikasetiapelemenAmerupakanelemendariB. • Dalamhalini, BdikatakansupersetdariA. • Notasi: AB

12. Himpunan Bagian (Subset) - 2 Diagram Venn: Contoh 8. (i) { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) JikaA = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) | 2x + y < 4, x 0 dany  0 }, makaB  A

13. TEOREMA 1. Untuksembarang himpunan Aberlakuhal-halsebagaiberikut: (a) Aadalah himpunan bagiandariAitusendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosongmerupakan himpunan bagiandariA (   A). (c) JikaABdanBC, makaAC

14.   AdanA A, makadanAdisebut himpunan bagiantaksebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} danadalahimproper subsetdariA. ABberbedadenganAB • AB : Aadalah himpunan bagiandariBtetapiAB. Aadalah himpunan bagiansebenarnya (proper subset) dariB. Contoh: {1} dan {2, 3} adalahproper subsetdari {1, 2, 3} • AB : digunakanuntukmenyatakanbahwaAadalah himpunan bagian (subset) dariB yang memungkinkanA = B.

15. Himpunan yang Sama A = BjikadanhanyajikasetiapelemenAmerupakanelemenBdansebaliknyasetiapelemenBmerupakanelemenA. A = BjikaAadalah himpunan bagiandariBdanBadalah himpunan bagiandariA. Jikatidakdemikian, makaAB. Notasi : A = BABdanBA Contoh 9. (i) JikaA = { 0, 1 } danB = { x | x (x – 1) = 0 }, makaA = B (ii) JikaA = { 3, 5, 8, 5 } danB = {5, 3, 8 }, makaA = B (iii) JikaA = { 3, 5, 8, 5 } danB = {3, 8}, makaAB Untuktigabuah himpunan, A, B, danCberlakuaksiomaberikut: (a) A = A, B = B, danC = C (b) jikaA = B, makaB = A (c) jikaA = BdanB = C, makaA = C

16. Himpunan yang Ekivalen Himpunan Adikatakanekivalendengan himpunan Bjikadanhanyajikakardinaldarikedua himpunan tersebutsama. Notasi : A ~ BA = B Contoh 10. MisalkanA = { 1, 3, 5, 7 } danB = { a, b, c, d }, makaA ~ BsebabA = B = 4

17. Himpunan SalingLepas Dua himpunan A dan B dikatakansalinglepas (disjoint) jikakeduanyatidakmemilikielemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: Contoh 11. JikaA = { x | x P, x < 8 } danB = { 10, 20, 30, ... }, makaA // B.

18. Himpunan Kuasa Himpunan kuasa (power set) dari himpunan Aadalahsuatu himpunan yang elemennyamerupakansemua himpunan bagiandariA, termasuk himpunan kosongdan himpunan Asendiri. Notasi : P(A) atau 2A JikaA = m, makaP(A) = 2m. Contoh 12. JikaA = { 1, 2 }, makaP(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasadari himpunan kosongadalahP() = {}, dan himpunan kuasadari himpunan {} adalahP({}) = {, {}}.