1 / 89

Prof. dr. sc. Pavao Marović

Prof. dr. sc. Pavao Marović. Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009. 8. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA. Pravo Čisto Koso Sa silama.

presley
Télécharger la présentation

Prof. dr. sc. Pavao Marović

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, nastavak 8.

  2. 8. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA Pravo Čisto Koso Sa silama Promatramo ravni štap, napravljen od homogenog, izotropnog, elastičnog materijala, konstantnog poprečnog presjeka, koji je opterećen konstantnim momentom savijanja. Prema tome, svaki dio štapa se nalazi u jednakim uvjetima. Za jedan diferencijalni dio štapa napravit ćemo sve analize. 8. Savijanje

  3. Presječnica ravnine poprečnog presjeka (zy) i ravnine momenta savijanja (xy) je os y. 1) Statička analiza: Moment savijanja djeluje u ravnini xy, a vrti oko osi z. m M n z B M T x m A dx A(z,y)__dA y n 8. Savijanje

  4. A σxz Promatrajmo opće stanje naprezanja u točki A: σxx Postavimo sve moguće jednadžbe ravnoteže: σxy = 0 Pošto u našem slučaju nemamo nikakvih vanjskih poprečnih sila niti momenta torzije, možemo staviti da je: Ty = Tz = Mt = 0 = 0 (1) = 0 Iz ove 3 jednadžbe nam slijedi da nemamo nikakvih posmičnih naprezanja: σxy = σxz = τ = 0 = 0 (2) = 0 Naše jedino opterećenje je moment savijanja oko osi z, Mz=M (3) = M 1. grupa jedn. – statičke jednadžbe 8. Savijanje

  5. 2) Geometrijska analiza: Da bi odredili zakon razdiobe normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka, promatrati ćemo ponašanje vlakanaca na diferencijalnom elementu dx. Uzeti ćemo neopterećeni štap i na njemu nacrtati dva sustava međusobno okomitih linija: (1) konture poprečnih presjeka; i (2) paralelne izvodnice (slika 14.7, str. 309). • Nakon što smo štap opteretili momentom savijanja, štap će se deformirati: (1) poprečni presjeci će ostati ravni i okomiti na uzdužnu os (Navier-ova pretpostavka o ravnim presjecima), zaokrenuti i radijalno usmjereni te okomiti na uzdužne izvodnice; (2) izvodnice će činiti sustav koncentričnih kružnica. • Što se dogodilo s izvodnicama? • neke su se skratile, a1<a • neke su se produljile, a2>a • neke su ostale nepromijenjene a neutralni sloj a1<a a2>a 8. Savijanje

  6. m n B0 A0 B0 A0 m n dx B1 A1 Skup vlakanaca koji pri deformiranju štapa nije promijenio svoju dužinu naziva se neutralni sloj. Presječnica neutralnog sloja i poprečnog presjeka se naziva neutralna os. dφ R=ρ+y ρ M M y B A neutralni sloj y 8. Savijanje

  7. Relativna deformacija vlakanca B1A1 je: Dobili smo da je promjena relativnih deformacija po visini poprečnog presjeka linearna. 3) Fizikalna analiza: Kako smo vidjeli, tangencijalna naprezanja na plaštu odnosno posmična naprezanja u poprečnom presjeku su nula, te nam ostaju samo normalna naprezanja u poprečnom presjeku: σxx σxx A B 8. Savijanje

  8. 4) Rješavanje sustava jednadžbi: Vidimo da je raspodjela normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka linearna. Iz jednadžbe (3): slijedi: Kako je E konstantno, ako se radi o homogenom i izotropnom materijalu, možemo pisati: Ako uzmemo da je [m4] osni moment tromosti ili mom. trom. obzirom na os z Izraz za deformaciju kod savijanja: Pri tome je E·Iz – krutost na savijanje ili savojna krutost. 8. Savijanje

  9. Ako izraz za deformaciju uvrstimo u izraz za opću raspodjelu normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka dobiti ćemo izraz koji nam daje mogućnost određivanja normalnih naprezanja pri istom savijanju u bilo kojoj točki presjeka: Promatrajmo jednadžbu (1): Kako je slijedi da je Sz - statički moment površine obzirom na os z [m3] Ovo je ujedno jednadžba težišta poprečnog presjeka, a pokazuje da neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka. 8. Savijanje

  10. Preostaje nam još jednadžba (2): Kako je slijedi da je Izy - centrifugalni moment tromosti u odnosu na osi z i y [m4] Prema tome, da bi sve ovo što smo do sada kazali bilo ispravno, centrifugalni moment tromosti obzirom na osi z i y mora biti jednak nuli, odnosno, ravnina djelovanja momenta savijanja mora biti ili ravnina xy (što je ovdje pokazano)ili ravnina xz (slično uz zamjenu indeksa). 8. Savijanje

  11. Komentari: Os x se podudara s osi štapa. Os y prolazi težištem poprečnog presjeka – Sy=0. Os z prolazi težištem poprečnog presjeka – Sz=0. Osi y i z su središnje osi poprečnog presjeka, može ih biti više. Ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi kroz os štapa. Centrifugalni moment tromosti Izy=0→ osi y i z su glavne osi poprečnog presjeka, ima samo jedan par. Sz=Sy=0 → osi z i y su središnje osi Izy=0 → osi z i y su glavne osi Sz=Sy=Izy=0 → osi z i y su glavne središnje osi Za slučaj pravog čistog savijanja, ravnina djelovanja momenta savijanja mora se poklapati s jednom od ravnina glavnih osi, xy ili xz. 8. Savijanje

  12. M M x T + - Najveća naprezanja se javljaju u rubnim vlakancima, za y=ymax. σmin ymin z neutralna os ymax σmax y (vlačna naprezanja) (tlačna naprezanja) Naprezanja u krajnjim vlakancima: Uz zamjenu što vrijedi samo za krajnja vlakanca: Wz - osni moment otpora obzirom na os z [m3] 8. Savijanje

  13. Za prethodni poprečni presjek u rubnim vlakancima imamo: Za poprečni presjek simetričan obzirom na os z, ymax = ymin = h/2: Uvjet čvrstoće moramo ispuniti na oba ruba, σvlak ≠ σtlak : 8. Savijanje

  14. Oblik poprečnog presjeka ne utječe na dijagram normalnih naprezanja ili dijagram normalnih naprezanja ima isti oblik za sve poprečne presjeke (raspodjela je uvijek linearna). 8. Savijanje

  15. 8.1 – Momenti tromosti Momenti tromosti su karakteristike poprečnog presjeka. Ovise o obliku i veličini poprečnog presjeka. Dimenzije [m4]. y Definirajmo momente tromosti: dA Osni momenti tromosti: z ρ y z T Polarni moment tromosti: Ip = Iz + Iy Iz crteža slijedi: Centrifugalni moment tromosti: 8. Savijanje

  16. y y z -z +z Iz gornjih definicija slijedi: Iz , Iy ,Ip > 0 ovisno o z i y Izy <=> 0 Ako presjek ima jednu os simetrije: Izy = 0 8. Savijanje

  17. Kod izračunavanja ovih integrala (momenata tromosti) mora nam biti zadana, analitički, granica integriranja. Ako nije, onda presjek dijelimo na manje, jednostavnije, dijelove. y A1 A T z A3 A2 8. Savijanje

  18. 8.2 – Redukcijski Steiner-ovi stavci Određivanje momenata tromosti obzirom na međusobno paralelne osi. Zadano: y b y1 dA z1 z ρ y z T Po definiciji imamo: y1 a z1 Sz=0 z1 = b + z y1 = a + y Iz1 = a2·A + Iz 8. Savijanje

  19. Iz1 = Iz + a2·A Iy1 = Iy + b2·A Osni moment tromosti obzirom na neku zadanu os (z1ili y1) jednak je momentu tromosti obzirom na paralelnu os (z ili y) kroz težište poprečnog presjeka plus produkt površine poprečnog presjeka (A) i kvadrata udaljenosti između paralelnih osi (a2ili b2). 8. Savijanje

  20. Sy=0 Sz=0 Iz1y1 = Izy + a·b·A Centrifugalni moment tromosti obzirom na zadani par međusobno okomitih osi (z1, y1) jednak je centrifugalnom momentu tromosti obzirom na sustav međusobno okomitih osi (z, y) kroz težište poprečnog presjeka koje su paralelne zadanim osima plus produkt površine poprečnog presjeka (A) i udaljenosti međusobno paralelnih osi (a, b). 8. Savijanje

  21. Zaključci / Komentari: Kod proračuna osnih momenata tromosti, udaljenosti dolaze na kvadrat (a2, b2) pa ne moramo voditi računa o predznacima tih dužina. Kod proračuna centrifugalnog momenta tromosti moramo voditi računa o predznacima dužina a i b jer ne dolaze pod kvadrat. Naime, dužine a i b su koordinate težišta poprečnog presjeka u koordinatnom sustavu z1-y1. Osni momenti tromosti imaju najmanju vrijednost za osi koje prolaze kroz težište poprečnog presjeka (Iz<Iz1, Iy<Iy1). 8. Savijanje

  22. T 8.3 – Analitički izrazi momenata tromosti uobičajenih likova Krug dA=2·π·ρ·dρ y dρ ρ z Ip = Iz + Iy Zbog simetrije imamo da je Iz = Iy pa slijedi da je: Ip = 2·Iz = 2·Iy odnosno: Iz = Iy =1/2 Ip d=2r Izy = 0 8. Savijanje

  23. y z 0 d=2r Polukrug z1 T Izy = 0 Iz1 = ? (na vježbama) Iz1y = 0 8. Savijanje

  24. h/2 h h/2 b/2 b/2 b Pravokutni poprečni presjek y dA=b·dy dy y T z Izy = 0 8. Savijanje

  25. Paralelogram dA=b·dy dy y z h b 8. Savijanje

  26. dy Pravokutni trokut y dA=by·dy h-y h by y 0 z b (ovo su momenti tromosti obzirom na osi koje prolaze katetama pravokutnog trokuta) 8. Savijanje

  27. Pravokutni trokut (odredimo momente tromosti obzirom na osi koje prolaze težištem pravokutnog trokuta) Ovo je sada određivanje momenata tromosti obzirom na međusobno paralelne osi – primjena Steiner-ovih stavaka: y y0 h z0 T h/3 0 z b/3 b 8. Savijanje

  28. y y0 h z0 T h/3 0 z b/3 b z0 T y0 + - 8. Savijanje

  29. Kosokutni trokut y h z0 Konačni zaključak: Uvijek moramo voditi računa o orijentaciji koordinatnog sustava i o predznaku centrifugalnog momenta tromosti. z b 8. Savijanje

  30. 8.4 – Momenti tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava Zadano: y y1 dA z z1 y1 z1 α y T z Rotirajmo ovaj koord. sustav i tražimo momente tromosti obzirom na rotirane koordinatne osi: z1 = z ·cosα+ y ·sinα y1 = y · cosα - z · sinα 8. Savijanje

  31. Iz Iy Izy (1) Iy Izy Iz (2) 8. Savijanje

  32. Iz Iy Izy Izy (3) 8. Savijanje

  33. (1) (2) Zbrojimo li jednadžbe (1) i (2), dobivamo: Iz1 + Iy1 = Iz + Iy = Ip - Invarijanta momenata tromosti Zbroj osnih momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava je konstantan i jednak polarnom momentu tromosti obzirom na pol rotacije. 8. Savijanje

  34. Pri rotaciji koordinatnog sustava osni momenti tromosti će u jednom trenutku poprimiti neke ekstremne vrijednosti ovisno o položaju koordinatnog sustava, tj. ovisno o kutu α. Da bi odredili te ekstreme trebamo derivirati jedn. (1) i (2) po α: 8. Savijanje

  35. Vidimo da nam derivacije osnih momenata tromosti po kutu α daju dvostruki centrifugalni moment tromosti s predznacima + i -. Za dobiti ekstremne vrijednosti, prve derivacije trebaju biti jednake nuli: Iz1y1 = 0 Ekstremne vrijednosti osnih momenta tromosti nazivamo glavnim momentima tromosti a odgovarajuće osi, glavne osi tromosti. Ako glavne osi tromosti prolaze težištem poprečnog presjeka onda se zovu glavne središnje osi tromosti, a pripadajući momenti tromosti se zovu glavni središnji momenti tromosti. 8. Savijanje

  36. y z Glavne momente tromosti označavamo s Iu i Iv , a glavne osi tromosti s u i v. Smjer glavnih središnjih osi tromosti odredit ćemo prema jedn. (3): Iz prethodnog izraza dobijemo vrijednost za kut α0 nakon čega veličine glavnih momenata tromosti nađemo tako da u jednadžbe (1) i (2) uvrstimo za kut α = α0. Pošto je tangens periodična funkcija, perioda π/2, to ćemo za kut dobiti dvije vrijednosti – uzimamo manju vrijednost kuta |α0|≤π/4 – u daljnjim razmatranjima uzimati ćemo samo ovu vrijednosti – kut α nanosimo po algebarskoj vrijednosti. v u +α 8. Savijanje

  37. √(Iz-Iy)2+4·I2zy 2(-Izy) 20 · Iz-Iy 8. Savijanje

  38. Pošto je prvi član uvijek pozitivan, slijedi: Neke napomene: Ukoliko je Iz>Iy onda je Iu>Iv→ Iu=Imax i Iv=Imin Ukoliko je Iz<Iy onda je Iu<Iv → Iv=Imax i Iu=Imin Ako presjek ima neku os simetrije onda je centrifugalni moment tromosti za tu os jednak nuli, pa je ta os ujedno i glavna os, a ako ima dvije osi onda će one same biti glavne osi. 8. Savijanje

  39. Izy Iz (Iz+ Iy )/2 Izy Iz 0 x x Iy S 20 Izy Imin Iy Imax 8.5 – Mohr-ova kružnica tromosti Zadano: Iz, Iy, -Izy u v  Moguća je i obrnuta zadaća, da su zadani glavni momenti tromosti (Imax, Imin) te da se traže osni i centrifugalni momenti tromosti pod zadanim kutom . 8. Savijanje

  40. y dA z y z 0 8.6 – Radijusi tromosti Kod proračuna osnih momenata tromosti možemo koristiti teorem o srednjoj vrijednosti integrala: ysr = iz zsr = iy Za glavne osi tromosti imamo glavne središnje radijuse (polumjere) tromosti: 8. Savijanje

  41. v u 0 8.7 – Elipsa tromosti Zadan je poprečni presjek s glavnim središnjim osima, Iuv=0. Neka je zadana i neka os z te se traži moment tromosti obzirom na tu os. Iz = ? z α (1) Jednadžba (1) predstavlja jednadžbu elipse u u-v koordinatnom sustavu. 8. Savijanje

  42. v z u 0 Uzmimo da je: A v α Uvrstimo ovo u jedn. (1): u (1) Ovo je jednadžba elipse kojoj su poluosi radijusi tromosti iv i iu. Na os v nanosimo poluos iu a na os u poluos iv. 8. Savijanje

  43. v u 0 Na os v nanosimo poluos iu a na os u poluos iv. Jednadžba pravca p u segmentnom obliku: p z Veza između m, n i d: n iu d α iv iv Vratimo u prethodnu jedn.: m iu (a) Napišimo jednadžbu pravca p kao tangente na elipsu tromosti: Elipsa tromosti 8. Savijanje

  44. v u 0 (a) (b) p C (-uC, vC) (c) z n iu d Usporedimo li jedn. (a) i (c) dobivamo točne koordinate točke C: α iv iv m iu Elipsa tromosti što možemo vratiti u jedn. (b): 8. Savijanje

  45. v u 0 uz napomenu da ova jedn. vrijedi za svako u i v, pa tako i za u=-uC i v=vC: p C (-uC, vC) (2) z (1) n iu d Usporedimo li jedn. (1) i (2) vidimo da je: iz=d α iv iv m iu Radijus tromosti iz jednak je udaljenosti od središta elipse tromosti do tangente na elipsu tromosti koja je paralelna sa zadanom osi. Elipsa tromosti Traženi moment tromosti obzirom na zadanu os z je: 8. Savijanje

  46. v u 0 p C (-uC, vC) odnosno: z n iu d α iv iv m z1 Slično se određuje moment tromosti i za os koja ne prolazi težištem poprečnog presjeka – os z1: iu a Elipsa tromosti 8. Savijanje

  47. Napomene: Elipsa tromosti nikad ne može sjeći tangentni poligon na konturu poprečnog presjeka. Elipsa tromosti uvijek je orijentirana u smjeru većih dimenzija poprečnog presjeka. Ako su poluosi elipse jednake, onda dobivamo kružnicu tromosti. Pogrešno!!! Pogrešno!!! 8. Savijanje

  48. x h b x L/2 L/2 + + - T M 8.8 – Savijanje silama (opći slučaj savijanja) F y h<<L Mx z T Tx F/2 F/2 F/2 F/2 F U presjeku x imamo: F/2 FL/4 x 8. Savijanje

  49. Zaključak: Kod savijanja silama u poprečnom presjeku se javljaju i moment savijanja, koji izaziva pojavu normalnih naprezanja, i poprečna sila, koja izaziva pojavu posmičnih naprezanja. Prema tome, poprečni presjeci ne ostaju ravni već se vitopere. Postoji međudjelovanje između uzdužnih vlakanaca. Posljedica: Vlakanca se ne nalaze u jednoosnom (1D) stanju naprezanja, već u dvoosnom stanju naprezanja (2D). Pitanje: Kako odrediti ta normalna i posmična naprezanja? 8. Savijanje

  50. Određivanje normalnih naprezanja pri savijanju silama: - radi se o maloj pogrešci - proračun se pojednostavljuje - naime, utjecaj poprečne sile na normalna naprezanja za slučaj h<<L je zanemariv (veličina ovog utjecaja će se pokazati kasnije) Zaključak: Izraz za određivanje normalnih naprezanja je jednak i za slučaj čistog savijanja i za slučaj savijanja silama! 8. Savijanje

More Related