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Funciones lineales

Recorrido: R. Recorrido: R. Dominio: R. Dominio: R. Funciones lineales. Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b  R se llaman funciones lineales. (0, b): ordenada en el origen. (0, b): ordenada en el origen. f(x) = ax + b, a > 0. f(x) = ax + b, a < 0.

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Funciones lineales

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Presentation Transcript

  1. Recorrido: R Recorrido: R Dominio: R Dominio: R Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. • (0, b): ordenada • en el origen • (0, b): ordenada • en el origen f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente Final

  2. Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a  0, b, c  R • Funciones y = ax2 para diferentes valores de a • Son parábolas • Dominio: R • Si a > 0: Recorrido = [0, ) • Si a < 0: Recorrido = (–, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 Final a = – 0,5

  3. Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola • V a > 0 a < 0 • V Final

  4. Dominio Recorrido Recorrido Dominio Funciones polinómicas Final Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an 0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, ..... f(x) = x2 f(x) = x4 f(x) = x5 f(x) = x3

  5. Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6 Final

  6. – 1 1 Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios Final + + x + 1 – • Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0 • Continuidad: son funciones continuas en su dominio • Asíntotas: pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas + x + 1 – – + f(x) + – Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1) y los cambios de signo en su dominio

  7. Funciones con radicales (I) Final Si m es impar y n es par Si m es impar y n es impar

  8. Funciones con radicales (II) Final Si m es par y n es par Si m es impar y n es impar

  9. Funciones potenciales Una función potencial es una función de la forma f(x) = xa, siendo x la variable y a un número real • Dominio: en general definidas sólo en [0, ). En algunos casos también está definidas para los reales negativos • Continuidad: son funciones continuas en su dominio 0 < a < 1 a > 1 a < 0 Final

  10. Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a un número real • Dominio: R. Recorrido: (0, ) • Continuidad: son funciones continuas en su dominio • Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1) f(x) = e– x = (1/e)x f(x) = 2x f(x) = 2– x = (1/2)x f(x) = ex Final 0 < a < 1 a > 1

  11. Funciones exponenciales: algunas propiedades • Asíntota horizontal por la izquierda • Creciente • Asíntota horizontal por la derecha • Decreciente f(x) = ax para 0 < a < 1 f(x) = ax para a > 1 Final

  12. Comparación entre funciones exponenciales y potenciales Final

  13. Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1 • Dominio: (0, ). Recorrido: R • Continuidad: son funciones continuas en su dominio (0, ) • Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0) • Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x f(x) = ax f(x) = ax f(x) = loga x f(x) = loga x Final 0 < a < 1 a > 1

  14. Funciones logarítmicas: algunas propiedades f(x) = loga x para 0 < a < 1 f(x) = loga x para a > 1 • Decreciente en su dominio • loga x < 0 si x > 1 • loga x > 0 si 0 < x < 1 • Creciente en su dominio • loga x > 0 si x > 1 • loga x < 0 si 0 < x < 1 Final

  15. Comparación entre funciones logarítmicas y potenciales Final

  16. período = T período = T 3 2 1 0 x x + T 11,45 10,35 11,15 10,45 10,15 10,30 11 Función periódica Final Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio

  17. y = 1 y = -1 Función seno Final -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p • Propiedades de la función seno • En continua en su dominio que es R. • Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. • Es periódica de período 2p. • No existe el límite de sen x cuando x tiende a ±. • Es una función impar: sen (– x ) = sen x

  18. y = 1 y = -1 Función coseno Final -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = cos x y = sen x • Propiedades de la función coseno • En continua en su dominio que es R. • Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. • Es periódica de período 2p. • No existe el límite de cos x cuando x tiende a ±. • Es una función par: cos (– x ) = cos x

  19. Función tangente Final -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p • Propiedades de la función tangente • En continua en su dominio que es R - {p/2 + kp: k Z} • Su recorrido es toda la recta real. • Es periódica de período p. • Las recta x = p/2 + kp, k Z son asíntotas verticales • No existe el límite de cos x cuando x tiende a ±. • Es una función impar: tan (– x ) = – tan x

  20. p/2 1 -1 -p/2 p/2 1 – 1 - p/2 Función arco seno Final La función sen x es inyectiva en [-p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x y = arcsen x y = sen x 0 y = x • Propiedades de la función arco seno • En continua en su dominio: [-1, 1]. • Su recorrido es el intervalo [-p/2,p/2]. • Es creciente.

  21. p/2 p/2 1 -1 1 p/2 p Función arco coseno Final La función cos x es inyectiva en [0, p]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arccos x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x y = arccos x y = x y = cos x 0 • Propiedades de la función arco coseno • En continua en su dominio: [-1, 1]. • Su recorrido es el intervalo [0,p]. • Es decreciente.

  22. -p/2 p/2 -p/2 p/2 Función arco tangente Final La función tan x es inyectiva en [-p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x y = tan x 0 y = arctan x y = x • Propiedades de la función arco tangente • En continua en su dominio: R. • Su recorrido es el intervalo [-p/2,p/2]. • Es creciente. • Tiene asíntota horizontal hacia l derecha en p/2 y hacia la izquierda en -p/2

  23. Gráficas de funciones trigonométricas mediante traslaciones y dilataciones Final Gráfica de la función y = 3 + 2 cos(2x + p/2)

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