LOGIKA (LOGIC)

1. LOGIKA (LOGIC)

2. TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS Analógia • Hogyan oldunk meg egy problémát hagyományos programozással? • Hogyan bírható rá egy számítógép, hogy megoldjon egy intelligenciát igénylő problémát? • Melyek a legnehezebb lépések? Mi a tudásreprezentáció? • pótlék (inkább következtetünk, mint tevékenykedünk) • (erős) szemüveg • médium mely • lehetővé teszi a hatékony számítást • az emberi kifejezést • (töredékes) elmélet arról, hogy mit nevezünk intelligens gondolkodásnak

3. TUDÁSREPREZENTÁCIÓ ÉS KÖVETKEZTETÉS Mit várunk el egy reprezentációs nyelvtől? • kifejező, tömör • egyértelmű • hatékony következtetést enged meg Felhasználási cél is fontos! (pl. osztás arab/római számmal) programozási nyelvek, természetes nyelvek, logika

4. A LOGIKA, MINT REPREZENTÁCIÓS NYELV LOGIKA ELEMEI • szintaxis • nyelv szimbólumai (kifejezések, amelyekkel bánni tudunk) • hogyan lehet mondatokat formálni • szemantika • a mondatok a világ mely tényeire vonatkoznak • a mondatok jelentése • következtetés • adott szintaxis és szemantika mellett új mondatok származtatása (mechanikus eljárások alkalmazásával)

5. ÍTÉLETKALKULUS (NULLADRENDŰ LOGIKA)

6. ÍTÉLETKALKULUS – SZINTAXIS jelkészlet • elválasztó jelek: ( ) • logikai műveleti jelek:  • ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . • ítéletkonstansok: T, F szintaxis szabályai • atomi formula (atom) • minden ítéletkonstans atomi formula • minden ítéletváltozó atomi formula • formula • minden atomi formula egyben formula is • ha A és B formulák, akkor (A), (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák a formulaképzés szabálya rekurzív

7. ÍTÉLETKALKULUS – PÉLDA állítások: A1: Ha süt a nap, akkor Péter strandra megy. A2: Ha Péter strandra megy, akkor úszik. A3: Péternek nincs lehetősége otthon úszni. A4: Ha süt a nap, akkor Péter nem marad otthon. A1, A2, A3 állításokból következik-e A4? atomok (atomi formulák): p: süt a nap q: Péter strandra megy r: Péter úszik s: Péter otthon marad eredeti állítások szerkezetét tükrözi formulák: F1: p  q F2: q  r F3: (s  r) F4: p s

8. ÍTÉLETKALKULUS – SZEMANTIKA logikai formula (wff): szabályos szimbólumsorozat – igazságértéke ad jelentést (szemantika szabályai szerint) • formula interpretációja • minden ítéletváltozóhoz igaz (T) vagy hamis (F) érték rendelése minden lehetséges módon • interpretált formula kiértékelése • műveleti jelek szemantikája alapján (igazságtáblák)

9. IMPLIKÁCIÓ p  q Ha a-disznók-repülnek akkor 2=1.  T  F F hamis előtagból bármi következik? Értelmezés lehet: „Ha p igaz, akkor azt állítom, hogy q is igaz, egyébként q-ról nem állítok semmit.” p  q  p  q

10. FORMULÁK INTERPRETÁCIÓJA Formula: G: (p  q)  (r  s) Lehetséges interpretációk (összesen 24): I1: (p, q, r, s) = (T, T, F, F) I2: (p, q, r, s) = (F, T, T, F) G formula igazságértéke I1 és I2 interpretációban: G(I1) = F G(I2) = T I2 interpretáció kielégíti G formulát, I2modellje G-nek

11. ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK Igazság • Egy formula igaz, ha az, amit leír, valóban előfordul a világban. • Egy formula igazsága függ • a világ állapotától, és • az interpretációtól (szemantikától) Érvényes formula (tautológia) • A formula igazsága nem függ sem a világ állapotától, sem a szemantikától. • minden interpretációban igaz, minden modellben benne van • T x Kielégíthetetlen formula • Kielégíthetetlen egy formula, ha a világ soha nem olyan, mint amilyennek leírja. • minden interpretációban hamis, nincs modellje • x F

12. ALAPVETŐ TULAJDONSÁGOK ÉS RELÁCIÓK Kielégíthető formula • van olyan interpretációja, amelyben igaz az értéke, van modellje Kapcsolat a 3 formulaosztály között: • x érvényes  x kielégíthetetlen • x érvényes  x kielégíthető  Logikai kifejezések modellje • (x  y)  M  x  M és y  M • (x  y)  M  x  M vagy y  M • x  M x  M

13. FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz a logikai értékük. Nevezetes ekvivalenciák, logikai törvények: • A  B = (A  B)  (B  A) • A  B = A  B • A  B = B  A kommutatív A  B = B  A • (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) asszociatív • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disztributív

14. FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények • A  F = A A  T = A • A  T = T A  F = F • A  A = T A  A = F • (A) = A kettős tagadás • (A  B) = A  B (A  B) = A  B deMorgan • A  (A  B) = A A  (A  B) = A abszorpció, elnyelés A  A = A A  A = A idempotencia

15. LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY A W W formula A formulának logikai következménye, ha W igaz minden olyan interpretációban, amelyben A igaz. MI-ben: A1 , . . . , An W bizonyos formulákról tudjuk, hogy igazak (A1, . . . , An) ha W ezek logikai következménye, W is igaz esetek végignézése nélkül hogy lehet eldönteni?? a  (a  b) b

16. LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY • Logikai következmény fogalmának értelmezése az érvényesség fogalmával: A1 , . . . , An W iff (A1  . . .  An)  W érvényes. • Logikai következmény fogalmának értelmezése a kielégíthetetlenség fogalmával: A1 , . . . , An W iff A1  . . .  An W kielégíthetetlen. Elnevezések: (A1  . . .  An)  W tétel A1  . . .  An tétel axiómái, feltételei W következmény, konklúzió

17. TÉTELBIZONYÍTÁS IGAZSÁGTÁBLÁVAL F1: p  q F2: q F3: p ?: F1  F2 F3 lehetőségek: • beláthatjuk, hogy minden olyan interpretációban, amelyben F1F2 igaz, igaz F3 is • bebizonyíthatjuk, hogy F1F2F3 érvényes • beláthatjuk, hogy F1F2F3 kielégíthetetlen    a b c

18. TÉTELBIZONYÍTÁS QUINE ALGORITMUSSAL • a formula egy változójának interpretálása (T, F)  két új formula • eljárás folytatása mindaddig, míg a bináris fa levelein csak igazságértékek találhatók • ha minden levél T, érvényes a formula (((p  q)  r)  (p  q))  (p r) (((p  q)  r)  (p  q))  (p r) ((q  r)  q)  r T r  r T T T p=T p=F q=T q=F r=T r=F

19. TÉTELBIZONYÍTÁS FORMÁLIS LEVEZETÉSSEL Formula formális levezetése egy axiómahalmazból • axiómahalmaz (egyszerű, érvényes formulák) • levezetési (következtetési) szabályok (érvényes formulákból érvényes formulát hoznak létre) p q Kleen: A  (B  A) (A  (B  C))  ((A  B)  (A  C)) (A  B)  ((A  B)  A) levezetési szabály: modus ponens Modus ponens: A, A  B B A  B A B Ha az A és az A→B formula érvényes, akkor a B formula is érvényes.

20. LEVEZETÉSI SZABÁLYOK Érvényes kártyák: • mássalhangzó • magánhangzó és páros szám Modus ponens: A  B, A B(K, E) Modus tollens: A  B, B A(7) mássalhangzó  érvényes magánhangzó  páros  érvényes magánhangzó  érvényes  páros

21. LEVEZETÉSI SZABÁLYOK a  b a, a  b b levezetési szabályok? Helyes következtetés: Def. Ha p q, akkor p q az előállított formula logikai következmény legyen a  b b nem helyes (igazságtáblából) a  b a, modus ponens helyes (igazságtáblából) Teljes következtetés: Def. Ha p q, akkor p q mindent előállítson, ami logikailag következik modus ponens nem teljes a  b a  s b  s s ??

22. LEVEZETÉSI SZABÁLYOK Rezolúció: a  b a  b c  a c  a c  b c  b a1 ...  am b1 ...  bk c1 ...  cn d1 ...  dlahol dj = ai a1  ...  ai  ...  am  c1  ...  cn b1 ...  bk d1  ...  dj  ...  dl a1 ... am b1 ...  bk c1 ... cn d1 ...  dlahol dj = ai a1 …  ai …  am  c1 ...  cn  b1...  bk d1 ...  dj ...  dl

23. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL Rezolúciós eljárás: cáfoló eljárás (ellentmondással történő bizonyítás), mellyel egy konjunktív normálforma ill. egy klózhalmaz kielégíthetetlenségét bizonyítjuk. Konjunktív normálforma: speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: literálok diszjunkciója ill. egy literál literál: egy ítéletváltozó vagy annak negáltja (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s Implikációs normálforma: speciális részformulák (klózok) konjunkciója klóz: implikáció – bal oldalon atomok konjunkciója, jobb oldalon atomok diszjukciója (p  q)  (q  r)  (s  r  F)  (T  p)  (T  s)

24. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL minden formula átalakítható normálformára Transzformációs szabályok: • A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) • A  B = A  B ( kiküszöbölése) • (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) • (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) • A = A ( hatáskörének redukálása) • A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (klózok konjunkciójának létrehozása) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) (((p  q)  (q  r)  (s  r))  (p  s)) b.) ((p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s)) d.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  (p  s) c.) e.) (p  q)  (q  r)  (s  r)  p  s c.) d.) e.)

25. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL klóz alak, klóz halmaz: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s Lássuk be, hogy C1 . . . C5 klózhalmaz kielégíthetetlen indirekt bizonyítás: tfh létezik modellje (minden klóz igaz) C4 igaz, ha p = T C5 igaz, ha s = T C1 igaz, ha q = T (mivel p = F, C4-ből) C3 igaz, ha r = F (mivel s = F, C5-ből) C2 igaz, ha q = F (mivel r = F, C3- és C5-ből) ellentmondás!

26. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A bizonyítási eljárás szemléltetése: C1: p  q C2: q  r C3: s  r C4: p C5: s rezolúciós gráf, cáfolati gráf új klóz előállítása: rezolúcióval p  q s  r q  r q p s r q q r q NIL q NIL r q

27. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1, A2, …, An B ?? A1  A2  …  An   B kielégíthetetlen igazolása rezolúciós eljárással A rezolúciós eljárás lépései: • Cél tagadása, az axiómákhoz való hozzáadása • Az A1  A2  …  An   B formula klóz formára hozása (kiindulási klózhalmaz) • Az üres klóz (NIL) előállításáig: • a klózhalmazból két rezolválható klóz választása, • a kiválasztott klózok rezolvensének képzése, • a rezolvens klóz hozzáadása a klózhalmazba.

28. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL rezolválható klózok: komplemens literálpárt tartalmaznak komplemens literálpár: egy logikai változó és a negáltja együtt rezolvens klóz: komplemens literálok elhagyása után maradó részek diszjunkcióval összekapcsolva üres klóz: NIL, minden reprezentációban hamis rezolúció tulajdonságai: • algoritmusa nemdeterminisztikus C1: p  q p  r C2: q  r p  s C3: s  r s C4: p NIL C5: s • helyes (logikai következmény) • teljes (minden logikai következmény belátható rezolúcióval)

29. PREDIKÁTUMKALKULUS (ELSŐRENDŰ LOGIKA)

30. PREDIKÁTUMKALKULUS Alapok: az elsőrendű logika felosztja a világot • objektumokra, • az objektumok tulajdonságaira, • az objektumok közti relációkra. igaz vagy hamis állítások reprezentálása a kijelentések egy alaphalmaz elemeire vonatkoznak konstansok, változók, függvények, predikátumok minden, létezik

31. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS jelkészlet • elválasztó jelek: , ( ) • logikai műveleti jelek:  • kvantorok:  • objektumváltozók, változók: x, y, z, . . . • objektumkonstansok, konstansok: a, b, c, . . . • függvényszimbólumok: f, g, h, . . . • ítéletváltozók (logikai változók): p, q, r, . . . • ítéletkonstansok: T, F • predikátumszimbólumok: P, Q, R, . . .

32. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS szintaxis szabályai • term • minden objektumkonstans term • minden objektumváltozó term • ha f n-argumentumú függvényszimbólum és t1, ... ,tn termek, akkor f(t1, ... ,tn) is term • atomi formula • minden ítéletkonstans atomi formula • minden ítéletváltozó atomi formula • ha P n-argumentumú predikátumszimbólum és t1, ... ,tn termek, akkor P(t1, ... ,tn) atomi formula

33. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZINTAXIS szintaxis szabályai • formula (jól formált formula, wff) • minden atomi formula egyben formula is • ha A és B formulák, akkor a A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) kifejezések is formulák • ha A egy formula és x egy változó, akkor a x A, x A kifejezések is formulák wff? szereti(Kati, kutyája(Kati)  macskája(Kati)) szereti(Kati, f drága(f)) szereti(Kati, x) x szereti(Kati, x) x szereti(Kati, x) x [P(x, y) y Q(x, y)]

34. PREDIKÁTUMKALKULUS - PÉLDA állítások: A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik. A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg. A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló. A1 és A2 állításokból következik-e A3? predikátumok: P(x): x egy páciens D(y): y egy doktor K(z): z egy kuruzsló M(x,y): x megbízik y-ban formulák: F1: x {P(x) y [D(y)  M(x,y)]} F2: x {P(x) y [K(y) M(x, y)]} vagy F2: x y {[P(x)  K(y)] M(x, y)} F3: x [D(x) K(x)]

35. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA • interpretáció • értelmezés alaphalmazának megválasztása (U ) • hozzárendelések: • minden konstans szimbólumnak egy elem megfeleltetése U-ból • minden n-argumentumú függvényszimbólumhoz egy Un U leképezés rendelése • minden n-argumentumú predikátumszimbólumnak egy Un {T, F} leképezés megfeleltetése Példa: x [P(f(x,x),a)  P(x,a)] U: természetes számok a: 1 f(x,x): x2 P(x,y): x=y x [(x2=1)  (x=1)]

36. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA • kiértékelés • ha A, B formulák igazságértéke ismert, akkor A, (A  B), (A  B), (A  B), (A  B) formulák igazságértékének meghatározása (igazságtábla) • x A igazságértéke T, ha A formula minden xU esetén T, egyébként F • x A igazságértéke T, ha A formula legalább egy xU esetén T, egyébként F

37. PREDIKÁTUMKALKULUS - SZEMANTIKA Kielégíthető formula: van modellje. x [(x2 = 1)  (x = 1)] U: természetes számok  modellje U: egész számok  nem modellje Érvényes formula (tautológia): minden modellben benne van. x p(x) y p(y) Kielégíthetetlen formula (ellentmondás): nincs modellje. x p(x) y p(y) formulák kiértékelése az összes lehetséges interpretációban???

38. FORMULÁK EKVIVALENCIÁJA Logikai törvények: . . • Qx A(x)  B = Qx (A(x)  B) Q:  vagy  Qx A(x)  B = Qx (A(x)  B) • (x A(x)) = x A(x) (x A(x)) = x A(x) • x A(x) x B(x) = x (A(x)  B(x)) x A(x) x B(x) = x (A(x)  B(x)) • Qx A(x)  Qx B(x) = Qx Qy (A(x)  B(y)) Qx A(x)  Qx B(x) = Qx Qy (A(x)  B(y)) (14) x A(x) x B(x) x (A(x)  B(x)) !! x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x)  B(y)) - (15) x A(x) x B(x) x (A(x)  B(x)) !! x A(x) x B(x) = x A(x) y B(y) = x y (A(x)  B(y)) - (15)

39. LOGIKAI KÖVETKEZMÉNY F1: x (P(x)  Q(x)) F2: P(a) F3: Q(a) F1 és F2 formulákból következik-e F3? • Logikai következmény definíciója alapján: • F1 igaz minden x-re, speciálisan a-ra is • F2 igaz •  F3 is igaz (implikáció) • Cáfoló módszer (kielégíthetetlenség): • F1  F2 F3 kielégíthetetlen

40. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL a1 . . . am b1 . . .  bk c1 . . . cn d1 . . .  dlahol dj = ai a1  . .  ai . .  am  c1  . .  cn  b1 . .  bk d1  . .  dj  . .  dl Problémák: • normálformára hozás • kvantorok kezelése • egyesítés

41. NORMÁLFORMÁRA HOZÁS • A  B = (A  B)  (B  A) ( kiküszöbölése) A  B = A  B ( kiküszöbölése) • (A  B) = A  B ( hatáskörének redukálása) (A  B) = A  B A = A x A(x) = x A(x) x A(x) = x A(x) • változók standardizálása - változók átnevezése, hogy az egyes kvantorok által lekötött változók különbözzenek (nem csak formulán belül!) x (P(x)  x Q(x)) x (P(x)  y Q(y))

42. NORMÁLFORMÁRA HOZÁS • egzisztenciális kvantorok kiküszöbölése x P(x) h háza(h, János) P(a) háza(Sk_1, János) Skolem konstans x y P(x,y) sz h háza(h, sz) x P(x, g(x)) sz háza(Sk_2(sz), sz) x1, . . . ,xn y P(y) x1, . . . ,xn P(g(x1, . . . ,xn)) Skolem függvény y x P(x, y) h sz háza(h, sz) x P(x, b) sz háza(Sk_3, sz) Skolem konstans

43. NORMÁLFORMÁRA HOZÁS • prenex formára hozás csak -k maradtak (a változókat standardizáltuk)  kiemelése x1 . . . xn A(x1, . . . ,xn) • univerzális kvantorok elhagyása • klózok kialakítása csak  és  műveletek A  (B  C) = (A  B)  (A  C) klózok konjunkciójának létrehozása • konjunkciók elhagyása (klózhalmaz)

44. EGYESÍTÉS/UNIFIKÁCIÓ x szereti(Fifi, x) y szereti(y, alma) szereti(Fifi, alma) kötési/helyettesítési lista: véges  halmaz, amelyben minden vi változó, minden ti term és vi-k különbözőek  = {v1t1, . . . , vntn}  = {xalma, yFifi} kötés/helyettesítés: p p formula helyettesítése -val S(x, g(x, y)){x1, z345} = S(1, g(1, y)) p és q egyesíthető -val: p = q legáltalánosabb egyesítő: legrövidebb kötési lista, amely egyesít 2 formulát

45. EGYESÍTÉSI ALGORITMUS H = { P(x, u, f(g(x))), P(a, y, f(y)) } x, y, u: változók, a: konstans, f, g: függvény szimbólum, P: predikátum szimbólum különbségi halmaz: D • D = { x, a }  = { xa } H = { P(a, u, f(g(a))), P(a, y, f(y)) } • D = { u, y }  = { xa, uy } H = { P(a, y, f(g(a))), P(a, y, f(y)) } • D = { g(a), y }  = { xa, uy, yg(a) } H = { P(a, g(a), f(g(a))), P(a, g(a), f(g(a))) } x = f(x) ??? f(f(f…. OCCUR CHECK – ELŐFORDULÁS-ELLENŐRZÉS

46. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL a1 ... am b1 ...  bk c1... cn d1 ...  dlahol dj = ai [a1 ...  ai ...  am  c1 ...  cn  b1...  bk d1 ...  dj ...  dl] bináris rezolúció: a rezolválandó literálnak csak 1-1 előfordulását választjuk ki mindkét szülő klózból tulajdonságai: • helyes • nem teljes • nemdeterminisztikus

47. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL K1: P(x)  P(a) K2: P(y)  P(a) K1 mindkét és K2 első literáljának egyesítése: H = P(x), P(a), P(y)  = xa, ya K3: P(a) K1 első és K2 mindkét literáljának egyesítése: H = P(x), P(a), P(y)  = xa, ya K4: P(a) K3 és K4 klózok rezolválása: NIL bináris rezolúcióval: K1 – 1, K2 – 1, x|y K3: P(a)  P(a) tautológia (törölhető) K1 – 2, K2 – 1, y|a K4: P(x)  P(a) K1 – 2, K2 – 2 K5: P(x)  P(y) K1 – 1, K2 – 2, x|a K6: P(a)  P(y) … NIL nem érhető el

48. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL FAKTORIZÁCIÓ • bináris rezolúció teljessé tehető faktorizációval • C klóz egy faktora: C|, ( egy legáltalánosabb egyesítő helyettesítés, amely C két vagy több literálját azonossá teszi) • klóz faktorizációja: klóz összes faktorának előállítása • klózhalmaz faktorizációja: klózhalmaz összes klózának faktorizációja • faktorhalmaz: faktorizáció műveletével kibővített klózhalmaz

49. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL P(x, a)  P(y, z)  P(z, x) klóz összes faktora: P(y, a)  P(a, y) (1. és 2. literál egyesítése,  = {x|y, z|a}) P(a, a)  P(y, a) (1. és 3. literál egyesítése,  = {z|x, x|a})) P(x, a)  P(x, x) (2. és 3. literál egyesítése,  = {y|z, z|x})) P(a, a) (1., 2. és 3. literál egyesítése,  = {x|y, z|y, y|a})) K1: P(x)  P(a) K2: P(y)  P(a) K1’: P(a) K2’: P(a)

50. TÉTELBIZONYÍTÁS REZOLÚCIÓVAL A1: Van olyan páciens, aki minden doktorban megbízik. A2: A kuruzslókban egyetlen páciens sem bízik meg. A3: Egyetlen doktor sem kuruzsló. F1: x {P(x)  y [D(y)  M(x,y)]} F2: x {P(x)  y [K(y)  M(x, y)]} F3: x [D(x)  K(x)] F3 negáltja: x [D(x)  K(x)] klóz forma: K1: P(a) K2: D(y) M(a, y) K3: P(x) K(y) M(x, y) K4: D(b) K5: K(b) F1-ből, a: skolem konstans F2-ből F3-ból, b: skolem konstans