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Tema 1

Tema 1. NÚMEROS REALES. Tema 1.3 * 1º BCT. ORDENACIÓN EN R DESIGUALDADES. ORDENACIÓN EN R. Dados dos números reales a y b, se dice que a ≤ b si y sólo si b – a es positivo o cero. La relación es una relación de orden en R, ya que cumple las siguientes propiedades:

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  1. Tema 1 NÚMEROS REALES Matemáticas 1º Bachillerato CT

  2. Tema 1.3 * 1º BCT ORDENACIÓN EN RDESIGUALDADES Matemáticas 1º Bachillerato CT

  3. ORDENACIÓN EN R • Dados dos números reales a y b, se dice que a ≤ b si y sólo si b – a es positivo o cero. • La relación es una relación de orden en R, ya que cumple las siguientes propiedades: • Reflexiva: a ≤ a • Ejemplo: 5 ≤ 5 • Antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a a = b • Ejemplo: 5 ≤ a y a≤ 5  a=5 • Transitiva: si a ≤ b y b ≤ c a ≤ c • Ejemplo: e ≤ 3 y 3 ≤ π e ≤π Matemáticas 1º Bachillerato CT

  4. DESIGUALDADES • La relación de orden en R, <, permite utilizar las siguientes expresiones entre desigualdades: • Signo: Se lee: • a < b a es siempre MENOR que b • 2 < 5 2 es siempre MENOR que 5 • a ≤ 7 a es MENOR o IGUAL que 7 • a ≤ b a es MENOR o IGUAL que b • a > b a es siempre MAYOR que b • 0 > – 3 0 es siempre MAYOR que – 3 • a ≥ b a es MAYOR o IGUAL que b • 5 ≥ b 5 es MAYOR o IGUAL que b Matemáticas 1º Bachillerato CT

  5. PROPIEDADES • Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, no varía el sentido de la misma. • Si – 3 > 1  – 3 + 4 > 1 + 4  1 > 5 • Si 3 > – 2  3 – 4 > – 2 – 4  – 1 > – 6 • Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real positivo, no cambia el signo. • Si – 2 < 5  3.(– 2) < 3.5  – 6 < 15  • Si 2 > – 1  5.2 > 5.(– 1)  10 > – 5 • Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por un número real negativo, la desigualdad cambia el signo. • Si 2 > (– 1)  (– 2).2 ? (– 2).(– 1) – 4 < 2 • Si – 3 < – 1  (– 5).(– 3) ? (– 5).(– 1)  15> 5 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  6. Tema 1.4 * 1º BCT REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES Matemáticas 1º Bachillerato CT

  7. Gráfica de Racionales REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ( Q ) NÚMEROS NATURALES ( N ) 0 1 2 3 4 R Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) - 2 - 1 0 1 2 R Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  8. NÚMEROS FRACCIONARIOS Sea el número 2 / 3 , que es un número fraccionario puro ( menor que la unidad). d d d 0 2 / 3 1 R Matemáticas 1º Bachillerato CT

  9. Método de representación. • Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1. • Desde el origen, el O, se traza una recta cualquiera. • Se divide dicha recta en tres segmentos iguales de medida cualquiera, d. • Se une el estremo final de los tres segmentos con el 1 de la recta real. • Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. • La unidad de medida, del O al 1, de la recta real ha quedado dividido en tres segmentos iguales. • Como queremos representar el número racional 2/3, tomamos dos de los tres segmentos ocasionados. • Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número racional 2/3. Matemáticas 1º Bachillerato CT

  10. OTRO EJEMPLO Sea el número 7 / 4 , que es un número fraccionario mixto 7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 + 3 / 4. d d d d 0 1 7/4 2 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  11. Método de representación. • Sobre el eje real, R, se señala la unidad de medida, el 1 y la 2. • A partir del 1 hay que llevar 3 / 4 sobre la recta real. • Desde el 1 se traza una recta cualquiera. • Se divide dicha recta en cuatro segmentos iguales de medida cualquiera, d. • Se une el extremo final de los cuatro segmentos con el 2 de la recta real. • Se trazan paralelas a la última línea trazada desde las divisiones de los segmentos a la recta real R. • La unidad de medida, del 1 al 2, de la recta real ha quedado dividido en cuatro segmentos iguales. • Como queremos representar el número racional 3/4, tomamos tres de los cuatro segmentos ocasionados. • Tenemos ya el punto que representa la medida exacta del número irracional 7/4 = 1 + 3 / 4 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  12. 1 1 Gráfica de Irracionales NÚMEROS IRRACIONALES DE LA FORMA √N Sea el número √2 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2 √2 0 1 √2 2 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  13. √2 1 1 Sea el número √3 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3 √3 √2 0 1 √3 2 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  14. √2 1 1 Sea el número √13 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13 √13 3 2 0 1 2 3 √13 Matemáticas 1º Bachillerato CT

  15. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES • INTERVALOS ENCAJADOS • Los números irracionales, salvo √N , no se pueden representar de forma exacta sobre el eje real. • Para representarlos de forma aproximada utilizamos los INTERVALOS ENCAJADOS. • Sea el número irracional x = 2,123703… • Como su valor está entre el 2 y el 3  2 < x < 3 • Como su valor está entre 2,1 y 2,2  2,1 < x < 2,2 • Como su valor está entre 2,12 y 2,13  2,12 < x < 2,13 • Y así podríamos seguir indefinidamente, cada vez con intervalos más pequeños, encajados, dentro de los intervalos anteriores. • Con ello, por aproximación, nos iríamos acercando al valor real del número. Matemáticas 1º Bachillerato CT

  16. En el ejemplo anterior: • Sea el número irracional x = 2,123703… 2,123 2,124 2,12 2,13 2,1 2,2 2 3 Matemáticas 1º Bachillerato CT

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