1. Metody ekonometryczne ćwiczenia 3 Niesferyczność macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego (2): HETEROSKEDASTYCZNOŚĆ Andrzej Torój - Metody ekonometryczne – Zima 2008/2009

2. Heteroskedastyczność a autokorelacja Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

3. Konsekwencje dla estymatorów • pozostają nieobciążone i zgodne • utrata efektywności Gdzie występuje? • modele szeregów czasowych • np. okresy wzmożonej zmienności na rynkach finansowych • modele przekrojowe • np. wariancja rosnąca wraz ze wzrostem wielkości jednostek / jednej z kluczowych zmiennych objaśniających Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

4. Szacujemy podstawowe równanie regresji: Test White’a ...i drugie pomocnicze równanie, w którym kwadrat składnika losowego uzależniamy od iloczynów (parami) wszystkich zmiennych z macierzy X (w tym stałej): np. dla modelu ze stałą [1] i regresorami [x1], [x2], [x3] regresorami w równaniu pomocniczym są 1, x1, x2, x3, x12, x22, x32, x1x2, x1x3, x2x3 ~ gdzie K – liczba zmiennych objaśniających w regresji testowej (bez stałej) wysokie R2 oznacza wysokie W i odrzucenie H0 o braku heteroskedastyczności Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

5. Ćwiczenie • plik karty kredytowe • szacujemy model, w którym zmienną objaśnianą są wydatki z kart kredytowych, zaś objaśniającymi: wiek, dochód, kwadrat dochodu i zmienna zerojedynkowa dla właścicieli domów (plus stała) • testem White’a sprawdzamy, czy istnieje heteroskedastyczność Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

6. Test Goldfelda-Quandta • dzielimy próbę (n obserwacji) na dwie podpróby (n=n1+n2) • H0: (homoskedastyczność) • H1: • odpowiednio wysoka wartość statystyki (rozkład F z podanymi w nawiasie stopniami swobody) sugeruje odrzucenie H0 • aby przetestować przeciwną H1 – odwracamy indeksy 1 i 2

7. Ćwiczenie • sprawdźmy, czy wariancja reszt losowych jest różna dla modeli w dwóch równych podpróbach, wyróżnionych ze względu na wysokość dochodu • Dane – Sortowanie danych przekrojowych • Próba – Zakres próby Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

8. Test Breuscha-Pagana • wariancja składnika losowego może być funkcją zmiennych ujętych w macierzy Z: • H0: (homoskedastyczność) • H1: (heteroskedastyczność) • odpowiednio wysoka wartość statystyki (rozkład c2 ze stopniami swobody równymi liczbie regresorów) sugeruje odrzucenie H0

9. Ćwiczenie • przetestujmy stałość wariancji składnika losowego jeszcze raz – załóżmy, że ta wariancja jest liniową funkcją: • dochodu • kwadratu dochodu • (plus stała) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

10. Odporne błędy oszacowań • Znane już Wam odporne (na autokorelację) błędy oszacowań Neweya i Westa stanowiły uogólnienie (na przypadek autokorelacji) wcześniej zaproponowanego odpornego (na heteroskedastyczność) estymatora White’a (1980): Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

11. Ćwiczenie • czy odporne błędy oszacowań w naszym modelu różnią się znacząco od zwykłych? • czy prowadzi to do zmiany konkluzji o istotności zmiennych? Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

12. Ważona MNK (WLS) (1) ~ Analogicznie do przypadku autokorelacji: przy Stąd: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

13. Ważona MNK (WLS) (2) • Podobnie jak w przypadku autokorelacji, możemy przeprowadzić estymację ważoną MNK jako estymację MNK na transformowanych danych: • Dowód: zob. Welfe (s. 117-118) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

14. WMNK – zastosowanie (1) • Skąd wziąć n nieznanych parametrów? Tak jak poprzednio, musimy przyjąć założenia pozwalające ograniczyć liczbę nieznanych parametrów, a następnie oszacować je za pomocą MNK. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

15. ZAŁOŻENIE 1 • n obserwacji pochodzi z s podprób, n1+n2+…+ns=n, w każdej z nich wariancja składnika losowego jest stała • Szacujemy modele za pomocą MNK w każdej z prób osobno (dla każdego i, ni musi być odpowiednio duże). • Korzystamy ze standardowego estymatora wariancji reszt w podpróbach (suma kwadratów reszt podzielona przez stopnie swobody). • Oszacowane estymatory wariancji podstawiamy w odpowiednie miejsca macierzy W. Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

16. ZAŁOŻENIE 2 • Wariancja i-tej reszty losowej jest funkcją pewnych zmiennych objaśniających ujętych w macierzy Z • Szacujemy model wyjściowy za pomocą MNK, stąd mamy reszty losowe. • Szacujemy równanie regresji ich kwadratów względem wybranych zmiennych objaśniających. • Podstawiamy otrzymane wartości teoretyczne do wzoru na estymator WLS: Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009

17. Literatura do ćwiczeń 5 • Welfe 4.1-4.4 • Dla utrwalenia podstaw teoretycznych heteroskedastyczności. • Dla maniaków : • Greene (2000) s. 222-225 (o wadach i zaletach poszczególnych testów na heteroskedastyczność), s.198-199 (wyprowadzenie estymatora błędu standardowego White’a odpornego na heteroskedastyczność) Andrzej Torój - Metody ekonometryczne - Zima 2008/2009