Tema 5. El lenguaje de la lógica de primer orden

1. Tema 5. El lenguaje de la lógica de primer orden b. Formalización del lenguaje natural

2. Sentencias • No todas las fórmulas expresan oraciones. Sea el predicado P  ser pequeño. Compárense: Pa Px xPx xPy Sólo Pa y xPx expresan oraciones, i.e., enunciados con valor de verdad: Pa afirma que Frodo es pequeño xPx afirma que todo el mundo es pequeño Para tener valor de verdad una expresión debe decir algo acerca de un individuo o de un conjunto de ellos

3. Sentencias • Fórmulas como Px yxPy expresan afirmaciones “indeterminadas”: Px viene a decir que x es pequeño • No hay que confundir esta expresión con ‘Alguien es pequeño’. Esta última está cuantificada y se expresa como xPx xPy también está cuantificada, pero las variables no “casan” entre sí. La variable x “pegada” al existencial no está dentro del alcance de éste.

4. Alcance del cuantificador • El ALCANCE de un cuantificador es la fórmula que le sigue inmediatamente: • El alcance de x en las siguientes fórmulas es: xPx Px x(Px  Qx) Px  Qx x(Px  xQx) Px  xQx xPx  xQx Px xyRxy yRxy yxRxyRxy xy x=y y x=y Obsérvese la función de los paréntesis

5. Ejercicio: Alcance del cuantificador • ¿Cuál será el alcance de x en estas fórmulas? Px xPx Qx x¬yRxy yxz (y=x  z=x) y¬x¬Qx xQa xxyz y(Py  xQx) x x=a  x≠b ¬yRxy z (y=x  z = x) ¬Qx Qa No es fórmula Qx x =a

6. Variables libres y ligadas • Una variable está LIGADA ssi ocurre dentro del alcance de un cuantificador que tiene esa variable inmediatamente a su derecha. • Una variable está LIBRE ssi no está ligada x ligada: x libre: xPx Px Py  xPx xPy  Px yx(Py  Rxy) y(Py  Rxy) x(yPy  x =a) xyPy  x =a

7. Variables libres y ligadas • Cada aparición de una variable o término en una fórmula, es una ocurrencia de aquélla. • Una variable puede tener ocurrencias libres y ligadas en una misma fórmula. • Compárense las ocurrencias ligadas y libres en las siguientes fórmulas: y(Rxy  xRxy) xPx Qx y(xPx  Rxy) xyz(x=z  y=z)  x=y

8. Ejercicio: variables libres y ligadas • ¿Hay alguna variable libre en estas fórmulas? la 2ª x xPx Qx x¬yRxy yxz (y=x  z=x) y¬x¬Qx  xRxx x(Qxy  yQyx) xy(z(Px  Rxy)  Pz) x(yPy(zRxz  xRzx) x x=a  x≠b no no no la 1ª y la z no fórmula: falta ) la 2ª x

9. Sentencia y fórmula libre • Una fórmula es SENTENCIA (i.e., un enunciado con valor de verdad) ssi no contiene variables libres • Una fórmula con al menos una variable libre es una FÓRMULA ABIERTA Sentencias Fórmulas abiertas Rab  Rba Rax  Rxa x(Px Qx) xPx Qx yx(Py  Rxy) x(Py  Rxy) x x=a  y y≠b x y=a  y x≠b

10. Sentencia y fórmula libre • Las sentencias pueden ser enunciados de 2 tipos: • PARTICULARES: sentencias que no contienen ninguna variable • GENERALES: sentencias que contienen alguna variable cuantificada Particulares Generales Pa y Py ¬Qb  Pc x¬Qx  yPy Rab  Rba xy(Rxy  Ryx) a=c  c=b x(a=x  y x=y)

11. Ejercicio: sentencia y fórmula libre • ¿Es sentencia? ¿De qué tipo? no es sentencia xPx  (yPyQx) xRax  x=a  x=b x(yPyzRxz)  xzRzx xQay  yQxb xy(Qxy  yQyx)  Qab xy(z(Pa  Rab)  Py) yxz (a=b  b=c) x x=a  (x=b  x=c) no fórmula sentencia general no es sentencia sentencia general sentencia general sentencia particular no es sentencia

12. Formalización del lenguaje natural • Al traducir una oración a L1 el resultado debe ser siempre una sentencia: nunca pueden quedar en la fórmula variables que no estén ligadas por ningún cuantificador. • Lo primero será, entonces: • Identificar los individuos o grupos de individuos sobre los que se está predicando algo • Identificar si la relación que establece lo que se predica de ellos es monaria, binaria, ternaria…

13. Identificando individuos Si Bilbo es hobbit, vive la Comarca: Barad-Dûr es más alto que la Torre Oscura Mi amigo el orco se ha comido a tu perro ‘Smeagol’ es el nombre hobbit de Gollum El mayor número primo es impar El padre del padre del padre del padre de Gimli era elfo

14. Identificando grupos de individuos CUANTIFICADOR UNIVERSAL • Las partículas más típicas que lo indican son: Todo es de color de rosa Todo el mundo teme a Sauron Todos los elfos aman la poesía Los elfos aman la poesía Todo aquel que odia a Sauron, ama a Frodo Cualquier enano desprecia a los elfos Quien ama a Frodo, no odia a Sam

15. Identificando grupos de individuos CUANTIFICADOR EXISTENCIAL • Las partículas más típicas que lo indican son: Alguien no teme a Sauron Hay algo en el bolsillo de Frodo Al menos un hobbit ha salido de la Comarca Algunos elfos no son cursis Unos orcos han secuestrado a Pippin Unos pocos hobbits han salvado a muchos Casi todos los orcos envidian a ciertos hobbits

16. Identificando grupos de individuos AMBIGÜEDADES El único orco bueno es Gutiérrez (particular) El único orco bueno es el orco muerto (genérico) Quien desea el Anillo, busca a Frodo (todo aquel) Nadie ha visto la cara de quien desea el anillo (el individuo particular que lo desea) La venganza es un plato que se toma frío (genérico) La venganza de Sauron será terrible (particular)

17. Identificando grupos de individuos NADIE, NINGUNO • Estas expresiones pueden formalizarse tanto con el universal como con el existencial: Nadie es perfecto = i) Dado un individuo cualquiera, no es perfecto x¬Px ii) No es cierto que al menos uno es perfecto ¬xPx Esto no supone ambigüedad, puesto que ambas expresiones son equivalentes

18. Identificando grupos de individuos Los 4 tipos básicos de enunciados Universal afirmativo: TODO P ES Q negativo: NINGÚN P ES Q Particular afirmativo: ALGÚN P ES Q negativo: ALGÚN P NO ES Q x(Px  Qx) x(Px  ¬Qx) ¬x(Px  Qx) x(Px  Qx) x(Px  ¬Qx)

19. Identificando grupos de individuos ¿Por qué ‘Todo P es Q’ se formaliza como un condicional? Compárense: • Todos los suizos son europeos • Todos los europeos son suizos Detectamos fácilmente una asimetría entre 1 y 2. 1 dice que SI uno es suizo, uno es europeo 2 dice que SI uno es europeo, uno es suizo El condicional nos permite reflejar esta asimetría.

20. Identificando grupos de individuos En cambio, en ‘Algún P es Q’ no hay tal asimetría: • Algunos suizos son banqueros • Algunos banqueros son suizos 1 y 2 afirman lo mismo: no puede ser que una sea verdadera y la otra no. Para que sea verdadera, debe ocurrir que haya al menos un individuo que satisfaga a la vez las propiedades de ser suizo y banquero

21. Identificando grupos de individuos Consideremos ‘Ningún P es Q’: Ningún orco es vegetariano Podemos leerlo de 2 maneras diferentes: i) Dado un individuo cualquiera, si es orco, entonces no es vegetariano: x(Px  ¬Qx) ii) No es cierto que haya al menos un individuo tal que es orco y vegetariano: ¬x(Px  Qx) Esto no supone ambigüedad, sino que ambas expresiones son equivalentes

22. Ejercicios de formalización Ha  Vab Si Bilbo es hobbit, vive en la Comarca: Bilbo = a, la Comarca = b ser hobbit = H, vivir en = V Barad-Dûr es más alto que la Torre Oscura B-D = a la T.O. = b ser más alto que = A Mi amigo el orco se ha comido a tu perro mi amigo…= a tu perro = b comer = C Aab Cab

23. Ejercicios de formalización a = b ‘Smeagol’ es el nombre hobbit de Gollum ‘S’ = a el nombre… = b El mayor número primo es impar el mayor nº…= a ser impar = I El padre del padre del padre de Gimli era elfo el padre de…de G = a ser elfo = E Ia Ea No tenemos aún recursos para expresar la estructura de a

24. Ejercicios de formalización x Rx Todo es de color de rosa ser rosa = R Todo el mundo teme a Sauron S = c temer = T Todos los elfos aman la poesía Los elfos aman la poesía poesía = a ser elfo = E amar = A xTxc x(Ex  Axa) Nótese que hemos “reificado” la poesía

25. Ejercicios de formalización x(Oxc  Axa) Todo aquel que odia a Sauron, ama a Frodo F = a S = c odiar = O amar = A Cualquier enano desprecia a los elfos poesía = a ser enano = N ser elfo = E despreciar = D Quien ama a Frodo, no odia a Sam F = a Sam = b amar = A odiar = O xy((Nx  Ey)  Dxy) x(Axa  ¬Oxb)

26. Ejercicios de formalización x¬Txc Alguien no teme a Sauron S = c temer = T Hay algo en el bolsillo de Frodo el b. de F. = a estar en = E Al menos un hobbit ha salido de la Comarca la Com = a ser hobb = H salir de = S Algunos elfos no son cursis ser elfo = E ser cursi = C xExa x(Hx  Sxa) x(Ex  ¬Cx)

27. Ejercicios de formalización x(Ox  Sxa) Unos orcos han secuestrado a Pippin Pippin = a ser orco = O secuestrar = S Unos pocos hobbits han salvado a muchos ser hob =H salvar = S Casi todos los orcos envidian a ciertos hobbits ser orco = O ser hob = H envidiar = E xy(Hx  Sxy) xy(Ox  Hy  Exy)

28. Cuantificación + identidad • Los cuantificadores no permiten recoger todas las sutilezas del lenguaje natural, pero con la ayuda del signo de identidad se pueden captar relaciones más complejas: Hay al menos dos P … Hay como máximo un P… Hay exactamente n P … Sólo Otro

29. Cuantificación + identidad HAY AL MENOS DOS… • Necesitamos combinar la idea de ‘al menos uno’ con la idea de diferencia: Hay al menos un hobbit: xHx Hay al menos dos hobbits: “Hay al menos un hobbit y otro hobbit y uno es diferente del otro” xy(Hx  Hy  x ≠ y)

30. Cuantificación + identidad HAY COMO MÁXIMO DOS... Hay como máximo un hobbit: • En este caso la idea de “hay al menos uno” no nos sirve, ya que de “como máximo 1” no se sigue “hay 1” “Si un individuo es hobbit y otro individuo es hobbit, el primero es idéntico al segundo” xy((Hx  Hy)  x = y) Hay como máximo 2 hobbits: xyz((Hx  Hy  Hz)  (x = y  x = z  y =z)) Las variables introducen 3 “candidatos” a hobbit y la disyunción señala que 2 de ellos son el mismo individuo

31. Cuantificación + identidad HAY EXACTAMENTE DOS… • Se trata de combinar las ideas de ‘al menos’ y ‘como máximo’ Hay exactamente 2 hobbits quiere decir que: Hay al menos 2 hobbitsYhay como máximo 2 hobbits xy(Hx  Hy  x≠y)  xyz((Hx  Hy  Hz)(x=y  x=z  y=z)) Esto se puede simplificar, haciendo que las variables x e y del  caigan bajo el alcance del  : xy[Hx  Hy  x≠y  z(Hz(x=z  y=z))]

32. Cuantificación + identidad OTRO Algunos orcos buscan a Frodo, pero han secuestrado a otro Frodo = a ser orco = O buscar = B secuestrar = S xy(Ox  Bxa  Sxy  y ≠ a ) es decir, alguien es orco, ese alguien busca a Frodo, ese alguien (x) secuestra a “otro alguien” (y), y este último “alguien” no es Frodo. La idea de ‘otro’ viene recogida en y ≠ a

33. Cuantificación + identidad SÓLO Gollum piensa sólo en el Anillo Único Gollum = a el Anillo = b pensar en = P Consideremos: Pab Esta formalización dice que Gollum piensa en el Anillo, pero no capta el hecho de que Gollum no piensa en ninguna otra cosa. Esto podemos expresarlo con la identidad: Pab x(Pax  x=b) es decir: cualquier cosa en la que piense Gollum, ha de ser el Anillo

34. Cuantificación + identidad SÓLO Sólo Gollum piensa en el Anillo Único Gollum = a el Anillo = b pensar en = P Las cosas han cambiado: la restricción lógica que impone la partícula SÓLO apunta hacia otro elemento: Pab x(Pxb  x=a) es decir: el conjunto de los que piensan en el Anillo se reduce a Gollum

35. Cuantificación + identidad SÓLO Frodo ama a Sam SóloFrodo ama a Sam Frodo ama sólo a Sam Frodo es el único que ama sólo a Sam Aab Aab x(Axb  x=a) Aab x(Aax  x=b) Aab x(Aaxx=b)  x(Axb y(Axy  y=b))x=a)

36. Cuantificación: sólo vs. todos • SÓLO no siempre se expresa recurriendo al símbolo de identidad. Cuando expresamos relaciones entre grupos por medio de un condicional, debemos tener en cuenta en qué dirección se establece dicha relación. Esto es pertinente al comparar sólo con todos: • Todos los enanos son avaros x(Nx  Ax) • Sólo los enanos son avaros x(Ax  Nx) 1 dice que si uno es enano, entonces es avaro, pero puede ser que otras criaturas también sean avaras 2 excluye esta última posibilidad: si una criatura es avara, entonces esa criatura es un enano

37. Cuantificación: sólo vs. todos • La partícula SÓLO puede aparecer en una posición diferente, relacionando grupos de individuos: • Sólo los enanos desprecian a los elfos xy((Ey  Dxy)  Nx)  xy(Ey  (Dxy  Nx)) Si uno es elfo y es despreciado, quien lo desprecia es un enano • Los enanos desprecian sólo a los elfos xy((Nx  Dxy)  Ey)  xy(Nx  (Dxy  Ey)) Si uno es enano y desprecia a alguien, ese a quien desprecia es un elfo Compárese con Los enanos desprecian a los elfos: xy((Nx  Ey)  Dxy)  xy(Nx  (Ey Dxy))

38. Cuantificación: sólo vs. todos • Las restricciones que establecen SÓLO y TODOS pueden combinarse en oraciones como • Los enanos desprecian a los elfos, y sólo a ellos xy(Nx  (Ey Dxy))  xy(Nx  (Dxy  Ey)) lo cual equivale a: xy(Nx  (Ey  Dxy)) es decir, si uno es enano, todo el que desprecia es elfo y todo el que es elfo es despreciado por él • Los enanos, y sólo ellos, desprecian a los elfos xy(Nx  (Ey Dxy))  xy(Ey  (Dxy  Nx)) lo cual equivale a: xy(Ey  (Nx  Dxy))

39. Más ejemplos de formalización Alfonsina es hermana de Blasa si y sólo si Blasa es hermana de Alfonsina: Hab  Hba Todos envidian al Papa: xExa Bush desprecia a todo el mundo: xDax

40. Más ejemplos de formalización Alguien vive en Andorra: xVxa Liechtenstein está en alguna parte: xEax Algunos americanos votaron a Bush: x (Ax  Vxb) Todos los suizos votaron a Bush: x (Sx  Vxb)

41. Más ejemplos de formalización Ningún demócrata votó a Bush: ¬x(Dx  Vxb) o también:x(Dx  ¬Vxb) Algunos envidian a los búlgaros: xy(By  Exy) Los búlgaros imitan a los griegos: xy((Bx  Gy) Ixy)

42. Más ejemplos de formalización (Sacados de M. Manzano y A. Huertas): Alicia no ama a nadie, ni a sí misma, pero Benigno, que es enfermero, la ama x¬Aax ¬AaaEb  Aba Benigno le habla a Alicia, pero ella no habla con aquellos que la aman, ni con nadie Hba x(Axa  ¬Hax)x¬Hax

43. Más ejemplos de formalización Alicia es amada pero sólo le hablan los que confían en Benigno xAxa x(Hxa  Cxb) o también: ... x(¬Cxb  ¬Hxa) Los otros enfermeros no le hablan a Alicia y desconfían de Benigno x ((Ex  x≠b)  (¬Hxa  ¬Cxb)) (desconfiar = no confiar)

44. Más ejemplos de formalización Lanzarote ama a Ginebra, pero ella no ama a todos los que la aman Aab ¬x(Axb  Abx) Lanzarote no ama a ninguno de sus amigos x(Mxa  ¬Aax) Los amigos de Lanzarote no aman a aquellos a quienes Lanzarote ama xy(Mxa  (Aay  ¬Axy))

45. Más ejemplos de formalización Únicamente los cocineros famosos se admiran a sí mismos x(Axx  (Cx  Fx)) o también: x(¬(Cx  Fx)  ¬Axx) No todos los cocineros que viven en Donostia admiran a los cocineros famosos: ¬xy([Cx  Vxa]  [(Cy  Fy)  Axy]) o también: xy(Cx  Vxa  Cy  Fy  ¬Axy)