Heat Conduction in Variable Regime: Basics and Solutions

1. I-Conduction en régime variable : Généralités a) Introduction En absence de sources internes D est la Diffusivité

2. T1 T2 x o Conduction en régime variable b- Cas du mur ( problème à une dimension) • La chaleur se propage le long de l’axe ox • Les isothermes sont des plans perpendiculaires à ox

3. Conduction en régime variable c) Résolution numérique graphique- Méthode de Schmidt Discrétisation dans l’espace et dans le temps • discrétisation en x : x o x n-1 n n+1 x x x x

4. x x x x • discrétisation en x : x Tn Tn+1 temps t M Tn-1 N o x n-1 n n+1

5. Tn,p temps t • discrétisation dans le temps t temps t+ t Tn,p+1 x n-1 n n+1 x x x x

6. Tn+1,p Tn,p temps t • discrétisation dans le temps t Tn-1,p Tn+1,p+1 Tn,p+1 Tn-1,p+1 x n-1 n n+1 x x x x L’équation de la chaleur s’écrit alors

7. Tn Tn+1 temps t • discrétisation dans le temps t M Tn-1 N Tn,p+1 x n-1 n n+1 x x x x L’équation de la chaleur s’écrit alors Si

8. Tn,p+1 n-1 n n+1 x x x x Conduction en régime variable d’où la construction Tn Tn+1 temps t M Tn-1 N

9. 0 1 2 3 4 Conduction en régime variable d) Exemple de construction t=0 Tp=0

10. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t=t 0 1 2 3 4

11. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t 0 1 2 3 4

12. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t t= 2t 0 1 2 3 4

13. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t t= 2t 0 1 2 3 4

14. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t t= 2t t= 3t 0 1 2 3 4

15. 2’ 1’ 0 1 2 0’ Conduction en régime variable Autre exemple de construction t=0

16. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t 2’ 1’ 0 1 2 0’

17. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t t= 2t 2’ 1’ 0 1 2 0’

18. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t t= 2t t= 3t 2’ 1’ 0 1 2 0’

19. Conduction en régime variable Exemple de construction t=0 t= t t= 2t t= 3t 2’ 1’ 0 1 2 0’

20. Conduction en régime variable II-Problème de Fourier : mur symétrique en régime transitoire

21. o x Conduction en régime variable a) Hypothèses • Temps t=0- tout le mur est isotherme T=T0 • Temps t=0 les parois passent à la température T=0 t=0 T0 Ts=0 2a

22. Conduction en régime variable b) résolution Méthode de séparation des variables

23. Conduction en régime variable

25. Les conditions aux limites donnent plusieurs valeurs de  donc Plusieurs valeurs des C1, C2, C3 n C1n, C2n, C3n

26. C3n=0 Mais T(x) =T(-x)

27. t=0 x= ±a T=0

28. En t =0 avec n=2p+1 t=0 T0 o x 2a avec n=2p+1

29. est sans dimension c’est le nombre de Fourier Fo

30. c) Echange par convection avec le milieu extérieur Tp t<0 Ta=Tp=T(x)=To t=0 Ta=0 Tp= T(x=±a) =? Tp Ta T(x)=? h/k Mais en surface sur la surface

31. Par analogie avec le problème de Fourier n’est plus un entier La condition aux limites sur les parois conduit à écrire à t=0

32. cotgx  xk/ha   = nombre de Biot

33. On préfere utiliser des abaques donnant la température en des points particuliers en fonction des nombres de Fourier (Fo) et de Biot Bi) Tp Bi Fo

34. x o d) Cas d’un milieu semi infini

35. En posant T=T(v) Avec v=x(t) Fonction de v Fonction de t

36. En posant A=-1/2

37. A=-1/2 en posant

38. T1 t=0 T2 o x T=T1 C. I. t<0 t=0 • x=0 , T=T2 • x=∞ , T=T1 En posant

39. Z(u)=1-erf(u) Z(u)=1-erf(u) Typiquement D=10-6SI

40. Par unité de surface de paroi

41. Par unité de surface de paroi

42. Mur symétrique Vérifier que la solution ci contre est en accord avec les conditions aux limites d’un mur symétrique

43. 0 1 2 3 4 t=0 Tp=0