Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 1 im. Żołnierzy Armii Krajowej w Gryficach • ID grupy: • 98/22_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • „Tajemnice tabliczki mnożenia” • Semestr/rok szkolny: • IV/ 2011/2012

3. Spis treści: • 1.Mnożenie • 1.1 Co to jest mnożenie? • 1.2 Tabliczka mnożenia • 1.3 Mnożenie ułamków zwykłych • 1.4 Mnożenie ułamków dziesiętnych • 1.5 Wzory skróconego mnożenia • 2. Szybkie czytanie z tradycyjnej tabliczki iloczynów • 3. Notacja wykładnicza • 4. Liczby wielokątne • 5. Liczby wielościenne

4. Spis treści: • 6. Trójkąt Pascala • 7. Tablica liczb losowych • 8. Szachownica Polibiusza • 9. Średnia arytmetyczna • 10. Własności ciągów arytmetycznych

5. MNOŻENIE

6. CO TO JEST MNOŻENIE? • Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie. • Na przykład: 3·4=4+4+4=12 • gdzie liczby 3 i 4 są czynnikami, a 12 to ich iloczyn. Powyższe oznacza, że trzy grupy po cztery elementy to razem dwanaście elementów. Z każdej z powyższych równolicznych grup można wybrać kolejno po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć cztery nowe grupy zawierające po trzy elementy: 3·4=3+3+3+3+12 • W ten sposób 3·4=4·3 , co w przypadku ogólnym nazywa się formalnie przemiennością. Należy mieć jednak na uwadze, że istnieją działania nazywane mnożeniami, które nie mają tej własności

7. TABLICZKA MNOŻENIA Tabliczka mnożenia - tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych.

8. MACIERZ

9. Za pomocą tabliczki mnożenia można przedstawiać wyniki działań w dowolnych skończonych strukturach algebraicznych, np. tabliczka mnożenia w pierścieniu .

10. MNOŻENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH • Aby pomnożyć liczbę naturalną przez ułamek (lub odwrotnie), mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik zostawiamy bez zmian. • Jeżeli chcemy pomnożyć dwa ułamki, mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego. • Podczas mnożenia jeśli to możliwe można stosować skracanie ułamków. Należy pamiętać, aby skracając zawsze wybierać jedną liczbę z licznika, drugą z mianownika. • Jeżeli chcemy pomnożyć przez siebie dwie liczby mieszane, to obie zamieniamy na ułamki niewłaściwe i mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. • Mnożenie ułamków jest przemienne i łączne

11. MNOŻENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH Mnożąc ułamki podpisujemy je w ten sposób, aby ostatnia cyfra jednego ułamka była pod ostatnią cyfrą drugiego ułamka. Mnożymy w ten sam sposób, jak w przypadku liczb naturalnych, a w wyniku oddzielamy przecinkiem tyle cyfr końcowych, ile było łącznie po przecinku w obu czynnikach. Ponieważ mnożenie jest przemienne, podczas mnożenia pisemnego warto liczbę z większą liczbą cyfr umieścić nad liczbą z mniejszą liczbą cyfr.

12. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Wzory skróconego mnożenia jak sama nazwa wskazuje służą do tego aby uprościć mnożenie wyrażeń algebraicznych, ale przydatne są dużo bardziej do innych zastosowań: Możemy używać tych wzorów w drugą stronę, czyli zapisywać wyrażenia algebraiczne które są wynikiem któregoś z poniższych wzorów, w postaci iloczynowej, odpowiadającej lewej stronie danego wzoru. Takie działanie szczególnie przydatne na przykład przy rozkładaniu funkcji na prostsze czynniki (zapis w postaci iloczynu nawiasów)

13. Szybkie czytanie z tradycyjnej tabliczki iloczynów

14. Szybkie czytanie z tradycyjnej tabliczki iloczynów • Dziś gratka dla miłośników szybkich obliczeń – prosto z Indii, metoda mnożenia liczb (także wielocyfrowych) znajdujących się w pobliżu tej samej wielokrotności liczby 10. Krótko mówiąc jeśli dwie liczby różnią się nieznacznie od jakiejś wielokrotności dziesiątki np. 28 i 26 dla 30 lub 104 i 98 dla 100, można bardzo szybko uzyskać dokładny wynik ich mnożenia. Przy odrobinie wprawy – w pamięci. • Opisany algorytm nazywa się „NikhilamNavatascaramamDasata”, i stanowi część systemu algorytmów matematycznych o nazwie VedicMath opracowanego na początku XX wieku przez hinduskiego matematyka JagadguruSwamiBharatiKrishnaTirthaiiMaharai

15. Prosty przykład na początek • Najprostszy sposób wytłumaczenia na czym polega prezentowana tu metoda mnożenia to posłużyć się przykładami wyjaśniając zasadę działania niejako po drodze. Tak więc… •   7x 8 • Najpierw należy odnaleźć odpowiednią „bazę”. Ponieważ cyfry 7 i 8 są obie blisko 10, jako bazę użyjemy właśnie dziesiątki. Obliczmy różnice: • baza 10  7    |  -3x 8    |  -2 • Teraz trzeba przemnożyć różnice. Potrzebujemy tyle cyfr ile mamy zer w naszej bazie (w tym przypadku tylko jedną cyfrę bo w 10 jest jedno 0). Gdyby zabrakło cyfr należy przed wynikiem dopisać odpowiednią ilość zer (np. 04 lub -02). Tym razem jednak nie ma problemu, bo potrzebujemy tylko jednej cyfry. Pod spodem zapiszmy odpowiedź:

16. baza 10  7    |  -3x 8    |  -2——————-           6 • Następnie należy dodać różnicę pomiędzy jedną z mnożonych liczb a 10, do drugiej z mnożonych liczb. Można zastosować dowolną kombinację, bo obie dają ten sam rezultat, tak jak na poniższym przykładzie: • 8 + (-3) = 5 LUB 7 + (-2) = 5 • Wynik (5) należy zapisać po lewej stronie: • baza 10  7    |  -3x 8    |  -2——————-  5    |   6

17. Wynik mnożenia widać jak na dłoni… • 7 x 8 = 56 • Tak na marginesie, to aby raz na zawsze zapamiętać ile to jest 7 razy 8 wystarczy zwrócić uwagę, że: • 56 = 7 x 8 czyli 5678 • Kto raz sobie to uświadomi, już nigdy się nie pomyli…

18. Mnożenie liczb dwucyfrowych i większych • To była rozgrzewka. Spróbujmy teraz z nieco większymi liczbami, aby pokazać na czym naprawdę polega siła tego algorytmu. •   98x 89 • Ponieważ obie liczby są bliskie 100, właśnie 100 wykorzystamy jako naszą bazę. Procedura jest ta sama. Po prawej stronie należy zapisać różnice pomiędzy mnożnymi i bazą. Ponieważ 100 ma dwa zera będziemy potrzebowali dwucyfrowego wyniku po prawej stronie. • baza 100  98    |  -2x 89    |  -11——————-  87    |   22 • 98 x 89 = 8722

19. Liczbę 87 uzyskać można dodając (-11) do 98 lub dodając (-2) do 89. 22 to rezultat mnożenia (-11) razy (-2). Rachunki nie są trudne i przy odrobinie wprawy można takie problemy rozwiązywać w pamięci. • Spróbujmy teraz rozwiązać problem wymagający dopisywania zer. • baza 100  98    |  -2x 97    |  -3——————-  95    |  06 • 98 x 97 = 9506 • Liczba 95 uzyskuje się dodając (-3) do 98 lub (-2) do 97. (-2) razy (-3) daje 6. Ponieważ w 100 są dwa zera potrzebujemy dwóch cyfr po prawej stronie, a więc należy dopisać jedno zero – stąd 06. • W następnej kolejności problem dwóch liczb nieznacznie większych od wielokrotności 10:

20. baza 100  105   |  +5x 102   |  +2——————-  107   |  10 • 105 x 102 = 10710 • Liczbę 107 uzyskuje się podobnie jak we wcześniejszych przykładach dodając 105 + 2 lub 102 + 5. Wartość 10 jest wynikiem mnożenia prawej strony: 5 razy 2. • Spróbujmy teraz rozwiązać problem, w którym mnożne znajdują się po dwóch różnych stronach wielokrotności liczby 10. • baza 100  104   |  +4x  98   |  -2——————-  102   | -08

21. Uwaga na ujemną wartość po prawej stronie! Aby sobie z tym poradzić należy do lewej strony dopisać odpowiednią ilość zer i dodać ujemną prawą stronę. Czyli: • 10200 + (-08) = 10192 • 104 x 98 = 10192 • Teraz spróbujmy jeszcze większych liczb: • baza 1000  995   |  -5x 998   |  -2——————-  993   | 010 • 995 x 998 = 993010

22. Liczbę 993 uzyskuje się dokładnie w ten sam sposób jak wcześniej 995 + (-2) lub 999 + (-5). Należy pamiętać o dodatkowym zerze, ze względu na trzy zera w bazie (1000). • Przedstawiana metoda działa z dowolnymi wielokrotnościami 10 (ale obliczenia mogą być bardziej kłopotliwe). Początek jest dokładnie taki sam: • baza 20 = 2 x 10  18    |  -2x 17    |  -3——————-  15    |   6

23. Tym razem to jeszcze nie koniec. Teraz należy przemnożyć lewą stronę przez ilość dziesiątek w zastosowanej bazie – w podanym przykładzie 2, czyli 15 x 2 = 30. • baza 20 = 2 x 10  18    |  -2x 17    |  -3——————-  30    |   6 • 18 x 17 = 306

24. Notacja wykładnicza

25. Notacja wykładnicza to inaczej zapis bardzo dużych liczb i bardzo małych liczb. 1)Potęga o podstawie i wykładniku naturalnym 2)Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym: - liczba naturalna dodatnia, Za pomocą potęg o wykładnikach naturalnych zapisuje się duże liczby, np: - masa Ziemi wynosi kg- największa ryba świata- płetwal błękitny waży kgZa pomocą potęg o wykładniku całkowitym ujemnym określamy bardzo małe liczby, np: - masa najmniejszego ptaka - kolibra wynosi kg- masa atomu wodoru kg

26. Reguła • Notacją wykładniczą liczby nazywamy zapis tej liczby w postaci iloczynu liczby oraz potęgi liczby 10. - liczba całkowita. • Przykład:Przedstaw w postaci notacji wykładniczej liczby: • A.5  B.171   C. 25000  D. 563400000 • Rozwiązania • Skorzystaj z reguły. • A. B. C. D.

27. STOP • Pierwszy czynnik iloczynu notacji jest liczbą • Przy dużych liczbach zawsze przesuwamy przecinek w lewo, między pierwszą a drugą cyfrę liczby, a ilość miejsc przesunięcia przecinka, to będzie wykładnik potęgi liczby 10.

28. Pamiętaj, że:Przedstaw w postaci notacji wykładniczej bardzo małe liczby: • A.   B.   C.   D. • RozwiązaniaSkorzystaj z reguły    gdzie   - liczba całkowita, zamieniając na iloczyn . • A. B. C. D. • STOP • przy małych liczbach zamienianych na notację wykładniczą przesuwamy przecinek w prawo za pierwszą cyfrę różną od a ilość miejsc przesunięcia przecinka jest wykładnikiem, ze znakiem minus, potęgi liczby

29. Liczby wielokątne

30. Liczby Wielokątne • Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ulożone w więcej niż 1 wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową. • Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy.

31. Liczby 1,4,9Liczby 1,7,19

32. Wzór na liczbę wielokątną

33. Liczby wielościenne

34. Gdy weźmiemy pod uwagę przykłady:

35. liczby pierwszego wiersza tworzą postęp arytmetyczny, drugiego wiersza są sumami liczb pierwszego, liczby trzeciego wiersza są sumami liczb drugiego wiersza. Liczby drugiego wiersza zwą się liczbami  w i e l o b o c z n e m i , trzeciego wiersza  p i r a m i d o w e m i . Zależnie od różnicy postępu arytmetycznego, liczby wieloboczne zwą się trójkątnemi, czworobocznemi, pięciobocznemi i t. d., podobnie liczby trzeciego wiersza.

36. Trójkąt pascala

37. Trójkąt Pascala • Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb: • Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia . Na przykład: • w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1. • Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa

38. Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe • Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

39. Własności trójkąta • Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki. • W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne(1, 2, 3, 4, ...). • W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...). • W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) • W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej. • Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe. • Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.

40. Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2. • Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół. • Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego:

41. Tablica liczb losowych

42. Tablica liczb losowych • Tablica liczb losowych – tablica wypełniona liczbami losowymi. Obecnie wychodzą z użycia na rzecz komputerowych generatorów liczb losowych. Pierwszą tablicę liczb losowych wydał w roku 1927 L. H. Tippett pod tytułem „Random SamplingNumbers". Zawierała ona 41600 cyfr (od 0 do 9) pobranych z danych ze spisu powszechnego w Wielkiej Brytanii. Cyfry te uzyskano z liczb wyrażających powierzchnie parafii, po odrzuceniu dwóch pierwszych i dwóch ostatnich cyfr z każdej liczby. • W 1939 R. A. Fisher i F. Yates podali tablicę 15000 cyfr losowych, uzyskaną przez wypisanie cyfr od 15. do 19. z pewnych 20-cyfrowych tablic logarytmicznych. W tym samym roku Kendall, Babington i Smith przedstawili tablicę 100000 cyfr losowo uzyskanych za pomocą „elektrycznej ruletki", czyli wirującego dysku z oznaczeniami cyfr , obserwując w przypadkowych chwilach wybrany sektor ruletki. • Tablice liczb losowych miały ograniczoną długość i zawierały tylko jeden ciąg takich liczb. W celu przedłużenia ich żywotności (nie można było stale wykorzystywać tych samych liczb, bo to przeczyłoby idei losowości) opracowywano algorytmy wytwarzania ciągów losowych na podstawie tablic.

43. Przykład • Przykładowy algorytm dla tablic zawierających pięciocyfrowe liczby: • Wybrać losowo liczbę pięciocyfrową z tablicy. • Zredukować pierwszą cyfrę tej liczby modulo 2, tak zmodyfikowana liczba pięciocyfrowa wskaże numer wiersza w tablicy. • Zredukować dwucyfrową końcówkę tej liczby modulo 50. Tak otrzymana liczba dwucyfrowa wskaże numer kolumny w tablicy. • Rozpocząć ciąg losowy od wskazanej pozycji w tablicy.

44. Szachownica polibiusza

45. Szachownica Polibiusza - rodzaj szyfru monoalfabetycznego wymyślony w starożytności przez greckiego historyka Polibiusza. • Szyfr ten przypisuje każdej literze liczbę, według następującej tabeli: • 1 2 3 4 5 • 1 A B C D E • 2 F G H I/J K • 3 L M N O P • 4 Q R S T U • 5 V W X Y Z

46. Cyfry oznaczają położenie danej litery w tabeli – pierwszą cyfrą jest numer wiersza, a drugą – kolumny. Tak na przykład tekst: • ŚCIŚLE TAJNE • po zaszyfrowaniu (nie uwzględniając polskich znaków) przyjmuje postać: 43 13 24 43 31 15 44 11 24 33 15

47. Średnia arytmetyczna

48. Średnia arytmetyczna • Średnia arytmetyczna (m n ) to suma elementów podzielona przez ich ilość. Wzór na średnią arytmetyczną ma postać:

49. gdzie: M - średnia arytmetyczna, x1,x2,...,xn - poszczególne wartości pojedynczych jednostek zbiorowości statystycznej, n - ogólna liczebność badanej zbiorowości (tj. liczba wszystkich jednostek wchodzących w skład zbiorowości statystycznej). • PrzykładUczeń ma następujące oceny na koniec semestru: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4. 5+3+4+4+5+5+4+3+4+4*10=4.1 Średnia ocen ucznia wynosi 4,1.

50. Średnia arytmetyczna jest najbardziej intuicyjną miarą oceny populacji stosowaną w codziennym życiu. Możemy mówić o średniej ocen z przedmiotu, średniej płacy w firmie, średnim wzroście pewnej grupy ludzi. Trzeba jednak uważać w badaniach statystycznych posługując się średnią arytmetyczną. Jeśli liczby w konkretnym badaniu układają się w pobliżu wartości centralnej, to średnia arytmetyczna jest dobrym sposobem wskazywania średniego wyniku. Jednak gdy liczby rozłożone są bardzo nierównomiernie, wówczas średnia arytmetyczna może wprowadzać w błąd i zamiast niej powinny być użyte inne miary.