Probabilità. Un percorso didattico ancora sulla legge della moltiplicazione

1. Probabilità. Un percorso didattico • ancora sulla legge della moltiplicazione • probabilità che dipendono da altre L. Cappello, C. Bonmassar a cura di L. Cappello 12 Giugno 2014 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

2. Probabilità di eventi non elementari –Contesti significativi • letture per la classe oppure approfondimento per alcuni che poi espongono Il daltonismo Noto il patrimonio genetico dei genitori, sono indipendenti gli eventi “avere un figlio daltonico” e “avere un figlio maschio”? • Alcune abilità coinvolte: • interpretare un testo scientifico-matematico • modellizzare in vari modi • schemi con frecce, diagramma di Punnet, grafo ad albero, … • effettuarecollegamenticon le altre discipline • raccomandato nelle Indicazioni nazionali • -giustificare eargomentare Didattica probabilità e statistica PAS 2014

3. Probabilità di eventi non elementari –Contesti significativi Un caso giudiziario diventato un classico • 18 giugno 1964. Los Angeles. Juanita Brooks viene derubata. • I testimoni individuano sei caratteristiche dei due responsabili: • uomo di colore con la barba • uomo con i baffi • donna bianca con capelli biondi • - donna con la coda di cavallo • coppia mista in un’automobile • automobile gialla 1/10 1/4 1/3 1/10 1/1000 1/10 • E’ arrestata la coppia Malcom e Janet Collins. Presenta tali caratteristiche. • L’accusa stima la probabilità che una coppia possieda una di tali caratteristiche. • Qual è la probabilità che una coppia qualunque possieda le 6 caratteristiche? … per il consulente Didattica probabilità e statistica PAS 2014

4. Probabilità di eventi non elementari –Contesti significativi Un caso giudiziario diventato un classico • 1964. La giuria dichiara colpevolela coppia arrestata. • 1968. La corte suprema dello Stato della Californiaannulla la sentenza. Quali errori sono stati commessi nel primo processo? Esaminiamone uno. • La legge della moltiplicazione ha la forma • p(A e B) = p(A) ∙ p(B) • solo se A, B sono indipendenti. • Ma le 6 caratteristiche (A = “uomo di colore con la barba” … ) • non sono indipendenti! Didattica probabilità e statistica PAS 2014

5. Probabilità di eventi non elementari –Contesti significativi Un caso giudiziario diventato un classico esaminiamo l’errore mediante un esempio • Per applicare la legge della moltiplicazione serve sapere la percentuale di • scialpinisti dell’Istituto che arrampica. In un Istituto 1 studente su 30 pratica lo scialpinismo, 1 su 10 l’arrampicata. La probabilità che un suo studente scelto a caso pratichi entrambi gli sport è - Tragliscialpinisti, gli arrampicatori saranno (ragionevolmente) più di 1/10, che è il rapporto relativo all’intera scuola. Praticare lo scialpinismo ed arrampicare non sonoeventi indipendenti! • Se, tra gli scialpinisti, gli arrampicatori sono 1/4, allora la probabilità richiesta è Quindi attenzione nell’applicare la legge della moltiplicazione! Didattica probabilità e statistica PAS 2014

6. Probabilità di eventi non elementari –Un pb istruttivo Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno due tra esse compiano gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)? Attività - Esaminare i compleanni di alcune classi - Ogni studente scrive un naturale “a caso” tra 1 e 365; poi si confrontano i numeri scritti - Esaminare i compleanni dei titolari e dell’arbitro (22+1) di alcune partite di calcio della squadra del cuore Mondiale di calcio 2014.Ogni squadra deve convocare 23 giocatori. Per 15 squadre su 32:almeno due giocatori compiono gli anni nello stesso giorno. (dati da wikipedia, 1/06) • gli studenti formulano delle congetture sul risultato del problema iniziale Didattica probabilità e statistica PAS 2014

7. Probabilità di eventi non elementari –Un pb istruttivo Risolviamo il problema - un caso più semplice: alla festa ci sono 3 persone un suggerimento: consideriamo l’evento complementare risoluzione e osservazioni - le ipotesi: non condizioni astratte …le nascite secondo l’Istat la formalizzazione: esigenza di precisione e coincisione Didattica probabilità e statistica PAS 2014

8. Probabilità di eventi non elementari –Un pb istruttivo Diamo i numeri … Ad una festa scommetti che almeno due partecipanti compiano gli anni in uno stesso giorno. Affinché la tua probabilità di vittoria sia maggiore del 50%, i partecipanti devono essere più di 182? p n Qual è il più piccolo naturale per cui tale probabilità è maggiore di un dato valore? Didattica probabilità e statistica PAS 2014

9. Probabilità di eventi non elementari –Un pb istruttivo Vogliamo comprendere Perché la probabilità del problema iniziale è “grande”? Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno una tra esse compia gli anni nel tuo stesso giorno (oltre a te)? L’idea: - nel pb iniziale (“in uno stesso giorno”) i casi favorevoli non sono 23 intervengono le coppie di persone …23 ∙ 22 /2 - in questo pb (“nel tuo stesso giorno”) le coppie sono 22 un approfondimento: compleanni e coincidenze Didattica probabilità e statistica PAS 2014

10. Probabilità che dipendono da altre –Le informazioni già incontrate nelle attività precedenti, ora approfondiamo (secondo biennio) Tavole di mortalità - ISTAT2010 scelta a caso popolazione stazionaria Qual è la probabilità che una quarantenne viva almeno fino a 70 anni? Didattica probabilità e statistica PAS 2014

11. I {40-enni} {70-enni} Probabilità che dipendono da altre –Le informazioni Vale Perché le due probabilità sono diverse? In “70 da 40” usiamo informazioni in più probabilità condizionata Più precisamente - casi favorevoli: {70-enni} - casi possibili di “70 da 40”: {40-enni} di “70”: insieme I • si ha {40-enni}I Un’altra giustificazione Didattica probabilità e statistica PAS 2014

12. Probabilità che dipendono da altre –Le informazioni Fumatori Su una popolazione di 1.000.000 individui, 32.700 hanno una certa malattia; di questi ultimi, 22.300 sono fumatori. I fumatori costituiscono il 20% della popolazione. Qual è la probabilità di avere tale malattia per un fumatore? U = {individui pop.} F= {fumatori} M = {ammalati} Insieme dei nuovi“casi possibili”? F Insieme dei “casi favorevoli”? M ∩ F invece Didattica probabilità e statistica PAS 2014

13. Probabilità che dipendono da altre –Le informazioni Due dadi Calcola la probabilità che in un lancio di due dadi, uno bianco e l’altro giallo, escano due “6” senza informazioni aggiuntive sapendo che è uscito almeno un “6” sapendo che l’esito del dado giallo è “6” • una rappresentazione grafica della questione • le risposte: a) 1/36 b) 1/11 c) 1/6 Le nuove informazioni modificano l’insieme dei “casi possibili”. proporre però anche contesti ricchi Didattica probabilità e statistica PAS 2014

14. Probabilità che dipendono da altre –Le attenzioni • alcune precisazioni … per le classi che possono apprezzarle • Ok ricorrere all’intuizione, ma attenzione: • dipendenza non è sempre “influenza” tra eventi • statistica sulle case inglesi dopo la seconda guerra mondiale • indipendenza non è sempre intuitiva • esempio del lancio di un dado Se vi sono dubbi si può ricorrere alla condizione formale di indipendenzadegli eventi A, B: Didattica probabilità e statistica PAS 2014

15. Probabilità che dipendono da altre –Il punto Dati due eventi A e B tali che p(B)≠0, diciamo probabilità condizionata di A dato B, la probabilità che si verifichi l’evento A qualora si sappia che si è verificato B. E la indichiamo con U U A B Insieme dei nuovi “casi possibili” = B Insieme dei “casi favorevoli” = A ∩ B A∩B Si ha dove le probabilità p sono valutate rispetto all’insieme U in cui si considerano contenuti A, B. Didattica probabilità e statistica PAS 2014

16. Probabilità che dipendono da altre –Il punto Una giustificazione della formula • Si è verificato B; qual è la nuova probabilità di A? Con lo schema classico U U entrambe le misure sono effettuate rispetto allo stesso insieme U A B • Ma nella interpretazione geometrica della probabilità, la probabilità • di un insieme è una sua misura. Pertanto Riferimento per la formula (*)e attività che la preparano o consolidano Didattica probabilità e statistica PAS 2014

17. Probabilità che dipendono da altre –Il docente • Quanto appena proposto sulla probabilità condizionata è rivolto agli studenti di scuola secondaria. • ll docente dovrebbe tenere presente che • la formula (*) è la definizione di probabilità condizionata nell’ambito • della teoria assiomatica • A | B non è un evento • a partire dalla definizione (*) si dimostra che nell’approccio classico la • probabilità condizionata è la probabilità dell’evento sapendo che …(slide 15) • questo ultimo risultato è il significato di probabilità condizionata • nell’approccio classico Didattica probabilità e statistica PAS 2014

18. Probabilità che dipendono da altre –Uno dei pb iniziali Ancora test clinici Il test “Elisa”, relativo all’HIV, può fornire esiti errati. Precisamente vi è una probabilità del 99,9% che il test dia esiti positivi nei soggetti che effettivamente hanno contratto l’HIV (sensibilità del test) ed una probabilità del 99,9% che il test risulti negativo nei soggetti che non hanno l’HIV (specificità del test). Consideriamo ora una certa popolazione. Assumiamo che lo 0,3% della quantità di individui di tale popolazione abbia l’HIV (prevalenza della malattia). Il test, applicato ad un individuo scelto a caso in tale popolazione, ha dato esito positivo. Qual è la probabilità che tale individuo sia in realtà sano, cioè non abbia l’HIV? • è opportuno aver prima affrontato i problemi test clinici “diretti” • (slide 36 e 37 dell’incontro 3) Didattica probabilità e statistica PAS 2014

19. T - T+ 99,9% di Mc Mc 0,3% dei casi iniziali 99,9% di M M Probabilità che dipendono da altre –Uno dei pb iniziali • Modellizziamo il problema 0,003 prob. condizionata MC M 0,999 0,999 T - T+ T - T+ cella: evento intersezione cammino: evento intersezione • E’ richiesta la probabilità dell’evento • “l’individuo non è malato, sapendo che il test ha avuto esito positivo”, ossia Attenzione all’evento “sapendo che l’individuo non è malato, il test ha avuto esito positivo” -l’insieme dei casi possibili è rappresentato sulla tabella dalla prima riga - la sua probabilità si denota con - si ha Didattica probabilità e statistica PAS 2014

20. Probabilità che dipendono da altre –Uno dei pb iniziali • Risolviamoil problema risoluzione completa e osservazioni • Interpretiamoil risultato • : si controlla l’esito con il test Western Blot • - è trascurabile (da calcolo analogo); questo è importante? Didattica probabilità e statistica PAS 2014

21. Probabilità che dipendono da altre –Uno dei pb iniziali • Esploriamola situazione • Come varia la probabilità richiesta al variare dei valori in ipotesi? proviamo • Il test ha sensibilità e specificità “alte”. Perchè allora non è “bassa” la • probabilità che il test positivo sia errato (è circa il 25%)? La malattia ha bassa prevalenza, pertanto ci sono “molti” sani ; la probabilità di falso è “bassa” ma è applicata a “molti”: quindi ci possono essere “non pochi” falsi. • Un esempio numerico. Popolazione di 1.000.000 di individui: • a) 997.000 sani; tra essi i test positivi “sono” lo 0,1%, ossia 997falsi • b) 3.000 malati; tra essi i test positivi “sono” il 99,9%, ossia 2997 veri • Così, tra i test positivi, i falsi non sono pochi rispetto ai veri. L’attività sviluppa le abilità di previsione e controllo dei risultati del problema. Didattica probabilità e statistica PAS 2014

22. Probabilità che dipendono da altre –Uno dei pb iniziali • E seapplicassimo direttamente la formula di Bayes? • l’espressione è uguale a quella ottenuta con il procedimento grafico • - anzi, per ricavare la formula basta ripercorrerlo: • dà la probabilità (a posteriori) delle “cause” … note quelle degli “effetti” • la formula compare nelle Indicazioni nazionali • Perché preferire l’approccio mediante modelli grafici? • per comprendere il significato del procedimento risolutivo • per controllarlo • - per poter ricostruire il procedimento a lungo termine Didattica probabilità e statistica PAS 2014

23. 0,10 MC M 0,50 0.01 T - T+ T+ T - Probabilità che dipendono da altre –Letture e attività • letture dal primo incontro • Test antidoping (primo incontroslide 9 – Medici_tedeschi.pdf) Qual è la probabilità che l’atleta positivo al test sia effettivamente dopato? Assumi che la probabilità di risultare positivo per il non dopato sia dell’1%, quella di essere positivo per il dopato sia del 50%, e che i dopati siano il 10% degli atleti. Pb analogo all’ultimo sui test clinici. Ora M = “l’individuo è dopato”. Un modello che mostra le informazioni fornite: Il procedimento è analogo: Eventualmente prima risolvere il problema su 1.000 atleti, usando le frequenze … Didattica probabilità e statistica PAS 2014

24. Probabilità che dipendono da altre –Letture e attività • Processo ad O.J. Simpson ( primo incontro slide 12 – Uomini_picchiano_donne.pdf) a) Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0,04% è uccisa da lui b) Studi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è uccisa da lui - Rappresenta con diagrammi di Venn le due situazioni ora descritte. - Esprimi ciascuna situazione mediante la probabilità condizionata. - Quale tra le 2 valutazioni di probabilità ti sembra adeguata? Perché? B B b) a) C C D B ={picchiate compagno} C ={uccise da compagno} D ={picchiate compagno e uccise} • Filtri anti-spam (primo incontro slide 13 – Antispam.pdf) Didattica probabilità e statistica PAS 2014