Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire

1. Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire EtienneBertaud du Chazaud Lundi 20 décembre 2004 PHASE

2. Position du problème Les aérogels Guide d’onde 1D Corde vibrante auto-similaire

3. Les structures auto-similaires… • Objets Mathématiques • Objets Physiques

4. ×1/3 Les fractales de masse Tapis de Sierpinski D = Log(8)/Log(3) ≈ 1,89 Ordre 2 Ordre 4 Ordre 0 Ordre 1 Aérogel de silice D ≈ 2,4

5. ×1/3 Les fractales de surface Île de von Koch  D = Log(4)/Log(3) ≈ 1,26 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4 Côte bretonne D ≈ 1,22

6. Vibrations of Fractal Drums Sapoval et al., Physical Review Letters 67-21,1991 • Milieu de propagation homogène • Les limites correspondent à une fractale de surface Pose photographique (1s) sur un mode localisé, Sapoval, Gobron et Margolina

7. Density of state on fractals : fractons Alexander et Orbach, Journal de Physique-Lettres 43,1982 • Milieu de propagation correspondant à une fractale de masse sur une certaine échelle • Des modes phonons et fractons sont observés Modes étendus Modes localisés r(w) est la densité d’état, c’est à dire le nombre de modes propres compris dans la bande dw à la fréquence w.

8. Résine époxy Céramique piézo-électrique Direct experimental observation of fracton mode patterns in one-dimentional Cantor composite Alippi et al., Physical Review Letters 68-10,1992 • Alternance de résine époxy et de céramique piezo-électrique • Le schéma de construction est une pré-fractale de Cantor d’ordre 4 Modes étendus dans la structure Modes localisés dans la structure

9. Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? • Création et étude d’une structure mécanique à 1D • Création et étude d’une structure mécanique à 2D • L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

10. Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? • Création et étude d’une structure mécanique à 1D • Création et étude d’une structure mécanique à 2D • L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

11. y Etude numérique de la corde chargée Modèle mécanique discret Cantor ordre 3 (D ≈ 0,63) Système continu p diffuseurs ; Modèle mécanique discret de N masses Solution du problème aux valeurs propres

12. Représentation de quelques modes propres étendus d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2,45 mode 5 – w/w0 = 2,46 mode 27 – w/w0 = 24,30

13. Représentation de quelques modes propres localisés d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2,45 mode 21 – w/w0 = 13,41 mode 23 – w/w0 = 16,90

14. A propos de la localisation… Log(|y(x)|) y(x) Localisation forte (décroissance exponentielle)

15. Représentation de l’ensemble des modes propres d’une structure d’ordre 3 N=108 ; b = 2,45 w/w0

16. Ordre 3 – mode 5 – w/w0=2,46 Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – b = 2,45 DOS intégrée d’une structure non chargée de masse identique Ordre 3 – mode 21 – w/w0=13,41 Ordre 3 – mode 27 – w/w0=24,30 Ordre 3 – mode 23 – w/w0=16,90

17. Vibration d’un tiers de corde (2/9) Vibration d’une corde entière (2/3) Vibration de deux neuvième de corde (4/27) Ratio de participation Structure d’ordre 3 – b = 2,45 Mode 21

18. ×3 ×3 Caractère auto-similaire de la densité d’état intégrée Structure d’ordre 5 – b = 1,86

19. b = 1,09 b = 1,09 b → +∞ b → +∞ b = 0,52 b = 0,52 b = 0 b = 0 b = 0,06 b = 0,06 Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement b Structure d’ordre 3

20. Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement b Structure d’ordre 3 Rôle de la masse des diffuseurs Rapport b de chargement

21. Dans la corde vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 1D] • La localisation est observée. • Elle correspond à une zone de valeurs particulieres de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. • Le rôle du rapport de chargement est connu. • Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. • On peut déterminer les zones de localisation et les adapter (rôle de b), déterminer la dimension fractale D du modèle, l’ordre de pré-fractalité n à partir des courbes.

22. Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? • Création et étude d’une structure mécanique à 1D • Création et étude d’une structure mécanique à 2D • L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

23. Surcharges ordre 3 (p diffuseurs) Etude numérique de la structure 2D Principe de construction du système auto-similaire Pré-fractale de Sierpinski, ordre 3

24. Modèle mécanique discret(détermination des modes propres) Modèle mécanique discret (yij→yn et n=f(i,j)) Solution du problème aux valeurs propres

25. Modes propres et Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – b = 8,9 Ordre 3 Ordre 0

26. A propos de la localisation… Tracé de Log(|z(x,y)|) le long de la médiane Localisation forte (décroissance exponentielle)

27. Vibration d’une membrane de côté l (4/9) Vibration d’une membrane de côté l/3 (2/27) Ratio de participation Structure d’ordre 3 – b = 8,9

28. Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 wp représente la fréquence au-delà de laquelle la localisation est observée wt représente la fréquence au-delà de laquelle l’onde n’est plus bloquée

29. Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3

30. Carte de la localisation Structure d’ordre 3 wmin,b- - wmax,b++

31. Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2 b= 0,27

32. Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2

33. Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2 b= 0,27

34. Etude expérimentale d’une membrane d’ordre 2 b= 0,27

35. Dans la membrane vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 2D] • La localisation est observée. • Elle correspond encore à une zone de valeurs particulières de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. • Le rôle du rapport de chargement est connu. • Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières.

36. Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? • Création et étude d’une structure mécanique à 1D • Création et étude d’une structure mécanique à 2D • L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? PLAN

37. Fractales déterministes ou permutées : Influence de l’arrangement des sous-parties

38. Localisation principale Localisation secondaire Densité d’état intégrée et ratio de participation pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – b = 2,45

39. Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – b = 2,45 Localisation principale w/w0=13,41 Localisation secondaire w/w0=16,90

40. Densité d’état intégrée pour différents arrangements Cas de la membrane – a = 8,9 A 2D

41. Ratio de participation pour différents arrangements Cas de la membrane – b = 8,9

42. Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la membrane – b = 8,9

43. Les fractales de masse présentent-elles un comportement vibratoire particulier ? Conclusions et perspectives Conclusions • Localisation à 2D comme à 1D. • « Cross-over » dans la densité d’état intégrée. • Le ratio de participation permet de confirmer ces résultats. • L’évolution de la zone de localisation avec la masse est connue. • Le système n’est pas trop sensible aux permutations Perspectives • Design de filtre. • Etude d’une structure 2D rigide. • Peut-on imaginer des résultats comparables sur des objets 3D ?