А. Швецов , A. M. Сатанин, A. Гельман, A. Zagoskin, S. Savel'ev, F. Nori

1. Электродинамические свойства квантовых метаматериалов на основе волноводных линий, содержащих джозефсоновские переходы А. Швецов, A. M. Сатанин, A. Гельман, A. Zagoskin, S. Savel'ev, F. Nori

2. План доклада • Модель волноводной структуры • Квантовый фотонный кристалл • Эффекты бистабильности в квантовом метаматериале

3. Мотивация Создание материалов с новыми электродинамическими свойствами Возможность управления свойствами материалов путем изменения квантовых состояний элементов, входящих в материал D.R. Smith and J.B. Pendry, J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 23, 391 A. Zharov et al., PRL, V.91, 037401

4. N. Lazarides Department of Physics, University of Crete, P.O. Box 2208, 71003 Heraklion, Greece G. P. Tsironis Facultat de Fisica, Department d’Estructura i Constituents de la Materia, Universitat de Barcelona, Av. Diagonal 647, E-08028 Barcelona, Spain

5. Волноводная линия, содержащая джозефсоновские переходы PRB 77, 144507 (2008) by A.L. Rakhmanov et al.

6. Энергия системы Энергия поля в пассивной части волноводной линии Энергия системы в активной (содержащей джозефсоновские переходы) части волноводной линии

7. Двухуровневое приближение Низколежащие возбуждения джозефсоновских переходов Гамильтониан кубита с номером n: Волновая функция:

8. Уравнения для поля Активная область: Пассивная область:

9. Уравнение для поля. Случай непрерывной среды. Поле достаточно слабое: Волновое уравнение: Определяется квантовым состоянием кубитов в активной области

10. Квантовая динамика на решетке Эволюция вектора состояния описывается уравнением Шредингера: Оператор эволюции: t 0 ∆t 2∆t j∆t N∆t

11. Схема Кэли Оператор эволюции на интервале ∆t: Аппроксимация: ! где Î – единичный оператор

12. Метод канонических преобразований

13. Спектр фотонного кристалла Спектр фотонного кристалла, полученного для волноводной линии, содержащей джозефсоновские переходы. Предполагается, что состояния двойных джозефсоновских переходов модулированы с пространственным периодом 2L. Так, переходы с координатами 0<z<Lнаходятся в состоянии γ, а с координатами L<z<2L – в состоянии δ. Здесь Vγγи Vδδ – матричные элементы оператора взаимодействия с электромагнитным полем. Аналитическое выражение для спектра такой структуры имеет вид:

14. Создание периодической населенности кубитов Встречные импульсы: Частотаω≈ωJ/2, скоростьυ̃=c, ширина импульсов l=240L0. Резонансное приближение:

15. Населенность кубитов после прохождения импульсов Поле, действующее на n-ый кубит: Вероятность возбуждения n-го кубита: Периодическая функция с периодом p/k Возможность контролировать период записи путем изменения длины волны импульсов

16. Закон дисперсии квантового фотонного кристалла Лианеализованное уравнение: Поиск решения в виде: Ширина щели:

17. Распространение электромагнитных импульсов через волноводную линию с периодической модуляцией населенности кубитов Пробный (слабый) импульс. Частотаw=ωJ/2 (соответствует середине щели), скоростьυ̃=c, ширина импульса l=240L0. t=0 Частичное прохождение импульса – ширина щелиδω1=0.04ωJ сравнима с неопределенностью частоты импульса Δω=2πυ̃/l=0.05ωJ t=500ωJ-1 Частота начального импульса лежала выше щелиw=0.6ωJ, скоростьυ̃=c, ширина импульса l=240L0. t=500ωJ-1

18. Анализ квантового состояния кубитов по фазе слабого сигнала Волновое уравнение: Функцияχдостаточно мала: Частотаω=0.5ωJ, скоростьυ̃=c, ширина импульсов l=40L0. Решение ищется в виде: Волновое уравнение приводится к виду:

19. Решение волнового уравнения для случая малогоχ Общее решение волнового уравнения: Решение волнового уравнения для случая гауссовой огибающей импульса: Случай : В движущейся точке z-υ̃t=0 сдвиг фазы определяется величиной χ/2ω

20. Изменение фазы сигнала. Численное моделирование t=125ωJ-1 Закон дисперсии для волн в активной области: Длина активной области lχ=80L0, χ00=-0.04ω2J Групповая скорость распространения импульса в активной области: Время прохождения импульса через активную область: Изменение фазы согласно теоретическим оценкам: f=-1.6 В движущейся точке z-υ̃t=0поле должно быть близко к нулю.

21. Коэффициент прохождения через волноводную линию Волновое уравнение (учет кубического члена в правой части): Решение ищется в виде:

22. Волновое уравнение с учетом кубической нелинейности Система уравнений имеет решение: где ξ и η - постоянные Коэффициент прохождения через волноводную линию Т=1 при выполнении условия:

23. Бистабильность χ0=0.04ωJ2 Небольшие изменения в χ (в квантовом состоянии кубитов) ведет к сильному изменению коэффициента прохождения. (a)χ0=0.04ωJ2 (b)χ0=0.044ωJ2 Вкладка: коэффициент прохождения Т КрасныйA=0.1 Голубой A=0.14 Синий A=0.16 (для всех χ0=0.1ωJ2) χ0=0.044ωJ2 Частота ω=0.23ωJ , скорость υ̃=c, ширина импульсов l=960L0, амплитуда начального импульса A=0.1, длина активной области L=160L0. Возможность определять небольшие изменения квантовых состояний последовательности кубитов по отклику среды

24. Spectroscopy of a Qubit Array via a Single Transmission Line M.Jerger, et al., arXiv:1102.0404v1(2011)

25. Выводы • В работе рассмотрено распространение электромагнитных импульсов в волноводной линии, содержащей джозефсоновские переходы, которые формируют двухуровневые системы (кубиты). Показана возможность создания пространственной периодической модуляции населенности кубитов при помощи электромагнитных импульсов, распространяющихся навстречу друг другу вдоль волноводной линии. При этом период модуляции определяется длиной волны импульсов как λ/2. Полученная в результате структура проявляет свойства фотонных кристаллов, в ней могут наблюдаться энергетические щели в спектре частот, причем параметры такого кристалла определяются квантовым состоянием кубитов и могут варьироваться путем изменения параметров среды. • Наличие периодической модуляции населенности кубитов можно обнаружить по сильно нелинейному отклику, проявляющемуся в существовании областей частот, в которых среда становится непрозрачной для слабых электромагнитных импульсов. • Показано, что квантовое состояние последовательности кубитов можно анализировать при помощи слабых электромагнитных импульсов. • Малые изменения квантового состояния кубитов вызывает сильное изменение коэффициента прохождения волны, что дает возможность изучать состояния кубитов по отклику активной среды.