APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LAS MATERIAS DE LA MATEMÁTICAS

1. Grupo 10 Rocío Montañés Alonso Elena Regodón Domínguez Antonio Manuel Tofé Morejón APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LAS MATERIAS DE LA MATEMÁTICAS LOS MOSAICOS 02/03/2011

2. 1. Los mosaicos como tema transversal 1.1 La transversalidad en la enseñanza 1.2 El papel de los mosaicos 2. Elementos para contextualizar 3. Elaboración de mosaicos 4. Webgrafía

3. 1. Los mosaicos como tema transversal La transversalidad en la enseñanza “En la actualidad constituye un interés social unánimemente compartido el educar no sólo para unos determinados totales productivos, sino también para la tolerancia, para la convivencia pacífica y democrática, para la participación ciudadana, para el respeto hacia los derechos humanos y el reconocimiento de la igualdad entre las personas, para la salud y la protección del medio ambiente y, no en último lugar, para el ocio y la cultura”. Ministerio de Educación y Ciencia - 1989

4. 1. Los mosaicos como tema transversal La transversalidad en la enseñanza ¿Qué es un tema transversal? • Los temas transversales son un conjunto de saberes basados en actitudes, valores y normas que responden a diversos problemas sociales. ¿Cuáles son sus características? • Su carácter transversal: deben ser tratados por todas las materias. • Tratan problemas de relevancia social. • Su tratamiento implica una importante reflexión moral.

5. 1. Los mosaicos como tema transversal La transversalidad en la enseñanza Temas transversales que propone el MEC • Educación ambiental • Educación para la paz • Educación del consumidor • Educación vial • Educación para la salud • Educación para la sexualidad • Educación cívica y moral Tema transversal añadido por la Junta de Andalucía • Cultura andaluza

6. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos ¿Desde dónde pueden abordarse los mosaicos en las Matemáticas de la ESO? 1º 2º 3º 4º Posiciones de dos rectas en el plano X Polígonos: clasificación, perímetro, área,… X Medida de ángulos, operaciones con ángulos X X Lugares geométricos: mediatriz, bisectriz,… X Semejanza: teorema de Thales, homotecia,… X X X Movimientos en el plano: traslación, giro y simetría X X X

7. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos ¿Desde dónde pueden abordarse los mosaicos en las Matemáticas de la ESO? Pero no sólo en Geometría… • Pautas y regularidades. • Divisibilidad. • Ecuaciones. • Proporcionalidad. • Trigonometría. • … 7

8. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos ¿Desde qué aspectos pueden abordarse los mosaicos? Artísticos • Mosaicos en la antigüedad. • Mosaicos nazaríes. • Mosaicos de Escher. Informáticos • Manejo de aplicaciones informáticas. Científicos • Formas en la Naturaleza: colmenas, tejidos,… 8

9. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos Tecnológicos • División de superficies en polígonos regulares. Históricos • Etapa musulmana en la Península. • Antropología. Culturales • Influencia de los mosaicos en la cultura árabe.

10. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos ¿Desde qué asignaturas pueden abordarse los mosaicos? • Matemáticas • Educación Plástica y Visual • Dibujo Técnico • Tecnología • Informática • Historia • Ciencias de la Naturaleza

11. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos ¿Qué competencias básicas se pueden cubrir con los mosaicos? Comunicación Lingüística Crear composiciones mediante traslaciones, simetrías y giros en el plano Matemática Analizar figuras y configuraciones geométricas presentes en la naturaleza, la arquitectura, los diseños cotidianos, el arte,… Conocimiento e interacción con el mundo físico Tratamiento de la información y competencia digital Aplicar y saber apreciar la belleza que generan los movimientos en el plano Social y ciudadana Reconocer las aportaciones de las diferentes culturas en el mundo del arte y la geometría Cultural y artística Aprender a aprender Uso de software informático para el diseño y la construcción de mosaicos Autonomía e iniciativa personal

12. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos ¿Qué objetivos de la ESO pueden cubrirse con los mosaicos? • Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal. • Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación. • Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

13. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos • Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural. • Apreciar lacreación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

14. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos ¿Qué objetivos de las Matemáticas en ESO pueden cubrirse? • Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación. • Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. • Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje.

15. 1. Los mosaicos como tema transversal El papel de los mosaicos • Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. • Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica.

16. 1. Los mosaicos como tema transversal 2. Elementos para contextualizar 2.1 Algo de historia 2.2 Mosaicos en nuestro entorno 3. Elaboración de mosaicos 4. Webgrafía

17. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia • Los primeros mosaicos datan de la Edad del Bronce. • Para su elaboración se utilizaban guijarros de colores. • Mosaicos en Mesopotamia y en Grecia. La caza del león (s IV aC)

18. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia • Los griegos sustituyeron los guijarros por teselas. • Mosaicos más resistentes y elaborados. La casa de los delfines (s V aC)

19. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia • Los mosaicos tomaron gran protagonismo en el Imperio Romano. Vertumnus (s III dC) Euterpe (s II dC)

20. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia • Los mosaicos nazaríes hacen uso de construcciones geométricas. • Una figura regular se transforma en otra muy diferente que, pese a ello, sigue cubriendo el plano. • Los mosaicos nazaríes tienen su máxima representación en la Alhambra de Granada. • La dinastía nazarí, descendiente de Yusuf ben Nazar, reinó en Granada desde el siglo XIII al XV. • El esplendor de Granada y la Alhambra quedó reflejado en sus construcciones.

21. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia Sala de la Barca Patio de Arrayanes

22. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia “Todo allí es delicado y bello, pintado y decorado como obra de hadas, hadas que sin duda conocían los goces y estímulos de los espíritus románticos”. Washington Irving - Cuentos de la Alhambra (1832)

23. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia Palacio de la Bahía de Marrakech Real Alcázar de Sevilla

24. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia • Actividades • Visita a la Alhambra de Granada. • Visita al Alcázar de Sevilla. • Visita a las fábricas de azulejos de la Cartuja. 24

25. 2. Elementos para contextualizar Algo de historia Los mosaicos en el siglo XX: Maurits Cornelis Escher • Personaje muy estudiado por los matemáticos. • Amante de los teselados y las figuras imposibles. • Sus visitas a la Alhambra determinaron su aportación a los mosaicos.

26. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno “La armonía de proporciones satisface los sentidos. Es una realidad que el hombre suele aprobar instintivamente formas geométricas que se rigen por leyes determinadas, tanto si forman parte de la naturaleza, el caso de las colmenas, así como si son obras de su propia mano”. Santo Tomás de Aquino – siglo XIII Actividad: Cita tres elementos de tu entorno construidos mediante mosaicos.

27. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno

28. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno

29. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno Pavimento de las aceras

30. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno Mosaico fluido de la membrana celular • Los lípidos recubren la célula distribuyéndose en forma de mosaicos.

31. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno Placas solares • El plano se distribuye de la forma más sencilla: cuadrados. • No se admiten “fracciones de placa”  Distribución en damero.

32. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno Colmena de abejas • Hay que distribuir el plano equitativamente  triángulo, cuadrado o hexágono. • Hay que economizar la cera que divide el plano (el perímetro) y maximizar el área. • Para un mismo perímetro cuantos más lados tenga el polígono mayor área cubre.

33. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno • Actividad • Tenemos una cuerda de una longitud determinada l. ¿Qué figura debemos construir para maximizar el área encerrada por la misma? • Y si queremos que además esa figura recubra el plano por completo, ¿cómo debería escogerse? 33

34. 2. Elementos para contextualizar Mosaicos en nuestro entorno Celdas de telefonía móvil

35. 1. Los mosaicos como tema transversal 2. Elementos para contextualizar 3. Elaboración de mosaicos 3.1 Definición de mosaico 3.2 Mosaicos regulares 3.3 Mosaicos semirregulares 3.4 Mosaicos irregulares 3.5 Mosaicos Nazaríes 3.6 Mosaico de Escher 4. Webgrafía 35

36. 3. Elaboración de mosaicos Definición de mosaico Definición Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas. Han de cumplirse dos condiciones: • No pueden superponerse. • No pueden dejarse huecos sin recubrir. • Ejemplo: mosaico compuesto por cuadrados y octágonos Actividad: ¿Conoces algún mosaico? Busca en Internet o intenta dibujar alguno. 36 36 36

37. 3. Elaboración de mosaicos Definición de mosaico Actividad: Construye mosaicos combinando los polígonos de madera facilitados. ¿Con cualquiera de ellos es posible recubrir el plano? 37 37 37

38. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos regulares Definición Un mosaico regular está formado por un único polígono regular. Actividad: • ¿Qué polígonos regulares pueden formar mosaico? • Dibuja en Cabri algunos polígonos regulares y justifica cuáles pueden formar mosaico y cuáles no. 38 38 38 38

39. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos regulares • ¿Cuál es la clave? • ¿Por qué solo estos polígonos y no otros? 39 39 39 39

40. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos regulares Respuestas y conclusiones: • Como ya has deducido la condición de formar mosaico es que en la suma de ángulos en cada vértice sea una circunferencia completa, 360 º. • Solamente tres polígonos regulares rellenan el plano sin solaparse ni dejar huecos: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. • Los ángulos interiores de estos tres polígonos regulares son 60º, 90º y 120º, respectivamente. 40 40 40 40 40

41. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos regulares • Respuestas y conclusiones: • Se observa que, para que un polígono regular pueda rellenar el plano sin dejar huecos ni producir solapamientos, el ángulo interior debe ser un divisor de 360º. • Se trabaja así la divisibilidad. 41 41 41 41 41

42. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos semirregulares Un mosaico es semirregular si para su construcción se utilizan dos o más tipos de polígonos regulares con sus vértices en contacto, repitiéndose la misma disposición geométrica de los polígonos en todos los vértices del mosaico. • Como ya hemos visto con los mosaicos regulares, el problema geométrico de encontrar polígonos que rellenen el plano se reduce a un problema aritmético: buscar polígonos cuya suma de ángulos sea 360º. • El número mínimo de polígonos en cada vértice es 3, y el número mínimo de lados de cada uno de los polígonos también es 3 (triángulo equilátero). 42

43. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos semirregulares ¿Es posible crear un mosaico con cuadrados y octógonos regulares? 90º · x + 135º · y = 360º x = 1 y = 2 Ese mosaico se construye con un cuadrado y dos octógonos. Se trabajan las ecuaciones. 43

44. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos semirregulares Actividad Sabiendo que existen 8 mosaicos semirregulares, halla los polígonos que los forman y construye los mismos. 44

45. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos semirregulares Solución 45 45 45 45 45 45 45

46. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos semirregulares Actividad El siguiente mosaico está formado sólo por polígonos regulares, ¿de qué tipo sería? 46

47. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos semirregulares Actividad ¿Cuál de los tres patrones mostrados es el que se repite en el siguiente mosaico? Se trabaja la detección de pautas y regularidades. 47

48. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos irregulares Mosaico a partir de un triángulo irregular. • Simetría central • Traslaciones 48

49. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos irregulares • Actividad: • Construye el siguiente triángulo en Cabri. • Mediante una simetría central construye el paralelogramo. • Tesela el plano con el triángulo. 49

50. 3. Elaboración de mosaicos Mosaicos irregulares 4. Sitúa el puntero del ratón en un vértice y deforma el mosaico obtenido. 5. ¿Qué observas? ¿A qué es debido? Solución: Tras deformarse, sigue teselando el plano al haber sido construido mediante simetría central.