MATEMÁTICAS 3

1. MATEMÁTICAS 3

2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN • LIMITE de una función f en un punto x=a, cuando x tiende a “a” es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor “a” • lím f(x) • xa • Una función f tiene límite L en el punto xo si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a xo, la sucesión de sus correspondientes imágenes f(x) tiende a L, y se expresa: • lím f(x) = L • xxo • EJEMPLO: • lím x2 = 22 = 4 • x2 • Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … • Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, …

3. Una sucesión ( o una función ) que tiene límite se llama … • Sucesión ( o función ) CONVERGENTE. • Una sucesión ( o una función ) que no tiene límite se llama … • Sucesión ( o función ) DIVERGENTE. • Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. • Una sucesión ( o una función ) que presenta dos límites diferentes se llama … • Sucesión ( o función ) OSCILANTE. • EJEMPLOS: • lím (3.x2 +1) / x2 = 3  FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL oo • xoo • lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 • x1 • lím (- 1)n = +/- 1  FUNCIÓN OSCILANTE, donde Domf(x) = N • noo

4. PROPIEDADES OPERATIVAS • a) Si existe límite, éste debe ser único. • b) El límite de una suma de funciones es la suma de los límites: • lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x) • xa xa xa • c) El límite de una diferencia de funciones es la diferencia de los límites: • lím (f(x) - g(x)) = lím f(x) - lím g(x) • xa xa xa • d) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: • lím (f(x) . g(x)) = lím f(x) . lím g(x) • xa xa xa • e) El límite de una división de funciones es la división de los límites: • lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) • xa xa xa • f) El límite de una potencia es la potencia de los limites : • g(x) lím g(x) • lím (f(x)) = (lím f(x ) xa • xa xa • g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: • lím Log f(x) = Log lím f(x) • xa b b xa

5. LÍMITES LATERALES • En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: • 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … • 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … • Se hace preciso distinguir ambos límites. • LIMITE POR LA DERECHA • lím f(x) = L1 • xxo+ • LIMITE POR LA IZQUIERDA • lím f(x) = L2 • xxo-- • Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. Apuntes 2º Bachillerato C.T.

6. LIMITES INFINITOS en un punto Y 1 • LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO • Si representamos la función: • y = x / ( x - 3) vemos que cuando x vale 3 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo = 3. • Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo = 3. • x 3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo • x3+ x - 3 +0 • pues x vale algo más de 3. • x 3 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo • x3- x - 3 - 0 • pues x vale algo menos de 3. 0 3 x

7. Y • Ejemplo: • Si representamos la función: • y = x / ( x2 - 4) • vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. • x 2 • lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo • x2+ x2 - 4 +0 • pues x vale algo más de 2 y x2 > 4 • x 2 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ------ = - oo • x2- x2 - 4 - 0 • pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4 • x - 2 • lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo • x- 2+ x2 - 4 - 0 • pues x vale algo más de – 2 y x2 < 4 • x - 2 • lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo • x- 2- x2 - 4 + 0 • pues x vale algo menos de – 2 y x2 > 4 -2 0 2 x Apuntes 2º Bachillerato C.T.