ANUALIDADES

1. MATEMATICA FINANCIERA Código: 413 ANUALIDADES Preparado por: Claudio Urrutia Rojas Para uso exclusivo de estudiantes de la UNED Este es un material de apoyo que ha sido elaborado para presentar en forma más gráfica el concepto, pero no sustituye el material sugerido para el curso

2. El monto se considera al final de cada año o periodo PMT/(1+i)0 PMT/(1+i)1 PMT/(1+i)2 PMT/(1+i)1 PMT/(1+i)2 PMT/(1+i)3 Se puede calcular cuanto se acumula en el futuro Se puede calcular a cuanto equivale hoy También se puede calcular el número de periodos o la tasa de interés, si se conocen las demás variables ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR PMT PMT PMT

3. El Valor Futuro o Acumulado de una Anualidad es igual a la suma de los valores futuros de cada uno de los pagos o cuotas: VF = 200(1+0,15)0 + 200(1+0,15)1 + 200(1+0,15)2 VF = 200 + 230 + 264,50 VF = 694,50 La Fórmula Matemática se deduce de la sumatoria, derivando de la siguiente forma: VF = PMT(1+i )0 + PMT(1+i )1 + PMT(1+i )2 + . . . . . + PMT(1+i )n-1 VF = PMT ∑ (1+i )n-1 Simplificando: (1 + i ) n - 1 VF = PMT ------------------ i ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Cual es el monto acumulado de una anualidad de ¢200, durante 3 años, si la tasa de interés es de 15% anual?

4. 3 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Al aplicar la Fórmula se obtiene el mismo resultado: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,15) 3 – 1 VF = PMT ------------------ = 200 --------------------- = 694,50 i 0,15

5. El Valor Actual o Presente de una Anualidad es igual a la suma de los valores presentes de cada uno de los pagos o cuotas: VA = 200 (1+0,15)-1 + 200 (1+0,15)-2 + 200 (1+0,15)-3 VA = 173,91 + 151,23 + 131,50 VA = 456,64 La Fórmula Matemática se deduce de la sumatoria, derivando de la siguiente forma: VA = PMT(1+i )-1 + PMT(1+i )-2 + PMT(1+i )-3 + . . . . . + PMT(1+i )-n VA = PMT ∑ (1+i )-n 1 - (1 + i ) -n VA = PMT ------------------ i ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Cual es el valor actual de una anualidad de ¢200, durante 3 años, si la tasa de interés es de 15% anual?

6. Nota: Para el cálculo paso a paso se ha usado la fórmula de interés compuesto con exponente negativo, pero se puede usar de cualquiera de las 2 formas en que se expresa: VF VA = VF (1 + i) – n ó tambiénVA = ------------- (1 + i) n 5 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Al aplicar la Fórmula se obtiene el mismo resultado: 1 - (1 + i )-n 1 - (1 + 0,15) -3 VA = PMT ------------------ = 200 --------------------- = 456,64 i 0,15

7. Al aplicar la Fórmula de Valor Futuro o Acumulado, se obtiene el siguiente resultado: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,15) n – 1 VF = PMT -------------------- 1.750 = 200 --------------------- i 0,15 1,15 n – 1 1.750 / 200 = -------------------- 0,15 1,15 n = (8,75 x 0,15) + 1 1,15 n = 2,3125 n log 1,15 = log 2,3125 0,0606978n = 0,36408174 n = 0,36408174 / 0,0606978 n = 5,9982 = 6 años NUMERO DE PERIODOS PARTIENDO DE VF ANUALIDADES 6 NUMERO DE PERIODOS AÑO 0 1 2 3 4 n-1 n 200 200 200 200 200 1.750 Cuantos años deben transcurrir para acumular ¢1.750, si se ahorran ¢200 por año y la tasa de interés es de 15% anual?

8. (1 + i ) n – 1 (1 + 0,12) n – 1 VF = PMT -------------------- 3.400 = 400 --------------------- i 0,12 1,12 n – 1 3.400 / 400 = -------------------- 0,12 1,12 n = (8,50 x 0,12) + 1 1,12 n = 2,02 n log 1,12 = log 2,02 0,049218n = 0,30535137 n = 6,2041 ANUALIDADES 7 NUMERO DE PERIODOS Que sucede si los periodos no resultan exactos? Cuantos años deben transcurrir para acumular ¢3.400, si se ahorran ¢400 por año y la tasa de interés es de 12% anual? El resultado da 6 periodos y fracción, pero como deben ser periodos completos, se puede optar por 2 opciones (Solución Práctica): 1) En el periodo 6 se establece un monto adicional, o 2) En el periodo 7 se establece el monto faltante

9. Este monto adicional corresponde a la diferencia que falta para alcanzar el monto requerido: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,12) 6 – 1 VF = PMT -------------------- VF = 400 --------------------- i 0,12 VF = 3.246,08 Faltante: 3.400 – 3.246,08 = 153,92 En el año 6 el monto total será de: 553,92 (corresponde a 400 + 153,92) Este monto adicional corresponde a la diferencia que falta para alcanzar el monto requerido, pero con los valores actualizados al año 7: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,12) 6 – 1 VF = PMT -------------------- VF = 400 --------------------- i 0,12 VF = 3.246,08 Si llevamos este valor al año 7, se tiene: VF = VA(1+i) n = 3.246,08 (1+0,12) = 3,635,61 Faltante: 3.400 – 3.635,61 = – 235,61 El faltante es negativo pues el monto acumulado al año 6, con solo los intereses que genera en el periodo siguiente, sobrepasa el monto requerido. ANUALIDADES 8 NUMERO DE PERIODOS 1) En el periodo 6 se establece un monto adicional: 2) En el periodo 7 se establece el monto faltante:

10. Al aplicar la Fórmula de Valor Actual o Prsente, se obtiene el siguiente resultado: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,01) -n VA = PMT -------------------- 1.200 = 50 -------------------- i 0,01 1 – 1,01 -n 1.200 / 50 = -------------------- 0,01 1,01 -n = 1 – (24 x 0,01) 1,01 -n = 0,76 – n log 1,01 = log 0,76 – 0,0043213n = – 0,1191864 n = 0,1191864 / 0,0043213 n = 27,58 meses NUMERO DE PERIODOS PARTIENDO DE VA Tasa de Interés está mensual por lo que periodos son meses ANUALIDADES 9 NUMERO DE PERIODOS MES 0 1 2 3 4 n-1 n 50 50 50 50 50 1.200 Una persona asume una deuda de ¢1.200 y se compromete a pagar cuotas de ¢50 por mes. Si la tasa de interés es de 12% capitalizable mensualmente, cuantas cuotas debe pagar?

11. Corresponde a la diferencia en valor actual para alcanzar el monto de la deuda, expresado en valores futuros del mes 27: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,01) -27 VA = PMT -------------------- VA = 50 -------------------- i 0,01 VA = 1.177,98 Faltante: 1.200 – 1.177,98 = 22,02 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al mes 27, se tiene: VF = VA(1+i) n = 22,02 (1+0,01) 27 = 28,81 En el mes 27 la cuota será de 78,81 (corresponde a 50 + 28,81) Corresponde a la diferencia en valor actual para alcanzar el monto de la deuda, expresado en valores futuros del mes 28: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,01) -27 VA = PMT -------------------- VA = 50 -------------------- i 0,01 VA = 1.177,98 Faltante: 1.200 – 1.177,98 = 22,02 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al mes 28, se tiene: VF = VA(1+i) n = 22,02 (1+0,01) 28 = 29,09 En el mes 28 la cuota incompleta será de 29,09 ANUALIDADES 10 NUMERO DE PERIODOS Como los periodos no son exactos, se puede optar por 2 opciones (Solución Práctica): 1) En el periodo 27 se establece un monto adicional: 2) En el periodo 28 se establece el monto faltante:

12. 150 150 150 150 150 5.100 Periodos en meses; tasa resultante es mensual Al aplicar la Fórmula de Valor Futuro o Acumulado, se obtiene el siguiente resultado: (1 + i ) n – 1 (1 + i ) 24 – 1 VF = PMT -------------------- 5.100 = 150 ------------------- i i (1 + i ) 24 – 1 5.100 / 150 = -------------------- i (1 + i ) 24 – 1 34 = -------------------- i i = 0,0290038 = 2,90% Esta tasa es mensual, por lo que la tasa anual será: 34,80% (2,90% x 12) Para resolver se usa interpolación, que es asignar una tasa en parte derecha de la ecuación, para obtener la parte izquierda (Por ejemplo, con 3% se obtiene 34,42, que supera monto de 34; con 2,5% se obtiene 32,35, que es inferior. La tasa estaría entre 3% y 2,5%, más cercano a 3%. Aplicando especie de regla de tres, se puede obtener la tasa aproximada en 2,9% mensual). También se puede resolver con calculadora. TASA DE INTERÉS PARTIENDO DE VF ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Qué tasa de interés reconoce el banco, si depositando ¢150 por mes, al cabo de dos años se acumulan ¢5.100?

13. 85 85 85 85 85 1.100 Periodos en meses; tasa resultante es mensual Al aplicar la Fórmula de Valor Actual o Presente, se obtiene el siguiente resultado: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + i) -18 VA = PMT -------------------- 1.100 = 85 -------------------- i i 1 – (1 + i) -18 1.100 / 85 = -------------------- i 1 – (1 + i) -18 12,9412 = -------------------- i i = 0,037305 = 3,73% Esta tasa es mensual, por lo que la tasa anual será: 44,76% (3,73% x 12) Para resolver se usa interpolación, que es asignar una tasa en parte derecha de la ecuación, para obtener la parte izquierda (Por ejemplo, con 3% se obtiene 13,75, que supera monto de 12,94; con 4% se obtiene 12,66, que es inferior. La tasa estaría entre 3% y 4%, más cercano a 4%. Aplicando especie de regla de tres, se puede obtener la tasa aproximada en 3,7% mensual). También se puede resolver con calculadora. Se rebaja prima: No forma parte de la anualidad TASA DE INTERÉS PARTIENDO DE VA 12 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR Qué tasa de interés cobra una tienda que vende un artículo cuyo precio de contado es ¢1.300, pagando una prima de ¢200, y 18 cuotas de ¢85 por mes?

14. AÑO 0 1 2 3 4 5 Cuota Semestral 0 1 2 3 4 5 6 1.000 FV = 1.000 x (1+0,08) 10 2.158,92 PMT PMT PMT PMT PMT PMT ??? ________ 5.000,00 Con los ¢1.000 acumula ¢2.158,92 y con la anualidad debe acumular la diferencia (1 + i ) n – 1 (1 + 0,08) 6 – 1 VF = PMT -------------------- 2.841,08 = PMT --------------------- i 0,08 PMT = 387,28 Cada depósito deberá ser de: 387,92 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

15. TRIM 0 1 2 3 4 n-1 n 500 500 500 500 500 500 8.000 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,03) -n VA = PMT -------------------- 8.000 = 500 -------------------- i 0,03 1 – (1 + 0,03) -n 8.000 / 500 = -------------------- 0,03 16 x 0,03 = 1 – (1,03) -n 0,48 – 1 = – (1,03) -n log (0,52) = – n log (1,03) – 0,283997 = – n 0,012837 n = 0,283997 / 0,012837 n = 22,12 trimestres SOLUCION PRÁCTICA: DE CUANTO ES LA CUOTA 22 ó 23 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

16. 1) En el trimestre 22 se establece un monto adicional: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,03) -22 VA = PMT -------------------- VA = 500 -------------------- i 0,03 VA = 7.968,46 Faltante: 8.000 – 7.968,46 = 31,54 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al trimestre 22, se tiene: VF = VA(1+i) n = 31,54 (1+0,03) 22 = 60,44 En el trimestre 22 la cuota será de 560,44 (corresponde a 500 + 60,44) 2) En el trimestre 23 se establece el monto faltante: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,03) -22 VA = PMT -------------------- VA = 500 -------------------- i 0,03 VA = 7.968,46 Faltante: 8.000 – 7.968,46 = 31,54 (expresado en valores de hoy) Si llevamos este valor al trimestre 23, se tiene: VF = VA(1+i) n = 31,54 (1+0,01) 23 = 62,25 En el trimestre 23 la cuota incompleta será de 62,25 ANUALIDADES 15 EJERCICIOS • Número de Periodos partiendo de Valor Actual: (Continuación) Solución Práctica: Se puede plantear 2 opciones

17. MES 0 1 2 3 4 . . . . . . 47 48 49 50 . . . . . . . . . 71 72 PMT PMT PMT PMT PMT PMT 25.000 Se establece la cuota original: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,02) 72 – 1 VF = PMT -------------------- 25.000 = PMT --------------------- i 0,02 PMT = 158,17076 Cada depósito deberá ser de: 158.170,76 Se determina lo acumulado al año 4 (mes 48): (1 + i ) n – 1 (1 + 0,02) 48 – 1 VF = PMT -------------------- VF = 158,17 --------------------- i 0,02 VF = 12.551,41 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

18. ANUALIDADES 17 EJERCICIOS • Cálculo de Cuota (PMT), con Valor Futuro o Monto Acumulado: (Continuación) Se determina cuanto acumulará en el mes 72 con lo que ha acumulado al mes 48: VF = VA(1+i) n = 12.551,41 (1+0,015) 24 = 17.942,27 Faltante: 25.000 – 17.942,27 = 7.057,73 (expresado en valores de mes 72) Deberá acumular con una nueva cuota o anualidad, esa suma faltante MES 0 1 2 3 4 . . . . . . 47 48 49 50 . . . . . . . . . 71 72 PMT PMT PMT PMT PMT 7.057,73 Se determina la nueva cuota o anualidad con nueva tasa de interés: (1 + i ) n – 1 (1 + 0,015)24 – 1 VF = PMT -------------------- 7.057,73 = PMT --------------------- i 0,015 VF = 246,48488 Cada depósito partir de cuota 49 deberá ser de: 246.484,88 Cada depósito, deberá ser de ¢158.170,76 hasta la cuota 48 y de ¢246.484,88 las siguientes

19. a) Valor de contado: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,025) -147 VA = PMT -------------------- VA = 225 ----------------------- i 0,025 VA = 8.761,31 El valor de contado es de: ¢9.261.310 (corresponde a 500.000 + 8.761.310) b) Pago del saldo adeudado (Calculando el VA de las Cuotas faltantes) 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,025) -54 VA = PMT -------------------- VA = 225 ----------------------- i 0,025 VA = 6.627,78 Este es el saldo que adeuda en valores del mes 93, que llevado al mes 94, es: VF = VA(1+i) n = 6.627,78 (1+0,025) = 6.793,48 Lo que debe cancelar en el mes 94, es: ¢6.793.481 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

20. El monto de la anualidad, representa un valor actual de: 1 - (1 + i )-n1 – (1 + 0,02) -15 VA = PMT -------------------- VA = 50 -------------------- i 0,02 VA = 642,4632 El valor actual de la anualidad es de: ¢642.463,20 El pago final representa un valor actual de: VA = VF / (1+i) n = 800 / (1+0,02) 16 = 582,75665 El valor actual del pago final es de: ¢582.756,65 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR El monto de la deuda es de ¢1.225.219,85

21. AÑO 0 1 2 . . . . . . Cuota Trimestral 0 1 2 3 4 5 . . . . . . 20 10.000 - 4.000 6.000 FV = 6.000 x (1+0,06) 7 = 9.021,78 Monto adeudado al inicio de la anualidad Por ser anualidad vencida, si primer pago es en año 2, comienza un trimestre antes Una vez determinado el valor adeudado al inicio del primer periodo de la anualidad, se utiliza la fórmula de Valor Actual o Presente: (Nota: Ejercicio desarrollado en miles de colones) VA = PMT 9.021,78 = PMT PMT = 786,56 miles 1 – (1 + i) –n1 – (1 + 0,06) -20 i 0,06 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

22. AÑO 0 15 . . . . . 18 23 Mes 0 1 2 3 4 5 6 . . . . . . 180 215 276 8.991 6.346 VA de PMT de ¢200.000 en Mes 215 Anualidad recibida al cumplir 18 años, inicia en periodo anterior: 215 VA = PMT VA = 200.000 = 8.991.008 1 – (1 + i) –n1 – (1 + 0,01) -60 i 0,01 VA de ¢8.991.008 en Mes 180 De Mes 215 a 180 = 35 meses VA = VF / (1+i) n = 8.991.008 / (1+0,01) 35 = 6.346.880 PMT que da VF de ¢6.346.880 en Mes 180 VF = PMT 6.346.880 = PMT PMT = 12.704 (1 + i) n – 1 (1 + 0,01)180 – 1 i 0,01 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

23. VA de PMT de ¢750.000 durante 60 meses VA = PMT VA = 75.000 = 2.953.520 1 – (1 + i) –n1 – (1 + 0,015) -60 i 0,015 Monto Acumulado de PMT de ¢75.000 durante 60 meses VF = PMT VF = 75.000 VF = 7.216.099 (1 + i) n – 1 (1 + 0,015)60 – 1 i 0,015 ADVERTENCIA ESTE ARCHIVO SE ENCUENTRA PROTEGIDO. SU USO O MODIFICACIÓN NO AUTORIZADO PUEDE DAÑAR LA INFORMACION CONTENIDA EN SU COMPUTADOR

24. ANUALIDADES muchas gracias . . . Claudio Urrutia Rojas UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA HAGA LLEGAR SUS COMENTARIOS SOBRE ESTA PRESENTACIÓN A: currutia01@cpcecr.com