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  1. REVISÃO MATEMÁTICA Unidades de medidas: Medidas de comprimento Medidas Angulares

  2. Medidas de comprimento A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra. Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s(Veiga et al, 2007, p. 15)

  3. Medida Angular Radiano: Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos. 2πR — 360º arco = R = raio Unidade Sexagesimal: Grau ° 1° = (∏/180) rad Minuto ‘ 1’ = 1°/60 = (∏/10800) rad Segundo “ 1” = 1°/3600 = (∏/648000) rad Unidade Decimal: Grado 1 Grado = 1/400 da circunferencia

  4. Exemplos e Exercícios • Transformação de ângulos: • Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para graus e frações • decimais de grau. • a) 32º 28’ 59” = 32, 48305556º • b) 17º 34’ 18,3” = 17,57175º • c) 125º 59’ 57” = 125,9991667º 2) Soma e subtração de ângulos: 30°20’ + 20° 52’ = 51º12’ 28°41’ + 39°39’ = 68°20’ 42°30’ – 20°40’ = 21°50’ FAÇA AS MESMAS CONTAS UTILIZANDO SUA CALCULADORA

  5. Cuidados ao utilizar calculadora Ao aplicar-se a função sem a transformação do ângulo pode-se incorrer em erros nos cálculos futuros, como é possível observar no exemplo a seguir: Para o ângulo citado: α = 22º 09’ 04” Calculando-se o valor da função seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se: sen 22,0904 = 0,376069016 Já transformando-o para graus decimais obtém-se: sen 22,1511111º = 0,377050629 Considerando uma distância de 300m, entre um vértice de uma poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferença no valor de Δx calculado. Δx = 300 . sen 22,0904 = 300 . 0,376069016 → Δx = 112,821m Δx = 300 . sen 22,15111110 = 300 . 0,377050629 → Δx = 113,115m Uma diferença de 29,4 cm

  6. Trigonometria Plana A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura podem ser estabelecidas as seguintes relações: A partir da figura ao lado, determine os valores de Seno, Cosseno e Tangente dos angulos α e β

  7. Relações métricas (Triang. Retangulo) Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: Onde: b, c: catetos; h: altura relativa à hipotenusa; a: hipotenusa; m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

  8. As seguintes relações métricas podem ser definidas: a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b² = a . n c² = a . m b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. b . c = a . h c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. h² = m . n d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras)

  9. Relações métricas (Triang. Qualquer) LEI DOS SENOS “Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”.

  10. LEI DOS COSSENOS “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”. A² = b² + c² – 2.b.c. cos A A fim de medir a largura de um rio em um certo local, adotou-se o seguinte procedimento: Marcou-se um ponto B em uma margem; 30 m à direita marcou-se um ponto C, de tal forma que AB e BC sejam perpendiculares, do ponto C mediu-se um ângulo de 30°, dessa forma conclui-se que a largura do rio (AB) é: A B C 30 m

  11. Exercícios 1) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56° 00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35° 00’00”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).

  12. Exercício (Continuação) 2) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h.