Download
slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Prof. dr. Srečko DEVJAK PowerPoint Presentation
Download Presentation
Prof. dr. Srečko DEVJAK

Prof. dr. Srečko DEVJAK

286 Vues Download Presentation
Télécharger la présentation

Prof. dr. Srečko DEVJAK

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK MATRIKE Prof. dr. Srečko DEVJAK November 2006

  2. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK Primer 1. Matrika A: Prebivalstvo po regijah leto 2005 A=

  3. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK Primer 1. Tabela:Proračunski prihodki na prebivalca po regijah za leto 2005 Vir:www.vus-uni.lj/sib/vhod.html Matrika B:Proračunski prihodki na prebivalca za leto 2005 B=

  4. Vprašanje Kako iskati rešitev kadar je problem bolj zapleten? Npr.: Kakšna naj bo višina posamezne vrste prihodka, da bo izpolnjen predpisan kriterij? • Kolikšna je višina posamezne vrste proračunskih prihodkov statistične regije? Kako oblikovati krajši in splošnejši zapis?

  5. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 a12 ......a1n a21 a22.......a2n . . . . . . am1 am2......amn A = Prof. dr. Srečko DEVJAK 1. POJEM MATRIKE Pri oblikovanju matematičnih modelov za opisovanje različnih procesov, modelov si pogosto pomagamo z m a t r i k a m i. DEFINICIJA MATRIKE: Matrika razsežnosti (m, n) je pravokotna shema mn števil aij(i=1, 2....,m; j=1, 2,...,n), razporejenih v m vrstic in n stolpcev.

  6. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 a12 ......a1n a21 a22.......a2n . . . . . aij . am1 am2......amn A = Prof. dr. Srečko DEVJAK 1. POJEM MATRIKE aijso števila v shemi in jih imenujemo ELEMENTE MATRIKE. Element aij leži v i-ti vrstici in j-tem stolpcu. Elementi ai1, ai2,......, ain tvorijo i-to vrstico, elementi a1j, a2j,...amj pa j-ti stolpec.

  7. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo 4 3 -1 0 2 -3 2 6 A = Prof. dr. Srečko DEVJAK Matrike bomo označevali z velikimi črkami A,B,C,..., za označevanje elementov matrik pa bomo uporabljali male črke aij, bij, cij,... Elementi matrik bodo v našem primeru realna števila. PRIMER: A je matrika razsežnosti (2, 4). Elementi 4 3 -1 0 tvorijo prvo vrstico, elementa 4 in 2 tvorita prvi stolpec, element 3 je na križišču prve vrstice in drugega stolpca.

  8. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 a12 ......a1n a21 a22.......a2n . . . . . . am1 am2......amn A = aij aij A = A = m, n Prof. dr. Srečko DEVJAK Krajši zapisi matrik Matriko krajše zapišemo kot: ali tudi

  9. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a1 a2 . . am b1 b2......bn Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. POSEBNI TIPI MATRIK DEFINICIJA VEKTORJA Matrika razsežnosti (m, 1) je matrika, ki ima en stolpec. Tako matriko imenujemo tudi s t o l p n i v e k t o r. Matrika razsežnosti (1, n) je matrika, ki ima eno vrstico. Imenujemo jo v r s t i č n i v e k t o r. Elemente a1, a2, ..., am ali b1, b2,...bn imenujejo k o m p o n e n t e vektorja. Vektor z n komponentami je urejena n-terica števil.

  10. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 a12 ......a1n a21 a22.......a2n . . . . . . an1 an2......ann Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. POSEBNI TIPI MATRIK (2) DEFINICIJA NIČELNE MATRIKE Matriko, ki ima vse elemente enake 0, imenujemo n i č e l n a m a t r i k a. Označujemo jo z 0. DEFINICIJA KVADRATNE MATRIKE Matriko razsežnosti (n, n) imenujemo k v a d r a t n a m a t r i k a reda n.

  11. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo b11 0 0 . . . 0 b21 b22 0 . . . 0 b31 b32 b33 . . . 0 . . . . . . 0 . . . . . . . bn1 bn2 bn3 bnn a11 a12 a13 . . . a1n 0 a22 a23 . . . a2n 0 0 a33 . . . a3n . . . . . . . . . . 0 0 0 ann B = A = Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. POSEBNI TIPI MATRIK (3) DEFINICIJA TRIKOTNE MATRIKE Diagonalo, na kateri ležijo elementi a11, a12,...,ann, imenujemo g l a v n a d i a g o n a l a. Kvadratni matriki, ki ima na eni strani glavne diagonale samo ničle, rečemo t r i k o t n a m a t r i k a.

  12. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 0 0 . . . 0 0 a22 0 . . . 0 0 0 a33 . . 0 . . . . . . . . 0 0 0 ann Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. POSEBNI TIPI MATRIK (4) DEFINICIJA DIAGONALNE IN SKLALRNE MATRIKE Kvadratna matrika, ki ima od nič različne elemente le na glavni diagonali, se imenuje d i a g o n a l n a m a t r i k a. Diagonalno matriko, ki ima vse diagonalne elemente enake, bomo imenovali s k a l a r n a.

  13. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo 1 O O 0 1 0 0 0 1 E = Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. POSEBNI TIPI MATRIK (5) DEFINICIJA MATRIKE MATRIČNE ENOTE M a t r i č n a e n o t a je skalarna matrika, ki ima vse elemente na glavni diagonali enake 1. Označujemo jo z E ali z I. PRIMER: je matrična enota reda 3.

  14. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo 1 3 1 5 A = Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. POSEBNI TIPI MATRIK (5) DEFINICIJA SIMETRIČNE MATRIKE Kvadratna matrika se imenuje s i m e t r i č n a, če za vsak i in j velja aij = aji PRIMER:

  15. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 a21 . . . ai1 . . . am1 a12 a22 . . . ai2 . . . am12 . . . . . . . . . . a1j a2j . . . aij . . . amj . . . . . . . . . . a1n a2n . . . ain . . .amn AT = = aji (n, m) aij A = m, n Prof. dr. Srečko DEVJAK 3. OPERACIJE Z MATRIKAMI TRANSPONIRANJE MATRIK DEFINICIJA: Če v matriki zamenjamo vrstices stolpci, rečemo, da smo matriko A t r a n s p o n i r a l i in označimo z AT Dobljena matrika ima elemente ATimenujemo t r a n s p o n i r a n k a m a t r i k e A. Neposredno iz definicije transponiranja matrike sledijo naslenji izreki:

  16. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK 3. OPERACIJE Z MATRIKAMI (2) Neposredno iz definicije transponiranja matrike sledijo naslenji izreki: Izrek 1: Če transponirano matriko še enkrat transponiramo, dobimo prvotno matriko: (AT)T = A Izrek 2: Če je A simetrična matrika, je AT = A in obratno: matrika A, za katero velja AT = A, je simetrična. S transponiranjem stolpnega vektorja dobimo vrstični vektor iste Razsežnosti. V nadaljevanju bomo vrstične vektorje vedno šteli kot transponirane stolpne vektorje in jih značevali z AT, BT,...

  17. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo bij B = aij bij A = B = za vsak i in j. x 3 6 4 2 3 y 4 A = B = aij A = m, n m, n Prof. dr. Srečko DEVJAK PRIMERJANJE MATRIK Primerjamo lahko le matrike enakih razsežnosti. in DEFINICIJA: Matriki sta enaki, če je za poljubna indeksa i in j element aij matrike A enak elementu bij matrike B. Elementoma aij in bij rečemo is t o l e ž n a ali h o m o l o g n a elementa. PRIMER: Matriki A in B sta enaki, če je x = 2 in y = 6.

  18. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo 7 4 3 5 3 2 1 x A = B = Prof. dr. Srečko DEVJAK PRIMERJANJE MATRIK DEFINICIJA: Odnos A > B velja, če je za vsak i in j aij > bij. PRIMER: Odnos A > B velja, če je x <5. Analogno lahko definiramo odnose A > B, A < B, A < B.

  19. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo bij B = cij aij + bij = C = A + B = aij A = m, n m, n m, n m, n Prof. dr. Srečko DEVJAK SEŠTEVANJE MATRIK DEFINICIJA: Vsota dveh matrik razsežnosti (m, n) je matrika razsežnosti (m, n), katere elementi so vsote istoležnih elementov obeh matrik. Izrek: • Pri seštevanju matrik velja zakon komutativnosti: • A + B = B + A 2. Pri seštevanju matrik velja zakon asociativnosti: (A+B) + C = A + (B+C) 3. Vsoto poljubnega števila matrik lahko transponiramo tako, da seštejemo transponiranke sumandov: (A1 + A2 + ... + An)T = A1T + A2T + . . . + AnT

  20. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK SEŠTEVANJE MATRIK Ker se dajo seštevati samo matrike enakih razsežnosti, morajo biti matrike iz predhodnega izreka take, da zapisane vsote obstajajo. Matriko B, ki ima lastnost A + B = 0 imenujemo n a s p r o t n a m a t r i k a matrike A in označimo z –A, torej A + (-A) = 0 Iz definicije seštevanja matrik izhaja, da ima matrika –A vse elemente nasprotnega predznaka kot matrika A: -A = -aij

  21. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo • 4 -5 • 1 • 0 3 6 -1 2 0 7 • 1 -11 • -1 • 6 -7 = - m, n m, n Prof. dr. Srečko DEVJAK ODŠTEVANJE MATRIK aij DEFINICIJA: Razlika C = A - B matrik A = m, n bij in B = je enaka vsoti matrik A in –B. m, n cij aij + (-bij) = C = A - B = A + (-B) = PRIMER:

  22. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo aij aaij = aA = a aij A = m, n m, n m, n Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK S ŠTEVILOM DEFINICIJA: Produkt matrike A s številom a je matrika, katere elementi so z a pomnoženi elementi matrike A. Vidimo, da je 1A = A in -1A = -A.

  23. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK S ŠTEVILOM (2) Lastnosti, ki jih ima navedena operacija, zapišimo v obliki izreka: Izrek: • Pri množenju matrike s številom velja: • asociativnost: • a(bA) = (ab)A • 2. distributivnost glede na skalarni faktor: • (a+b)A = aA + bA • 3. distributivnost glede na matrični faktor: • a (A + B) = aA + aB • 4. (aA)T = aA T Tu sta a in b poljubni realni števili, A in B pa poljubni matriki iste razsežnosti.

  24. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK S ŠTEVILOM (3) Navedene lastnosti se da dokazati ob upoštevanju definiciji nakazanih operacij in na lastnostih seštevanja in množenja realnih števil. DEFINICIJA LINEARNE KOMBINACIJE VEKTORJEV: Naj bodo a1, a2, ..., an poljubna realna števila, A1, A2,...An pa vektorji enakih razsežnosti, potem imenujemo vektor n a1A1 + a2A2 + . . . + anAn = Σ aiAi i=1 l i n e a r n a k o m b i n a c i j a vektorjev A1, A2,..., An.

  25. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 a2 a1 + = Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK S ŠTEVILOM (4) DEFINICIJA: Vektorji A1, A2,..., An so l i n e a r n o n e o d v i s n i, če je linearna kombinacija vektor 0 le, če so vsa števila a1, a2,..., an enaka 0. Vektorji A1 so l i n e a r n o o d v i s n i, če je njihova linearna kombinacija vektor 0, pa vsa števila a1 niso enaka 0 (i=12 n). T PRIMER: Prikažimo, da sta vektorjaA1 = T in A2 = linearno neodvisna, torej da enačba a1A1 + a2A2 = 0 velja le, če sta števili a1 in a2 enaki 0.

  26. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a1 a2 0 0 Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK S ŠTEVILOM (5) Če pomnožimo vsakega od vektorjev na levi z ustreznim številom in dobljena vektorja seštejemo, dobimo = Po definiciji enakosti vektorjev pa je to res le, če je a1 = 0 in a2 = 0, kar smo hoteli pokazati. Izrek: Če je eden od vektorjev A1, A2,..., An linearna kombinacija ostalih, so vektorji A1, A2,...An linearno odvisni. Dokaz izhaja direktno iz definicije.

  27. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo aij bij B = n cij = Σ aik bkj = ail blj + ai2 b2j + . . . + ain bnj k=1 n, p m, p m, n Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK in DEFINICIJA: Produkt matrik A = je matrika C, ki jo določimo takole: cij C = AB = , kjer je Oglejmo si definicijo produkta natančneje. Naj bosta dani n-terici: a1, a2,. . ., an b1, b2,. . ., bn Pomnožimo vsak element prve n-terice z istoležnim elementom druge n-terice in te produkte seštejemo. Vsoto n a1b1 + a2b2+ . . . + anbn = Σ akbk imenujemo s k a l a r n i p r o d u k t obeh n-teric. k=1

  28. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK (2) Element cij matrike C = AB je torej skalarni produkt i-te vrstice matrike A in j-tega stolpca matrike B. Iz definicije produkta sledi, da množenje matrik pri dveh poljubnih matrikah v splošnem ni izvedljivo. Produkt AB obstaja le, če se število stolpcev matrike A ujema s številom vrstic matrike B. Produkt AB ima toliko vrstic kot matrika A in toliko stolpcev kot matrika B. Nekatere lastnosti množenja matrik strnimo v izrek, v katerem so A, B, C take matrike, da so nakazane računske operacije izvedljive.

  29. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK (3) Izrek: • Pri množenju matrik velja zakon asociativnosti: • (AB) C = A (BC) • 2. Veljata distributivnostna zakona: • (A + B) C = AC + BC • A (B+C) = AB + AC • 3. Transponiranka produkta dveh matrik je enak produktu • transponirank faktorjev, zapisanih v obratnem vrstnem redu. • (AB)T = BT AT Dokaz prvih dveh lastnosti izhaja neposredno iz definicije nakazanih računskih operacij in iz lastnosti analognih operacij z realnimi števili. Izpeljemo samo dokaz tretje lastnosti!

  30. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo aij aji bji bij A = B = A = B = T T n cij cji = (AB)T = = Σ aik bkj k=1 T T p, n m, n m, p n, p m, n p, m n, m Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK (4) Naj bo: Če upoštevamo definicijo produkta matrik in definicijo Transponiranke neke matrike, lahko levo stran enačbe (iz 3. točke izreka) zapišemo kot: Izračunajmo še desno stran enačke iz 3. točke izreka. Po definiciji transponiranke neke matrike je:

  31. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo n Σ bjk aki BT AT = k=1 T T T T (A1A2 . . . An) = An An-1 . . . A1 p, m Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK (5) Po definiciji produkta matrik pa: Če so matrike A1, A2, . . ., An take, da obstaja produkt A1A2 . . . An, velja posplošena oblika enačbe: Množenje matrik v splošnem ni komutativno. Lahko se pa zgodi, da pri dveh matrikah je. Tedaj pravimo, da matriki komutirata.

  32. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo sa11 sa12 . . . sa1n sa21 sa22 . . . sa2n . . . . . . . . . . . . san1 san2 . . . sann sa11 sa12 . . . sa1n sa21 sa22 . . . sa2n . . . . . . . . . . . . san1 san2 . . . sann a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann s 0 . . . 0 0 s . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 s s 0 . . . 0 0 s . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 s = sA AS = = SA = = = sA Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK (6) Naj bo A poljubna kvadratna matrika, S pa skalarna matrika istega reda z elementom s na glavni diagonali. Pokažimo, da velja: AS = SA = sA Produkt matrike A s skalarno matriko S je enak produktu matrike A s številom (skalarjem) s. S tem smo opravičili tudi ime skalarne matrike. Ker je matrična enota E poseben primer skalarne matrike, je množenje poljubne kvadratne matrike A z ustrezno matrično enoto komutativno in velja AE = EA = A

  33. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK MNOŽENJE MATRIK (7) Poleg matrik E in S lahko obstaja tudi splošnejša matrika B, tako da je AB = BA Če je A kvadratna matrika, takoj vidimo, da to velja za B = A2 = AA. Zaradi distributivnosti množenja je AA2 A(AA) = (AA)A = A2A Splošno definiramo An, n € N kot produkt An = AA . . . A n krat Bralec lahko z uporabo adicijskega izreka AkAm = Ak+m ki izhaja neposredno iz definicije potenciranja matrik, preveri, da kvadratna matrika A komutira s katerokoli svojo potenco: AAk = AkA k Є N In da poljubni potenci iste matrike komutirata AkAm = AmAk k, m Є N

  34. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK INVERZNA ALI OBRATNA MATRIKA Za nekatere matrike lahko definiramo matriko, ki ima analogni pomen kot ga ima pri realnih številih obratno število danega števila. Če število a ni enako 0, lahko najdemo tako število x, da velja ax = xa = 1. Število X imenujemo obratno število števila a in označimo z a-1. Med matrikami ima matrična enota E isto vlogo kot število 1 med realnimi števili, saj smo se že prepričali, da velja AE = EA = A. DEFINICIJA: Naj bo A kvadratna matrika, E pa matrična enota istega reda. Če obstaja kvadratna matrika X, ki zadošča pogojema AX = E in XA = E jo imenujemo i n v e r z n a a l i o b r a t n a m a t r i k a matrike A in jo označimo z A-1.

  35. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK INVERZNA ALI OBRATNA MATRIKA (2) Matrika, pri kateri obstaja inverzna matrika, se imenuje o b r n l j i v a matrika. V tem poglavju smo obratno matriko neke matrike smo definirali. Pri katerih matrikah obratna matrika obstaja in kako jo izračunamo, bomo povedali kasneje. Nekatere lastnosti obratne matrike zapišimo v izreku.

  36. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo -1 -1 ) = A -1 -1 -1 = B 2. (AB) A -1 -1 -1 -1 = An An-1 . . . A1 3. (A1A2 . . . An) -1 -1 T T 4. (A ) = (A ) Prof. dr. Srečko DEVJAK INVERZNA ALI OBRATNA MATRIKA (3) Izrek: Naj bodo matrike A, B, A1, A2, ..., An obrnljive in takega reda, da obstajajo v naslednjih točkah navedeni produkti. Potem velja: 1. (A

  37. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK 7. ALGEBRAJSKI IZRAZI Matrike so zelo primerne za krajši zapis mnogih algebrajskih izrazov. PRIMER: Zapišimo v matrični obliki izraz x2 + y2 + z2. Če uvedemo vektor x = T dani izraz pišemo kot x y z T X X = x2 + y2 + z2 PRIMER: Zapišimo v matrični obliki Σ ai xi = b Σ y1 n n i=1 i=1

  38. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo = = , T T x1 x2 . . . xn a1 a2 . . . an , X T T = B = , Y b b . . . b y1 y2 . . . yn . Xj > 0 j=1, 2, . . ., n n Σ aij xj< bi i=1, 2, . . ., m j=1 Prof. dr. Srečko DEVJAK 7. ALGEBRAJSKI IZRAZI (2) Uvedimo vektorje A T Dano enačbo kratko zapišemo A X = B Y T PRIMER: Zapišimo v matrični obliki naslednji problem: Izračunaj vrednosti spremenljivk xj, j=1, 2, . . ., n, ki zadoščajo neenačbam n tako, da izraz Σ cj xj doseže maksimum! j=1

  39. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo 0 0 . . 0 c1 c2 . . cn x1 x2 . . xn b1 b2 . . bm a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn C = X = B = O = Prof. dr. Srečko DEVJAK 7. ALGEBRAJSKI IZRAZI (3) Uvedimo matrike in vektorje A = in formulirajmo dani problem takole: Poišči vektor x, ki zadošča pogojem X > 0 AX < B Tako, da produkt C X doseže maksikum! T

  40. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK DETERMINANTE Prof. dr. Srečko DEVJAK November 2006

  41. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann det A = Prof. dr. Srečko DEVJAK 1. DEFINICIJA DETERMINANTE Naj bo A kvadratna matrika reda n. Priredimo ji število, ki ga imenujemo d e t e r m i n a n t a, označimo z det A in zapišemo v obliki sheme: Zaradi tega zapisa včasih površno govorimo o vrsticah in stolpcih determinante.

  42. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK Naj bo A kvadratna matrika reda n. Prečrtajmo i-to vrstico in j-ti stolpec matrike A, preostali elementi tvorijo kvadratno matriko reda (n-1). Tako nastali matriki pripadajočo determinanto, imenujemo p o d d e t e r m i n a n t a elementa aij. Kadar pomnožimo tako poddeterminanto z (-1) i+j imenujemo ta produkt k o f a k t o r Aij elementa aij.

  43. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK DEFINICIJA RAČUNANJA DETERMINANT: Determinanta, ki pripada kvadratni matriki reda n, je enaka skalarnemu produktu vrstice ali stolpca s pripadajočimi kofaktorji. Rečemo da smo determinanto izračunali z razvojem po i-ti vrstici ali j-tem stolpcu. Razvoj po i-ti vrstici: n det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 +.....+ ainAin = Σaik Aik k=1 Razvoj po j-tem stolpcu: n det A = a1jA1j + a2jA2j +.....+ anjAnj = Σakj Akj k=1

  44. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. LASTNOSTI DETERMINANT (1) Izrek: Determinanta, ki pripada kvadratni matriki A, je enaka determinanti, ki pripada matriki AT. det A = det AT Izrek: Če v kvadratni matriki zamenjamo dve vrstici ali dva stolpca, se njeni determinanti spremeni le predznak. Izrek: Če pomnožimo vse elemente kake vrstice ali kakega stolpca matrike A s številom a je determinanta dobljene matrike A’ enaka determinanti matrike A in števila a: det A’ = a det A

  45. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. LASTNOSTI DETERMINANT (2) Izrek: Determinanta, ki pripada kvadratni matriki z dvema identičnima ali proporcionalnima vrsticama ali stolpcema je enaka nič. Izrek: Če je v kaki vrstici ali v kakem stolpcu kvadratne matrike vsak element vsota dveh števil, lahko njeno determinanto zapišemo kot vsoto determinant matrik, ki se ujemata v vseh elementih razen v opazovani vrstici ali stolpcu. Tu ima prva A’ matrika prve sumande, druga A’’ pa druge. det A = det A’ + det A’’

  46. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. LASTNOSTI DETERMINANT (3) Dokaz: Naj bo v matriki A i-ta vrstica zapisana v obliki: a’i1+a’’i1, a’i2+a’’i2, . . . . . a’in+a’’in Z razvojem det A po i-ti vrstici dobimo: det A = Σ (a’i1 + a’’i1) Ai1 = Σ a’i1Ai1+Σ a’’i1Ai1 = det A’ + det A’’

  47. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo x1+y1 2 1 x2+y2 -1 0 x3+y3 3 -1 x1 2 1 x2 -1 0 x3 3 -1 y1 2 1 y2 -1 0 y3 3 -1 A= A’= A’’= Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. LASTNOSTI DETERMINANT (4) Primer: Preverimo izrek na matriki A! det A = x1+y1+5x2+5y2+x3+y3 det A’ = x1 +5x2 +x3 det A = y1 +5y2 +y3

  48. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo Prof. dr. Srečko DEVJAK 2. LASTNOSTI DETERMINANT (4) Izrek: Determinanta matrike A je enaka determinanti matrike A’, ki jo iz matrike A tvorimo tako, da h kakšni vrstici matrike A prištejemo kakšno drugo njeno vrstico, pomnoženo s poljubnim številom, ali če h kakšnemu stolpcu matrike A prištejemo kakšen drug njen stolpec, pomnožen s poljubnim številom.

  49. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo bij = Aji det A Prof. dr. Srečko DEVJAK 3. RAČUNANJE OBRATNE MATRIKE Obratno matriko obrnljive matrike reda 2 lahko izračunamo direktno po definiciji. Izrek: Naj bo A = kvadratna matrika reda n aij in det A njena determinanta. Če je izpolnjen pogoj det A ≠ 0 so elementi obratne matrike A-1= enolično določeni z enačbo: bij i, j = 1, 2, . . . , n kjer je Aji kofaktor, ki pripada elementu aji.

  50. Univerza v Ljubljani Fakulteta za upravo a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann A11 A21 . . . An1 A12 A22 . . . An2 . . . . . . . . . . . . A1n A2n . . . Ann det A 0 . . . . .0 0 det A . . .0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . . det A Aji Aji aij = 1 = B = 1 BA = 1 det A det A 1 = E = n, n n, n n, n det A det A Prof. dr. Srečko DEVJAK 3. RAČUNANJE OBRATNE MATRIKE (2) Dokaz: Po definiciji obratne matrike mora A-1 zadoščati enačbama. Označimo matriko, dobljeno v prejšnji enačbi, z B. Po definiciji produkta matrike s številom je: