1 / 37

BAB V

BAB V. ALGORITMA DAN BILANGAN BULAT. A. ALGORITMA Sebuah masalah dipecahkan dengan mendekskripsikan langkah-langkah penyelesaiannya . Urutan penyelesaian masalah ini dinamakan Algoritma . Definisi Algoritma :

chastity-booker
Télécharger la présentation

BAB V

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB V ALGORITMA DAN BILANGAN BULAT

  2. A. ALGORITMA Sebuahmasalahdipecahkandenganmendekskripsikanlangkah-langkahpenyelesaiannya. UrutanpenyelesaianmasalahinidinamakanAlgoritma. DefinisiAlgoritma : Algoritmaadalahurutanlangkah-langkahlogispenyelesaianmasalah yang disusunsecarasistematis.

  3. Contoh : Jika kita akan menuliskan algoritma untuk mencari elemen terbesar (maksimum) dari sebuah himpunan yang beranggotakan n buah bilangan bulat. Bilangan-bilangan bulat tersebut dinyatakan sebagai a1, a2, a3,…an. Elemen terbesar akan disimpan di dalam peubah (variabel) yang bernama maks.

  4. Algoritma cari Elemen terbesar : • Asumsikan a1 sebagaielementerbesarsementara. Simpan a1 kedalammaks. • Bandingkanmaksdenganelemen a2, jika a2 > maks, makanilaimaksdegantidengan a2 • Ulangilangkahke 2 untukelemen-elemenberikutnya (a3, a4, a5,…an) • Berhentijikatidakadalagielemen yang dibandingkan . Dalamhalinimaksberisinilaielementerbesar.

  5. B. BILANGAN BULAT • Bilanganbulatadalahbilangan yang tidakmempunyaipecahandesimal. SIFAT PEMBAGIAN PADA BILANGAN BULAT • Misalkan a dan b adalah 2 buahbilanganbulatdengansyarat a  0. Kita menyatakanbahwa a habismembagi b jikaterdapatbilanganbulat c sedemikiansehingga b = ac

  6. Dengan kata lain, jika b dibagi dengan a, maka hasil pembagiannya berupa bilangan bulat. • Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b” ditulis juga “b kelipatan a”

  7. TEOREMA EUCLIDEAN • Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q(quotient) dan r(remainder) sedemikian sehingga : m = nq + r dengan 0  r <n

  8. Contoh : • 1987 = 97 . 20 + 47 • 24 = 3. 8 + 0 • -22 = 3 (-8) + 2 Sisapembagiantidakbolehnegatif, jadicontohke 3 tidakdapatditulis : -22 = 3 (-7) – 1 karena r = -1 tidakmemenuhisyarat0  r <n

  9. C. PEMBAGI BERSAMA TERBESAR • Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian sehingga da dan db. Dalam hal ini dinyatakan PBB (a,b) = d

  10. Sifat-sifatdaripembagibersamaterbesardinyatakandenganteorema-teoremaberikut : • Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat. • Jika c adalah PBB dari a dan b, maka c (a + b ) b. Jika c adalah PBB dari a dan b, maka c (a - b ) c. Jika c a , maka c ab

  11. Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0 sedemikian sehingga : m = nq + r , 0  r <n maka PBB (m,n) = PBB (n,r) Contoh : 80 = 12 . 6 + 8 maka PBB (80,12) = PBB (12,8) = 4

  12. 3. ALGORITMA EUCLIDEAN • Jika n = 0, maka m adalah PBB (m,n); stop. Tetapi jika n  0 lanjutkan ke langkah 2. • Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. • Ganti nilai m dengan n dan nilai n dengan r, lalu ulang kembali ke langkah 1.

  13. D. ARITMETIKA MODULO • Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca a modulo m) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. • Dengan kata lain : a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m

  14. Kongruen Jikaduabuahbilanganbulat a dan b, mempunyaisisa yang samajikadibagidenganbilanganbulatpositif m, maka a dan b kongruendalam modulo m, dandilambangkansebagai : a  b (mod m) Jika a tidakkongruendengan b dalam modulus m, makaditulis : a / b (mod m)

  15. Contoh : 38 mod 5 = 3 , dan 13 mod 5 = 3 , maka : •  13 ( mod 5) Definisi dari kongruen : Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0 maka a  b (mod m) jika m habis membagi a - b

  16. Kekongruenan a  b (mod m) dapat pula dituliskan dalam hubungan a = b + km yang dalam hal ini sembarang k adalah bilangan bulat.

  17. Sifat-sifatpengerjaanhitungpadaaritmetika modulo, khususnyaperkaliandanpenjumlahan, dinyatakandalamteorema-teoremaberikut : • Misalkan m adalahbilanganbulatpositif. Jika a  b (mod m) dan c adalahsembarangbilanganbulat, maka : (i) (a + c)  (b + c)(mod m) (ii) ac  bc (mod m) (iii) ap  bp(mod m) untuksuatubilanganbulattaknegatif p

  18. Jika a  b (mod m) danc  d (mod m),maka : (i) (a+c)  (b+d) (mod m) (ii) a c  bd (mod m) Contoh : 17 + 5 = 2 + 5 (mod 3)  22 = 7 (mod 3) 17 . 5 = 5 . 2 (mod 3)  85 = 10 (mod 3) 17 + 10 = 2 + 4 (mod 3)  27 = 6 (mod 3) 17 . 10 = 2 . 4 (mod 3)  170 = 8 (mod 3)

  19. Balikan Modulo ( Modulo Invers) • Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka dapat ditemukan balikan (invers) dari a modulo m. • Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat a sedemikian sehingga aa  1 (mod m) • Contoh : Tentukan balikan dari 4 (mod 9), 17 (mod 7), dan 18 (mod 10).

  20. Kekongruenan Linear • Kekongruenan linear adalahkongruen yang berbentuk : ax  b (mod m) • Dengan m adalahbilanganbulatpositif, a dan b sembarangbilanganbulat, dan x adalahpeubah. • Bentukkongruen linear berartimenentukannilai-nilai x, yang memenuhikokongruenantersebut. • ax  b (mod m) dapatditulisdalamhubungan ax = b + km yang dapatdisusunmenjadi :

  21. E. BILANGAN PRIMA • Bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. • Definisi : • Bilangan bulat positif p (p>1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p • Bilangan selain bilangan prima disebut bilangan komposit.

  22. Teorema Fundamental Aritmetik • Setiapbilanganbulatpositif yang lebihbesaratausamadengan 2 dapatdinyatakansebagaiperkaliansatuataulebihbilangan prima. • Misal : 9 = 3 x 3 ( 2 buahfaktor prima) 100 = 2 x 2 x 5 x 5 ( 4 buahfaktor prima) 13 = 13 X 1 ( 1 buahfaktor prima)

  23. Faktor Prima dari n selalu lebih kecil atau sama dengan n • Misalkan a adalahfaktor prima dari n, dengan 1 < a < n, maka a habismembagi n denganhasilbagi b sedemikiansehingga n = ab. Nilai a dan b haruslah n agar : ab >n . n = n Contoh:Tunjukanapakah 171 dan 199 merupakanbilangan prima ataukomposit ?

  24. F. KRIPTOGRAFI • Aritmetika modulo danbilangan prima mempunyaibanyakaplikasidalamilmukomputer, salahsatuaplikasinya yang terpentingadalahkriptografi. • Kriptografiadalahilmusekaligusseniuntukmenjagakerahasiaanpesan ( data atauinformasi) dengancaramenyamarkanmenjadibentuk yang tidakmempunyaimakna.

  25. Plainteks, Chiperteks, Enkripsi dan Dekripsi. • Plainteks : pesan yang dirahasiakan, artinya teks jelas yang dapat dimengerti. • Chiperteks : pesan hasil penyamaran, artinya teks tersandi. • Enkripsi : Proses penyamaran dari plainteks ke chiperteks. • Dekripsi : Proses pembalikan dari chiperteks ke plainteks.

  26. Kriptografer, Kriptanalis, dan Kriptologi • Kriptografer: orang yang menggunakanenkripsiuntukmerahasiakanpesandanmendeskripsikannyakembali. • Kriptanalis : orang yang mempelajarimetodeenkripsidanchiperteksdengantujuanmenemukanplainteksnya. • Kriptologi : studimengenaikriptografidankriptanalis.

  27. Notasi Matematis Jikachiperteksdilambangkandengan C danplainteksdilambangkandengan P, makafungsienkripsi E memetakan P ke C, E (P) = C Padaproseskebalikannya, fungsideskripsi D memetakan C ke P, D (C) = P Karenaprosesenkripsikemudiandekripsimengembalikanpesankepesanasal, makakesamaanberikutharusbenar , D ( E (P) ) = P

  28. Algoritma Kriptografi ( Chiper) • Algoritma Kriptografi (chiper) adalah fungsi matematika yang digunakan untuk enkripsi dan dekripsi. • Kekuatan suatu algoritma Kriptografi diukur dari banyaknya kerja yang dibutuhkan untuk memecahkan data chiperteks menjadi plainteks. • Kriptografi modern tidak lagi mendasarkan kekuatan pada algoritmanya. Jadi algoritma tidak dirahasiakan. Kekuatan kriptografinya terletak pada kunci, yang berupa deretan karakter atau bilangan bulat yang dijaga kerahasiaannya.

  29. Secaramatematis, padasistemkriptografi yang menggunakankunci K, makafungsienkripsidandekripsimenjadi : EK1 ( P ) = C dan DK2 ( C ) = P Keduafungsiinimemenuhi : DK2 (EK1 ( P )) = P Jika K1 = K2, makaalgoritmakriptografinyadisebutalgoritmasimetri ( kuncipribadi) Jika K1  K2 , makaalgoritmanyadisebutalgoritmanirsimetri ( kuncipublik )

  30. Algoritma RSA(Rivest – Shamir – Adleman) Algoritma RSA mendasarkanprosesenkripsidandekripsinyapadakonsepbilangan prima danaritmetika modulo. Kuncienkripsidandekripsimerupakanbilanganbulat. Kuncienkripsitidakdirahasiakan, tetapikuncidekripsibersifatrahasia. Untukmenemukankuncidekripsiharusmemfaktorkansuatubilangan non prima menjadifaktorprimanya.

  31. Secara ringkas, algoritma RSA adalah sebagai berikut : Pembangkitan Pasangan Kunci • Pilih dua buah bilangan prima sembarang, a dan b, jaga kerahasiaan a dan b. • Hitung n = a x b. Nilai n tidak dirahasiakan. • Hitung m = (a – 1) x (b – 1).Setelah nilai m diketahui, a dan b dapat dihapus. • Pilih sebuah bilangan bulat e untuk kunci publik, dimana e relatif prima terhadap m. • Bangkitkan kunci dekripsi, d dengan kekongruenan ed  1 (mod m)

  32. Enkripsi • Plainteks dinyatakan dalam kode ASCII. • Nyatakan pesan menjadi blok-blok plainteks: p1,p2,p3,… [syarat: nilai pi harus dalam nilai 0,1,2,…,n-1] • Hitung ci dengan persamaan ci = pie mod n yang dalam hal ini e adalah kunci publik.

  33. Dekripsi • Proses dekripsi dilakukan dengan menggunakan persamaan pi = cid mod n yang dalam hal ini d adalah kunci dekripsi.

  34. (ISBN) International Standard Book Number • PenerbitresmiselaludisertaidengankodeISBN. • KodeISBNterdiridari10 karakter, biasanyadikelompokkandenganspasiataugaris, • misalnya0-3015-4561-9. • ISBNterdiriatasempatbagiankode : • kodeidentifikasibahasa • kodepenerbit • kodeunikbuku • karakteruji

  35. ISBN0-3015-4561-8 0 adalah kode kelompok negara berbahasa Inggris 3015kode penerbit 4561kode unik buku 8karakter uji Karakter uji didapatkan sbb : 1.0 + 2.3 + 3.0 + 4.1 + 5.5 + 6.4 + 7.5 + 8.6 + 9.1 = 151 Jadi karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8 Dan 231 mod 11 = 0 atau 231  0 (mod 11)

  36. Contoh: Nomor ISBN sebuah buku terbitan penerbit Indonesia adalah 979-939p-04-5 Tentukan p. Diketahui karakter uji ISBN = 5

  37. Jadi (191 + 7p) mod 11 = 5 Atau Nilai-nilai k yang menghasilkan p bulat adalah k = …, -6, 1, 8, 15, 22, 28, … Agar ISBNsah maka p haruslah memenuhi 0 ≤ p ≤ 9. Untuk k = 22 didapatkan p = 8 ( 11 . 22 ) – 186 7 242 – 186 7 56 7 = = = 8

More Related