1 / 28

Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach

Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach. Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki i Informatyki PWr, 2006. Plan prezentacji. Prawdopodobieństwo niepowodzenia definicja, wzory ogólne, przypadki szczególne,

Télécharger la présentation

Jan Iwanik Metody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Jan IwanikMetody inżynierii finansowej w ubezpieczeniach Rozprawa doktorska przygotowana pod opieką prof. dra hab. Aleksandra Werona Instytut Matematyki i Informatyki PWr, 2006

  2. Plan prezentacji • Prawdopodobieństwo niepowodzenia • definicja, • wzory ogólne, • przypadki szczególne, • efektywność obliczeniowa. • Systematyczne ryzyko śmiertelności • definicja, • wzory na prawdopodobieństwo dożycia, • analiza statystyczna danych historycznych, • wycena opcji na śmiertelność.

  3. Część IPrawdopodobieństwo niepowodzenia

  4. Proces ryzyka towarzystwa ubezpieczeńR(t) – definicja • u – kapitał początkowy, • c – prędkość napływania składki, • S(t) – łączna wartość szkód do momentu t.

  5. Przykładowa trajektoria procesu ryzyka

  6. Prawdopodobieństwo ruiny Definicja 1. Niech R(t) będzie procesem ryzyka. Prawdopodobieństwem ruiny w czasie skończonym nazywamy

  7. Prawdopodobieństwo niepowodzenia Definicja 2. Prawdopodobieństwem niepowodzenia nazywamy

  8. Prawdopodobieństwo niepowodzenia, przypadek u = 0 Twierdzenie 1. Niech Gt będzie dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Jeśli kapitał początkowy u = 0, to

  9. Prawdopodobieństwo niepowodzenia dla dowolnego u Twierdzenie 2. Niech Gt będzie różniczkowalną dystrybuantą rozkładu łącznej szkody S(t). Niech wówczas

  10. Związek z teorią kolejek Definicja 3. Procesem czasu obsługi dualnym do R(t) nazywamy proces V(t) Twierdzenie 3. Niech V(t) będzie procesem czasu obsługi dualnym do procesu ryzyka R(t). Jeśli V(0) = w, to niepowodzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy V(T) > u.

  11. Szkody o wartościach stałych (1) Twierdzenie 4. Niech wszystkie szkody mają wartość h, niech w/h oraz u/h będą liczbami naturalnymi. Wówczas prawdopodobieństwo niepowodzenia można szacować poprzez

  12. Szkody o wartościach stałych (2) Twierdzenie 4 (kontynuacja). ...gdzie jest zadane jawnym wzorem, np. dla T < w/c mamy

  13. Szkody o rozkładzie dyskretnym Twierdzenie 5. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Niech szkody mają rozkład skupiony na liczbach naturalnych, niech K’n będzie zmienną zdefiniowaną w pracy Ignatova i Kaisheva (2000), wówczas gdzie Cin’ jest pewnym zbiorem ciągów.

  14. Złożoność obliczeniowa dla metody Ignatova-Kaisheva (2000) Twierdzenie 6. Niech n’ = cT + u + 1 – w. Liczba obliczeń wyznacznika potrzebnych do wyznaczenia wynosi 2n’ – 1.

  15. Prawdopodobieństwo niepowodzenia: podsumowanie • Zdefiniowano prawdopodobieństwo niepowodzenia i uzasadniono jego użyteczność. • Wyznaczono ogólne wzory dla prawdopodobieństwa niepowodzenia. • Wyznaczono wzory analityczne w szczególnych przypadkach. • Wykazano, że prawdopodobieństwo to można wyliczać efektywniej niż prawdopodobieństwo ruiny.

  16. Część IISystematyczne ryzyko śmiertelności

  17. Zmiany w tablicach trwania życia Zmieniające się parametry śmiertelności w USA (z pracy Lee i Cartera, 1992) Tablice Edmonda Halley’a, jedne z pierwszych tablic trwania życia, stworzone na podstawie wrocławskich danych demograficznych (1693)

  18. Intensywność umieralności, przypadek deterministyczny Prawdopodobieństwo, że losowa osoba dożyje od wieku t do wieku T

  19. Stochastyczne modele intensywności umieralności Zaproponowano następujące modele intensywności umieralności gdzie a > 0 oraz σ > 0. Ponadto przyjęto, że parametr β = 0, 1/2 lub 1.

  20. Prawdopodobieństwo dożycia W przypadku stochastycznym

  21. Postać prawdopodobieństwa dożycia Twierdzenia 7-9. Niech intensywność umieralności będzie zdefiniowana przez (*). Wówczas, przykładowo, jeśli β = 0, to gdzie

  22. Analiza statystyczna danych historycznych Przebadano historyczne tablice trwania życia z 20 krajów rozwiniętych z lat 1920-2003. I dopasowywano modele opisane przez (*): • jednowymiarowe, dla osób urodzonych w zadanym roku, • wielowymiarowe, dla grup osób urodzonych w różnych latach.

  23. Dopasowane modele wielowymiarowe

  24. Opcje na śmiertelność Definicja 4. Opcją (kupna) na śmiertelność nazywamy kontrakt wypłacający w momencie T sumę Uwaga. Jeśli K = T-t pt, to opcja na śmiertelność jest idealnym zabezpieczeniem przed systematycznym ryzykiem śmiertelności.

  25. Aproksymacje wyceny opcji Zaproponowano modyfikacje metod znanych z wyceny stóp procentowych: • aproksymacyjnej metody Vorsta (1990), • aproksymacyjnej metody E. Levy’ego (1992).

  26. Wycena zmodyfikowaną metodą Levy’ego Cena opcji na śmiertelność dla intensywności umieralności opisanej zmodyfikowanym geometrycznym ruchem Browna, β = 1. Dokładna cena opcji na śmiertelność uzyskana metodą symulacji Cena opcji na śmiertelność uzyskana zmodyfikowaną metodą Levy’ego

  27. Systematyczne ryzyko śmiertelności: podsumowanie • Zdefiniowano nowe modele stochastyczne dla intensywności umieralności. • Obliczono analityczną postać prawdopodobieństwa dożycia. • Przeprowadzono analizę statystyczną danych historycznych i oceniono przydatność modeli. • Zaproponowano aproksymacje do wyceny opcji na śmiertelność. • Wyceniono opcję na śmiertelność dla zaproponowanych modeli.

  28. Bardzo dziękuję za uwagę

More Related