Bivariate Statistik

1. Bivariate Statistik

2. Wertepaare, Punktwolke

3. Messwerte Merkmal 2 Messwerte Merkmal 1 Wertepaare, Punktwolke • Werden an mehreren Beobachtungseinheiten je zwei stetige Merkmale gemessen, so lässt sich jedes Wertepaar durch einen Punkt in einem Koordinatensystem darstellen (Punktwolke)

4. Regression von y auf x

5. y y x x Zusammenhang zwischen n Wertepaaren(xj,yj)

6. Regression von y auf x • Das Problem einer Regression von y auf x liegt vor, wenn für das Merkmal x fest vorgegebene Werte xj(z.B. Dosen oder Zeitpunkte) und für das Merkmal y zugehörige yj (z.B. Serumkonzentration eines Arzneistoffes) erhoben werden. • Häufig kann eine graphisch erkennbare Beziehung zwischen zwei Merkmalen (x und y) näherungsweise durch eine Gerade „gut“ beschrieben werden. • Aber was bedeutet „gut“ ?

7. y x Regression von y auf x • Berechnung einer Geraden, die sich aus der Summe der quadrierten Abstände ermittelt wird • Methode der kleinsten Quadrate

8. Regression von y auf x • Die so aus den Abständen der einzelnen Messpunkte (xj,yj) zu der Geraden parallel zur y-Achse eindeutig bestimmte Gerade heißt Regressionsgerade von y auf x: • byx wird Regressionskoeffizient genannt und beschreibt den Anstieg der Regressionsgeraden. • Der Regressionskoeffizient gibt an, um wie viel sich y im Durchschnitt ändert, wenn x um eine Einheit erhöht wird. • Der Parameter ayx bezeichnet den Schnittpunkt mit der y-Achse. y = byxx + ayx

9. , falls sxx = 0 _ _ n n n n n y – byx x ayx = 1      xj yj ) ) ( ( n j=1 j=1 j=1 j=1 j=1 _ 1 ( ) yj - y n - 1 syx byx = sxx _ _ ( ) 1 _ xjyj ) ( = nxy n - 1 Regression von y auf x • byx und ayx ergeben sich aus folgenden Formeln: _ syx = sxy = ( ) xj - x ( ) 1 _ xjyj ) ( = n - 1

10. sxx = sx = ( ) ( ) 2 = xj - n x 2 n n   j=1 j=1 _ 1 1 ( ) xj - x n - 1 n - 1 Regression von y auf x 2 2 _

11. Regression von y auf x • Die Größe sxy heißt Kovarianz und beschreibt die gemeinsame Streuung der x- und y-Werte, d.h. die Ausdehnung der Punktwolke. • Der Punkt (x, y) heißt Schwerpunkt der Punktwolke und ist ein Lagemaß für das Zentrum der Wertepaare. • In manschen Situationen lässt sich eine lineare Beziehung erst nach Transformation der x- oder y-Werte erkennen. • Folgen z.B. die (x,y)-Werte einem exponentiellen Verlauf (y = ex), so wird sich nach Logarithmierung der y-Werte ein linearer Zusammenhang ergeben. • Mit den transformierten Werten wird dann eine Regressionsrechnung durchgeführt. _ _

12. Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber

13. Adrenalin (mg/100ml) Zeit [min] Zusammenhang des Abbaus der Adrenalinkonzentration in der Leber über die Zeit

14. Regression von y auf x • Es liegt die Vermutung nahe, dass die Adrenalinwerte mit der Zeit exponentiell abfallen. • Wegen der graphisch erkennbaren Beziehung werden deshalb statt der Werte selbst die Logarithmen für die Regressionsrechnung verwendet, wobei die logarithmierten Werte mit y bezeichnet werden. • Bei der Berechnung werden also nicht die ursprünglichen Messwerte (Zeit, Adrenalin), sondern die transformierten Messwerte (Zeit, log(Adrenalin)) = (x,y) benutzt.

15. Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber(Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte)

16. Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber(Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte)

17. log Adrenalin (mg/100ml) Zeit [min] Punktwolke und Regressionsgerade für den Abbau der logarithmischen Adrenalinkonzentration über die Zeit y = byxx + ayx

18. Punktwolke und Regressionsgerade für den Abbau der logarithmischen Adrenalinkonzentration über die Zeit y = byxx + ayx • Benötigte Formeln

19. Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber(Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte)

20. Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber(Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte)

21. Zusammenhangsmaße

22. Zusammenhangsmaße • Maßzahlen, mit deren Hilfe sich der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen beschreiben lässt. • Keines der Maße dient dazu, einen sachlogischen oder kausalen Zusammenhang nachzuweisen.

23. syx , falls sxx = 0 und syy = 0 r = sxx· syy Korrelationskoeffizient • Der Korrelationskoeffizient r nach Pearson ist ein quantitatives Maß für die Beziehung zwischen zwei stetigen Merkmalen und beschreibt die lineare Komponente des Zusammenhangs. • Der Korrelationskoeffizient r kann nur Werte von –1 bis +1 annehmen. • Der Korrelationskoeffizient ist eine einheitslose Größe.

24. Zusammenhang zwischen Punktwolken und Korrelationskoeffizienten

25. Korrelationskoeffizient zwischen der logarithmischen Adrenalinkonzentration und der Zeit • Berechnung des Korrelationskoeffizienten r

26. Bestimmtheitsmaß • Im Zusammenhang mit der Regressionsrechnung gibt man häufig statt des Korrelationskoeffizienten das so genannte Bestimmtheitsmaß an. • Das Bestimmtheitsmaß ist gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten. • Es beschreibt, welcher Anteil an der Gesamtvarianz durch das Regressionsmodell bzw. die Regressionsgerade erklärt wird.

27. n n   j=1 j=1 1 1 R(X) = R(xj) R(Y) = R(yj) n n Rang-Korrelationskoeffizient • Ist ein alternatives Maß, um Zusammenhänge zwischen Merkmalen zu beschreiben (Spearman Rang-Korrelationskoeffizient). • Wird auf der Basis der Ränge der Messwerte berechnet:(R (x1), R (y1)), (R (x2), R (y2)),....., (R (xn), R (yn)). • Der kleinste Messwert erhält den Rang 1, der größte Wert den Rang „n“. • Mit den mittleren Rangzahlen lässt sich analog zum Korrelationskoeffizienten nach Pearson der Rang-Korrelationskoeffizient berechnen.

28. sxx syy Rang-Korrelationskoeffizient • Die Berechnung erfolgt analog zum Korrelationskoeffizienten nach Pearson unter Verwendung der Rangzahlen. syx r =

29. Rang-Korrelationskoeffizient • Bei ordinalen Merkmalen beobachtet man häufig die Übereinstimmung der Messergebnisse mehrerer Beobachtungseinheiten. • In solchen Fällen werden den übereinstimmenden Messergebnissen mittlere Ränge zugeordnet. • Dass die Originalmessergebnisse nur über ihre Position in den jeweiligen Ranglisten, d.h. indirekt in die Berechnung des Rang-Korrelationskoeffizienten einfließen, bedeutet eine Informationsreduktion. • Auf der anderen Seite können dadurch nichtlineare Zusammenhänge beschrieben werden. • Der Rang-Korrelationskoeffizient liefert Werte von–1 bis +1.

30. Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber(Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte)

31. Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber(Originalmesswerte und logarithmierte Adrenalinwerte)

32. Interpretation der Ergebnisse der Regressions- bzw. Korrelationsrechnung • Eine Extrapolierung der Regressionsgleichung über den Bereich der Punktwolke hinaus ist nicht zulässig. • Ein Korrelationskoeffizient nahe null bedeutet nicht, dass kein Zusammenhang zwischen den betrachteten Merkmalen besteht. • Einzelne extreme Wertepaare können sowohl den Korrelationskoeffizienten als auch die Regressionsgleichung erheblich beeinflussen. • Eine beobachtete Korrelation bedeutet nicht ohne weiteres einen sachlogischen Zusammenhang zwischen diesen beiden Merkmalen.