Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

1. Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych

2. Równanie różniczkowe rzędu n Wzór ogólny

3. Cel rozwiązania równania różniczkowego • Matematyk: rozwiązanie ogólne w postaci funkcji • Inżynier: rozwiązanie szczególne, określone przez warunki początkowe. Interesujące są wartości funkcji dla kolejnych zmiennych niezależnych, czyli zbiór par (x1,y1), (x2,y1),...,(xn, yn) kiedy dana jest funkcja f(x, y, y', y",..,y(n))=0

4. Warunki początkowe • Zagadnienie początkowe • Zagadnienie brzegowe

5. Warunki początkowe • Zagadnienie początkowe – wszystkie równania warunków początkowych podane są dla tej samej zmiennej niezależnej Np. dla równania: Warunki początkowe:

6. lub i Warunki początkowe • Zagadnienie brzegowe –równania warunków początkowych podane są dla co najmniej dwóch wartości zmiennej niezależnej Np. dla równania: Warunki brzegowe: i

7. Równania wyższych rzędów • Przekształca się do układów równań rzędu pierwszego Np. w równaniu: podstawmy: stąd:

8. Równania wyższych rzędów Otrzymujemy układ równań pierwszego rzędu:

9. Równania wyższych rzędów Dla równanie trzeciego rzędu

10. Równania wyższych rzędów Równanie trzeciego rzędu przechodzi w układ 3 równańpierwszego rzędu

11. Metody rozwiązywania r.r. • Metody wielokrokowe: yi+1 oblicza się na podstawie znanych yi, yi-1, yi-2,.., yi-p. Do wyliczenia punktu (xi+1, yi+1) wymagana jest znajomość p+1 punktów obliczonych wcześniej • Metody klasy Rungego-Kutty: yi+1 oblicza się na podstawie yii pewnych wartości pośrednich F(xi+a, yi+b), gdzie • a należy do przedziału <0, h> • b oblicza się wg algorytmu danej metody

12. Metoda Eulera z warunkami początkowymi II rząd

13. z warunkami początkowymi z warunkami początkowymi Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu

14. Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu

15. Metody wielokrokoweTypy • Wykorzystujące wzory na wartość pochodnej w punkcie • Wykorzystujące metody całkowania numerycznego

16. xi-p xi-3 xi-2 xi-1 xi xi+1 Zasada metod wielokrokowych

17. Metody wielokrokowe typ 1. Pochodną w równaniu: Podstawia się odpowiednim wyrażeniem. Jeżeli zastosować najprostszy wzór na pochodną: Po podstawieniu: i przekształceniu: m. Eulera

18. Metody wielokrokowe typ 1. Jeżeli zastosować dokładniejszy wzór na pochodną: Po podstawieniu: i przekształceniu:

19. Metody wielokrokowe typ 1. Jeszcze większą dokładność otrzyma się stosując wzór: Po podstawieniu: i przekształceniu:

20. Metody wielokrokowe typ 1.Podsumowanie Ogólny wzór metod wielokrokowych jawnych

21. Metody wielokrokowe typ 2. Opierając się na operacji całkowania równania: W granicach przedziału <i-p, i+1> Lewa strona jest dokładnie równa różnicy wartości funkcjimiędzy punktami i-p, i+1:

22. Metody wielokrokowe typ 2. Prawą stronę oblicza się całkując numerycznie jedną z metod. Jeżeli zastosować metodę prostokątów to p = 0 m. Eulera!!

23. Równanie to jest uwikłane ze względu na yi+1. Metody wielokrokowe typ 2. Jeżeli zastosować metodę trapezów to p = 0 Metody takie nazywane są niejawnymi

24. Metody wielokrokowe typ 2. Ponieważ to wartość pochodnej w punkcie i Można ją oznaczyć , co upraszcza zapis Metodę bazującą na całkowaniu metodą trapezówmożna ostatecznie zapisać Rozwiązanie wymaga wykonania obliczeń iteracyjnych

25. Metody wielokrokowe typ 2. • Wstępne oszacowanie wartości yi+1. • Obliczenie pochodnej y'i+1=F(xi+1, yi+1) • Obliczenie yi+1 z wyprowadzonego wzoru • Porównanie oszacowanej i obliczonej wartości yi+1 . Jeżeli różnią się o więcej niż założona wartość e to powrót do punktu 2. Metody oparte o wzory całkowe mają większą dokładność niż bazujące na równaniach na obliczenie pochodnych

26. Metody wielokrokowe typ.2 Stosując wzór całkowy Simpsona (p = 1) Otrzymuje się wzór niejawny

27. p=0 p=0 p=1 Metody wielokrokowe typ.2 podsumowanie

28. Metody wielokrokowe wzór ogólny Jest to ogólny wzór na metody wielokrokowe b0 = 0 to wzór jest jawny, b0 0 wzór jest niejawny

29. Pierwszy krok można wykonać stosując metodę jawną opartą o wzory na pochodną. Np.: 1. Metody wielokrokowe dwuetapowe Pierwsze przybliżenie y*i+1 jest nazywane PROGNOZĄ(PREDICTOR) 2. Obliczenie pochodnej y'i+1=F(xi+1 , y*i+1) 3. Lepsze przybliżenie yi+1 Nazywane korektą (uściśleniem) - CORRECTOR

30. Punkty 2. i 3. powtarzane są iteracyjnie. Warunek zakończenia obliczeń iteracyjnych można przedstawić następująco: Metody wielokrokowe dwuetapowe Ten sposób obliczeń nazywany jest metodą predictor-corrector. Przedstawiona metoda nosi nazwę zmodyfikowanej metody Eulera

31. Metoda Milne'a (1) Metody wielokrokowe predictor-corrector Prognoza: Korekta:

32. Metoda Milne'a (2) Metody wielokrokowe predictor-corrector Prognoza: Korekta:

33. Wzory Adamsa Metody wielokrokowe predictor-corrector Prognoza (Adamsa-Bashfortha): Korekta (Adamsa-Moultona):

34. Obliczanie punktów początkowych w metodach wielokrokowych Stosując metody wielokrokowe mamy dany warunek początkowy typu zagadnienie początkowe czyli współrzędne punktu początkowego x0 i y0. Aby wykonać obliczenia metodą o pewnej wartości ppotrzeba jeszcze p par xi, yi. Np. W pierwszej metodzie Milne'a p = 3. Pierwszą wartość jaką możemy obliczyć jest y4 a innym sposobem trzeba obliczyć y1, y2, y3. Można wykorzystać rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0.

35. y3 y2 y1 y0 x0 x1 x2 x3 Stabilność i zbieżność obliczeń Y h Zbieżność oznacza, że:

36. Stabilność i zbieżność obliczeń We wszystkich wzorach błąd jest dodatnią potęgą kroku: Ponieważ krok jest bardzo mały h << 1oraz stąd Przedstawione metody spełniają warunek zbieżności.

37. Stabilność i zbieżność obliczeń Definicja stabilności Rozwiązanie numeryczne równania różniczkowego jest stabilne, jeżeli błąd wniesiony do obliczeń przez zaokrąglenie lub metodę zostanie w trakcie obliczeń stłumiony lub rośnie wolniej od obliczonych wartości (błąd względny maleje)

38. Stabilność i zbieżność obliczeń Stabilność, tak jak zbieżność, zależy od kroku. Błąd k-tego kroku obliczeń numerycznych to suma błędów metody i zaokrąglenia:

39. hopt Stabilność i zbieżność obliczeń

40. Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą jawną O(h3) 1. Czytaj parametry punktów startowych x0, y0, x1, y1 2. Czytaj końcową wartość xk i krok h 3. Podstaw za i wartość 2 4. Oblicz xi = x0+i*h 5. Oblicz yi = yi-2+2hF(xi-1, yi-1) 6. Zwiększ i o 1 7. Oblicz xi = x0+i*h 8. Jeżeli xi <= xk to idź do punktu 5 9. Podstaw za n wartość i-1 10. Podstaw za i wartość 0 11. Drukuj xi oraz yi 12. Zwiększ i o 1 13. Jeżeli i<=n to idź do punktu 11 14. Koniec

41. 7. Oblicz Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector 1. Czytaj parametry punktów startowych x0, y0, x1, y1 2. Czytaj końcową wartość xk oraz krok h 3. Podstaw za i wartość 1 4. Oblicz xi+1 = x0+(i+1)*h 5. Oblicz yi+1 = yi-1+2hF(xi, yi) 6. Przyjmij y*= yi+1 8. Jeżeli |y* – yi+1|>h3 to idź do punktu 6 9. Zwiększ i o 1 10. Oblicz xi+1 = x0+(i+1)*h 11. Jeżeli xi+1 <= xk to idź do punktu 5

42. Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector 12. Podstaw za n wartość i-1 13. Podstaw za i wartość 0 14. Drukuj xi oraz yi 15. Zwiększ i o 1 16. Jeżeli i<=n to idź do punktu 14 17. Koniec