Institut für Erziehungswissenschaft

1. Mathematics meets Snowsports Schruns, 17. Februar bis 22. Februar 2008 Institut für Erziehungswissenschaft

2. Übersicht • Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte • Steigung • Parabeln und Kurven • Kräftewirkung • Geschwindigkeit • Impressum

3. Mathematics meets Snowsports Funktionen, Extremstellen, Wendepunkte

4. Gliederung • Lineare Funktion • Quadratische Funktion • Funktion n-ten Grades • Rechenbeispiel • Betragsfunktion

5. Lineare Funktion f(x)=-1/2x+3 Konstante Steigung, Proportionalität der Funktionswerte

6. Quadratische Funktion f(x)=-1/3*x^2+2*x+1 Parabelförmig

7. Funktion n-ten Grades Wendepunkte, Extrempunkte

8. Rechenbeispiel • f(x)= x³+2x²-4x+6 • f´(x)= 3x²+4x-4 • f´´(x)=12x+4 Extremstellen: f´(x)=0 1.Fall: x=-2 2.Fall: x= 0,66 Wendepunkte: f´´(x)=0 x=-0,33

9. Betragsfunktion f(x)=-|x+1| Funktion aus mehreren Einzelfunktionen

10. Vielen Dank Für Ihre Aufmerksamkeit

11. Steigung Mathematics meets Snowsports

12. Inhalt • Die Straße • Umrechnung von % in Grad • Mathematische Herleitung • Der Berg • Mathematische Herleitung • Wann rutscht man vom Berg? • Die Seilbahn • Mathematische Herleitung • Momentane Steigung (Ableitung) • Die Buckelpiste • Mathematische Herleitung

13. Die Straße • Umrechnung von % in Grad: • α=arctan(33%) • α=18,26° • arctan (tan-1) = Umkehrfunktion von tan = Gegenkathete dividiert durch Ankathete

14. Mathematische Herleitung • Die Steigung einer Straße entspricht der Steigung der Strecke b (in diesem Beispiel) eines rechtwinkligen Dreiecks b a α c

15. Der Berg

16. Mathematische Herleitung f(x)=mx+b m=Δy/Δx f(x)

17. Wann rutscht man vom Berg?

18. Wann rutscht man vom Berg? • Aufgabe: Ein Bergsteiger trägt Schuhe mit Gummisohle und steigt auf einen mit Schnee bedeckten Berg. Ab welcher Steigung des Berges rutscht er vom Berg, wenn er keine weitere Ausrüstung besitzt? (fR=0,3  Reibungszahl von Gummi auf Schnee)

19. Wann rutscht man vom Berg? FH>FR (Ansatz) FH=FG·sin(α) FN=FG·cos(α) FR=FN·fR FG=m·g g≈9,81m/s²

20. Wann rutscht man vom Berg? • Lösung: FH>FR m·g·sin(α) > m·g·cos(α)·fR sin(α)/cos(α) > fR tan(α) > fR α > arctan(0,3) α > 16,7° = 30%

21. Die Seilbahn

22. Ø Steigung Mathematische Herleitung f(x)=ax²+bx+c f‘(x)=2ax+b

23. Die Buckelpiste

24. Mathematische Herleitung f(x)=sin(x) f‘(x)=cos(x)

25. Fazit • Mathematik stellt die Grundlage für viele technische Errungenschaften dar, welche nicht nur in heutigen Trendsportarten zum Tragen kommen. • Die allgegenwärtige Mathematik erscheint uns jedoch nicht von bemerkenswerter Bedeutung.

26. Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

27. Parabeln & Kurven Mathematik meets snow sports

28. Inhaltsangabe • Kurven • Ebene Kurven • Raumkurven • Trigonometrische Funktionen • Sinus • Kosinus • Tangens • Parabeln

29. Kurven • Ebene Kurven • Raumkurven

30. Ebene Kurven • Ebene Kurven: • eindimensionales Objekt • besitzt im allgemeinen eine Krümmung • kann sich nur in eine Richtung bewegen • kann durch eine Gleichung in Koordinaten beschrieben werden • man kann sie ohne abzusetzen durchlaufen • Beispiele für ebene Kurven: • Gerade • Kreis • Parabel • haben nur Krümmungen

31. Raumkurve • haben Krümmungen und Windungen • sind dreidimensional

32. Trigonometrische Funktionen • Sinus • Kosinus • Tangens

33. Sinuskurve

34. Kosinuskurve • Komplementärwinkel von Sinus • Steht im 90° Winkel zu Sinus

35. Tangenskurve

36. Parabel • Ist ein Kegelschnitt, der entsteht wenn man den Kegel mit einer Ebene schneidet • Beispiel für eine Parabel: Quadratische Funktionen • Kann als Punktmenge in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben werden

37. Ende Wir bedanken uns für Ihre Aufmerksamkeit Orhan Karatas, Sebastian Bothe, Marc Keggenhoff

38. Mathematics meet Snowsports Kräftewirkung

39. Inhaltsverzeichnis • Zentrifugal- & Zentripetalkraft • Gewichtskraft • Hangabtriebskraft • Potentielle Energie • Definition • Beispiel • Formeln

40. Zentrifugal- und ZentripetalkraftDefinition • Zentrifugalkraft (Fliehkraft) • Tritt in Drehbewegungen auf • Wirkt nach außen • Zentripetalkraft • Wirkt nach innen • Hält das Objekt in der Kreisbahn • |Zentripetalkraft|=|Zentrifugalkraft|

41. Zentrifugal- und ZentripetalkraftBeispiel FZF FZP M r

42. Zentrifugal- und ZentripetalkraftFormeln FZ = (m * v²)/ r

43. GewichtskraftDefinition • Wirkt in Richtung des Erdkerns • Ist dafür verantwortlich, dass Objekte auf der Erde bleiben und nicht wegfliegen • Die Durchschnittliche Schwerebeschleunigung g beträgt 9,81m/s²

44. GewichtskraftBeispiel FAuftrieb G

45. Gewichtskraft Formeln FG = m * g g = 9,81 m/s²

46. HangabtriebskraftDefinition • Eine Komponente der Gewichtskraft (Hangabtriebskraft + Normalkraft = Gewichtskraft) • Ist auf einer schiefen Ebene hangabwärts gerichtet

47. HangabtriebskraftBeispiel Normalkraft FN Hangabtriebskraft FH Gewichtskraft FG

48. Hangabtriebskraft Formeln FH = FG * sin(α) FN = FG * cos(α) FG = m * g

49. Potenzielle EnergieDefinition • Energie, die ein Objekt durch seine Position oder Lage in z.B. einem Gravitationsfeld erhält. • Bezugspunkt: Erdoberfläche

50. Potenzielle EnergieBeispiel Höhendifferenz